imported>ⵓ: +https ⇄

2025-12-04T18:30:23Z

+https ⇄

Neue Seite

Im [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Gruppentheorie]] versteht man unter dem '''Gruppenexponenten''' <math>\exp(G)</math> einer [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] <math>(G, \cdot, e)</math> die kleinste [[natürliche Zahl]] <math>n > 0</math>, für die <math>g^n=e</math> ([[Ordnung eines Gruppenelementes|Potenz eines Gruppenelements]]) für alle Gruppenelemente <math>g</math> gilt.<ref>[https://de.wikiversity.org/wiki/Gruppentheorie/Grundbegriffe/Exponent/Definition ''Wikiversity.''] Abgerufen am 13. August 2012.</ref> Gibt es keine derartige Zahl, so sagt man, <math>G</math> habe Exponent <math>\infty</math> (sie muss dann auch unendliche [[Gruppentheorie#Ordnung einer Gruppe|Ordnung]] haben).

== Eigenschaften ==
* Nach dem [[Satz von Lagrange]] ist der Gruppenexponent für eine endliche Gruppe ein [[Teilbarkeit|Teiler]] der [[Gruppenordnung]] und somit insbesondere endlich.
* In einer [[Zyklische Gruppe|zyklischen Gruppe]] stimmt der Gruppenexponent mit der [[Gruppenordnung]] überein.
* Die Gruppenordnung stimmt genau dann mit dem Gruppenexponenten überein, wenn alle [[Sylowgruppe]]n der Gruppe zyklisch sind.<ref>[[Matroids Matheplanet|matheplanet.com]]: [https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?rd2&topic=157305&start=0#p1155839 Beitrag No. 7 von ''Gockel.''] Abgerufen am 13. August 2012.</ref>
* Der Gruppenexponent ist das [[KgV|kleinste gemeinsame Vielfache (kgV)]] der [[Ordnung eines Gruppenelementes|Ordnung]] aller Gruppenelemente.
* Der Gruppenexponent einer [[Untergruppe]] ist ein Teiler des Exponenten der ganzen Gruppe.

== Beispiele ==
* Für die primen [[prime Restklassengruppe|Restklassengruppen]] <math>(\Z/n\Z)^\times</math> erhält man den Gruppenexponenten durch die [[Carmichael-Funktion]].
* Der Gruppenexponent von <math>(\Z/p\Z)^\times</math> mit einer [[Primzahl]] <math>p</math> ist gleich der Gruppenordnung <math>p-1</math>.
* Der Gruppenexponent von <math>(\Z/8\Z)^\times</math> ist 2 (vergleiche: Die Gruppenordnung ist 4).
* Der Körper <math>\mathbb{F}_q</math> mit <math>q=p^k</math> Elementen, aufgefasst als additive Gruppe, hat Gruppenordnung <math>q</math> und Gruppenexponent <math>p</math> (vergleiche [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik eines Körpers]]).
* Unendliche Gruppen mit endlichem Exponenten sind bspw. der [[Polynomring]] <math>\mathbb{F}_p [X]</math> und der [[Algebraischer Abschluss|algebraische Abschluss]] von <math>\mathbb{F}_p</math>, jeweils (wegen der Primzahlcharakteristik <math>p</math>) in der additiven Verknüpfung.
* Jedes Element <math>m/n + \Z</math> der (unendlichen) [[Torsionsgruppe]] <math>\Q/\Z</math> hat die ''endliche'' Ordnung <math>n</math>, wenn <math>n > 0</math> gilt und <math>m</math> zu <math>n</math> [[teilerfremd]] ist. Da die [[Ordnung eines Gruppenelementes|Elementordnungen]] aber nicht beschränkt sind, ist <math>\exp(\Q/\Z) = \infty</math>.

== Siehe auch ==
* [[Torsion (Algebra)]]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Theorie endlicher Gruppen]]

Gruppenexponent - Versionsgeschichte

imported>ⵓ: +https ⇄