imported>Lelilalo: /* growthexperiments-addlink-summary-summary:2|0|0 */

2025-01-14T09:34:26Z

growthexperiments-addlink-summary-summary:2|0|0

Neue Seite

'''Gruppen-C*-Algebren''' werden in den [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebieten]] der [[Harmonische Analyse|harmonischen Analyse]] und [[Funktionalanalysis]] untersucht. Einer [[Lokalkompakter Raum|lokalkompakten]] [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] wird in natürlicher Weise eine [[C*-Algebra]] zugeordnet, so dass diese die [[Darstellung (Gruppe)|Darstellungstheorie der Gruppe]] enthält.

== Unitäre Darstellungen lokalkompakter Gruppen ==
=== Definition ===
Für einen [[Hilbertraum]] <math>H</math> bezeichne <math>B(H)</math> die C*-Algebra der [[Beschränktheit|beschränkten]] [[Linearer Operator|linearen Operatoren]] auf <math>H</math> und <math>U(H) \subset B(H)</math> die multiplikative Gruppe der [[Unitärer Operator|unitären Operatoren]].

Es sei <math>G</math> eine [[lokalkompakte Gruppe]]. Eine ''unitäre Darstellung'' von <math>G</math> auf einem Hilbertraum <math>H</math> ist ein [[Homomorphismus]] <math>u:G\rightarrow U(H)</math>, der bezüglich der [[Schwache Operatortopologie|schwachen Operatortopologie]] stetig ist.

=== Die linksreguläre Darstellung ===
Um eine erfolgreiche Theorie unitärer Darstellungen aufbauen zu können, muss es genügend viele solcher Darstellungen geben, um die Gruppe treu, das heißt [[Injektivität|injektiv]], darstellen zu können. Das wird durch die ''[[linksreguläre Darstellung]]'' geleistet. Zu einer lokalkompakten Gruppe <math>G</math> gibt es bekanntlich ein [[Haarsches Maß|links-Haarmaß]] <math>\mu</math>. Daher kann man den Hilbertraum [[Lp-Raum|<math>L^2(G,\mu)</math>]] konstruieren, den man unter Auslassung des Haarschen Maßes kurz als <math>L^2(G)</math> schreibt. Für jedes <math>s\in G</math> sei nun <math>U_s:L^2(G)\rightarrow L^2(G)</math> durch <math>U_sf(t) \,=\, f(s^{-1}t)</math> definiert, wobei <math>f\in L^2(G)</math> und <math>t\in G</math> seien.

Aus der Linksinvarianz des Haarschen Maßes folgt, dass die <math>U_s</math> unitäre Operatoren sind. Man zeigt, dass <math>\lambda:G\rightarrow U(L^2(G)), \lambda(s) := U_s</math> eine unitäre Darstellung ist; dies ist die sogenannte linksreguläre Darstellung.

Bemerkung: Würde man in der Formel <math>U_sf(t) = f(s^{-1}t)</math> das <math>s^{-1}</math> auf der rechten Seite durch <math>s</math> ersetzen, so erhielte man immer noch unitäre Operatoren, aber <math>\lambda</math> wäre kein Homomorphismus, man hätte in „falscher Reihenfolge“ <math>\lambda(s_1s_2) = \lambda(s_2)\lambda(s_1)</math>. Die Verwendung von <math>s^{-1}</math> in obiger Formel bringt die Reihenfolge in Ordnung.

== Die Gruppenalgebra ==
Wie in der [[Darstellungstheorie|algebraischen Darstellungstheorie]] werden die Gruppendarstellungen auf Darstellungen zugehöriger [[Gruppenalgebra|Algebren]] ausgedehnt, weil Darstellungen von Algebren leichter zu handhaben sind.

Zur lokalkompakten Gruppe <math>G</math> mit links-Haarschem Maß <math>\mu</math> betrachtet man den <math>\Complex</math>-[[Banachraum]] <math>L^1(G) = L^1(G,\mu)</math>. Für <math>f,g\in L^1(G)</math> definiert man <math>f \star g</math> und <math>f^*</math> durch die Formeln

* <math>(f \star g)(t) \,=\, \int_G f(s)g(s^{-1}t)\,\mathrm{d}\mu(s)</math>,
* <math>f^*(t) \,=\, \Delta(t)^{-1}\overline{f(t^{-1})}</math>,

wobei der Querstrich für die [[komplexe Konjugation]] steht und <math>\Delta</math> die [[Modulare Funktion (harmonische Analyse)|modulare Funktion]] von <math>G</math> ist. Man zeigt, dass <math>f\star g</math>, die sogenannte [[Faltung (Mathematik)|Faltung]] aus <math>f</math> und <math>g</math>, [[fast überall]] definiert ist, und dass <math>L^1(G)</math> mit der Faltung als Produkt und der [[Involution (Mathematik)|Involution]] <math>f\mapsto f^*</math> eine [[Banachalgebra|Banach-*-Algebra]] mit [[Approximation der Eins]] ist.<ref>[[Jacques Dixmier]]: ''C*-Algebras.'' North-Holland Publishing Company, 1977, ISBN 0-7204-0762-1, Kapitel 13.2.</ref>

Zu jeder unitären Darstellung <math>u:G\rightarrow U(H)</math> der Gruppe konstruiert man
eine Darstellung <math>\pi \colon L^1(G)\rightarrow B(H)</math>, wobei <math>\pi(f), \, f\in L^1(G)</math> durch folgende Formel definiert wird:

<math>\langle \pi(f)\xi, \eta\rangle := \int_G\langle u(s)\xi|\eta\rangle f(s) \mathrm{d}\mu(s),\quad\quad \xi,\eta\in H</math>.

Man kann zeigen, dass die so definierte Darstellung <math>\pi</math> eine [[Hilbertraum-Darstellung|nicht-degenerierte Hilbertraum-Darstellung]] ist, die auch mit der Involution verträglich ist, das heißt, es gilt <math>\pi(f^*) = \pi(f)^*</math> für alle <math>L^1</math>-Funktionen <math>f</math>, wobei der * auf der rechten Seite die Involution in der C*-Algebra <math>B(H)</math> ist.

Ist umgekehrt <math>\pi \colon L^1(G) \rightarrow B(H)</math> eine nicht-degenerierte *-Darstellung, so gibt es genau eine unitäre Darstellung <math>u \colon G\rightarrow U(H)</math>, so dass sich <math>\pi</math> gemäß obiger Konstruktion aus <math>u</math> ergibt.<ref> Gert K. Pedersen: ''C*-Algebras and Their Automorphism Groups.'' Academic Press Inc., 1979, ISBN 0-12-549450-5, Satz 7.1.4.</ref> Daher ist die Darstellungstheorie von <math>G</math> äquivalent zu derjenigen von <math>L^1(G)</math>.

== Die Gruppen-C*-Algebra ==
=== Definition ===
Es sei <math>\pi_u:L^1(G) \rightarrow B(H_u)</math> die [[universelle Darstellung]] von <math>L^1(G)</math>.
Die Gruppen-C*-Algebra <math>C^*(G)</math> einer lokalkompakten Gruppe <math>G</math> ist als der Normabschluss von <math>\pi_u(L^1(G))</math> in <math>B(H_u)</math> definiert.
Ist also <math>\pi:L^1(G) \rightarrow B(H)</math> irgendeine nicht-degenerierte *-Darstellung, so gibt es nach Konstruktion einen [[Surjektivität|surjektiven]] Homomorphismus <math>\psi:C^*(G)\rightarrow \overline{\pi(L^1(G))}</math>, wobei der Querstrich für den Normabschluss in <math>B(H)</math> steht.

=== Der kommutative Fall ===
Ist beispielsweise <math>G</math> kommutativ und <math>\hat{G}</math> die [[Pontrjagin-Dualität|Dualgruppe]], so definiert jedes <math>s\in G</math> via [[Pontrjagin-Dualität]] einen Homomorphismus <math>\hat{s}:\hat{G}\rightarrow \Complex,\, \chi\mapsto \chi(s)</math>. Der durch <math>\hat{s}</math> definierte Multiplikationsoperator <math>M_{\hat{s}}</math> auf <math>L^2(\hat{G})</math> ist unitär, da <math>\hat{s}</math> nur Werte vom Betrag 1 annimmt. Man erhält daher eine unitäre Darstellung <math>s\mapsto M_{\hat{s}}</math>, was zu einer nicht-degenerierten *-Darstellung <math>\pi:L^1(G)\rightarrow B(L^2(\hat{G}))</math> führt, deren Normabschluss isomorph zur C*-Algebra <math>C_0(\hat{G})</math> der [[Lokalkompakter Raum#Verschwinden im Unendlichen|im Unendlichen verschwindenden]] stetigen Funktionen <math>\hat{G}\rightarrow \Complex</math> ist. Nach obiger Konstruktion erhält man also einen surjektiven Homomorphismus <math>C^*(G)\rightarrow C_0(\hat{G})</math>, von dem man zeigen kann, dass er sogar ein [[Isomorphismus]] ist; man hat also die Formel <math>C^*(G) \cong C_0(\hat{G})</math>.<ref> Gert K. Pedersen: ''C*-Algebras and Their Automorphism Groups.'' Academic Press Inc., 1979, ISBN 0-12-549450-5, Satz 7.1.6.</ref>

Im Allgemeinen liegen nicht so einfache Verhältnisse vor, was auch daran liegt, dass der Hilbertraum der universellen Darstellung unzugänglich ist.

== Die reduzierte Gruppen-C*-Algebra ==
Um den mit der universellen Darstellung verbundenen Schwierigkeiten aus dem Wege zu gehen, liegt es nahe, die linksreguläre Darstellung <math>\lambda:G\rightarrow U(L^2(G))</math> zu betrachten, denn dann hat man es nur mit dem Hilbertraum <math>L^2(G)</math> zu tun.
Die zugehörige Darstellung <math>\pi:L^1(G)\rightarrow B(L^2(G))</math> ist nichts weiter als die Faltung: <math>\pi(f)g = f\star g</math>, wobei <math>f\in L^1(G)</math> und <math>g\in L^2(G)</math>.
Den Normabschluss von <math>\pi(L^1(G))</math> in <math>B(L^2(G))</math> nennt man die reduzierte Gruppen-C*-Algebra und bezeichnet diese mit <math>C_r^*(G)</math>.<ref> Gert K. Pedersen: ''C*-Algebras and Their Automorphism Groups.'' Academic Press Inc., 1979, ISBN 0-12-549450-5, Satz 7.2.1.</ref>

Nach oben vorgestellter Konstruktion setzt sich die linksreguläre Darstellung zu einem surjektiven Homomorphismus <math>C^*(G)\rightarrow C_r^*(G)</math> fort. Dieser ist im Allgemeinen nicht injektiv, obwohl die linksreguläre Darstellung von <math>L^1(G)</math> es ist. Man kann zeigen, dass dieser genau dann ein Isomorphismus ist, wenn die Gruppe [[Mittelbare Gruppe|mittelbar]] ist.<ref>Gert K. Pedersen: ''C*-Algebras and Their Automorphism Groups.'' Academic Press Inc., 1979, ISBN 0-12-549450-5, Theorem 7.3.9.</ref>

Die reduzierte Gruppen-C*-Algebra enthält nicht die volle Darstellungstheorie der Gruppe, sofern diese nicht mittelbar ist, wie das Beispiel <math>\mathbb{F}_2</math> der von zwei Elementen [[Freie Gruppe|frei erzeugten Gruppe]] zeigt. <math>C^*(\mathbb{F}_2)</math> besitzt viele endlichdimensionale Darstellungen,<ref>K. R. Davidson: ''C*-Algebras by Example.'' American Mathematical Society, 1996, ISBN 0-8218-0599-1, Satz VII.6.1.</ref> hingegen ist <math>C_r^*(\mathbb{F}_2)</math> einfach<ref>K. R. Davidson: ''C*-Algebras by Example.'' American Mathematical Society, 1996, ISBN 0-8218-0599-1, Korollar VII,7.5</ref> und kann daher keine endlichdimensionalen Darstellungen besitzen.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Algebra (Struktur)]]
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Gruppen-C*-Algebra - Versionsgeschichte

imported>Lelilalo: /* growthexperiments-addlink-summary-summary:2|0|0 */