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2026-02-17T06:02:36Z

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[[Datei:Probability_venn_event.svg|thumb|320x320px|[[Venn-Diagramm]] einer Menge A in einer Grundmenge Ω]]
Eine '''Grundmenge''' (auch '''Universum''' oder '''Universalmenge''') bezeichnet in der [[Mathematik]] eine [[Menge (Mathematik)|Menge]] aus allen in einem bestimmten Zusammenhang betrachteten Objekten. Alle in diesem Zusammenhang betrachteten Mengen sind dann [[Teilmenge]]n dieser Grundmenge. In einzelnen Fällen werden jedoch im Gegenzug nicht auch alle Teilmengen der Grundmenge betrachtet, so zum Beispiel im Fall einer [[σ-Algebra]]. In der Logik und in den Sprachwissenschaften entspricht der Begriff der Grundmenge dem [[Diskursuniversum]]; in der [[Prädikatenlogik]] der [[Definitionsmenge]].

Die Verwendung von Grundmengen dient der Vermeidung von [[Antinomie]]n wie der [[Russellsche Antinomie|Russellschen Mengen-Antinomie]]. Durch ihre geeignete Wahl wird garantiert, dass Mengenoperationen wie Durchschnitte und Vereinigungen definiert sind und nun im Zusammenhang nur mehr zu sinnvollen (widerspruchsfreien) Mengen führen können.

Welche Objekte überhaupt in der [[Lösungsmenge]] zu einer gegebenen [[Gleichung]] enthalten sein können, ist entscheidend davon abhängig, auf welche Grundmenge sich die Gleichung bezieht.

Im Falle einer Gleichung wie beispielsweise <math>x + 5 = 3</math> handelt es sich um eine [[Aussageform]], die an sich weder wahr noch falsch ist. Erst wenn man anstelle für <math>x</math> konkrete Zahlen einsetzt, wird aus der Aussageform eine Aussage, die entweder wahr oder falsch ist.
Es interessiert beim Lösen einer Gleichung in der Regel jene Zahl, die aus der Gleichung eine wahre Aussage macht. Derjenige, der sich diese Gleichung ausgedacht hat, macht für den Löser dieser Gleichung jetzt außerdem noch eine weitere Vorschrift:
Man soll nur innerhalb der [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] <math>\mathbb N</math> nach einem Objekt oder einer Zahl suchen dürfen, welches bzw. welche aus der Gleichung eine wahre Aussage macht.
Anders formuliert: ''Die Grundmenge'' zur Gleichung wird in diesem Fall als <math>\mathbb N</math> vorgeschrieben. Als Folge dieser Einschränkung wird man keine Zahl finden, welche die Gleichung erfüllt. Und deshalb ist die [[Lösungsmenge]] der Gleichung leer.

Vereinbart man jedoch eine andere Grundmenge, und zwar eine, die die Zahl <math>-2</math> enthält, z. B. die Menge der [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]] <math>\mathbb Z</math> oder eine noch umfassendere Zahlenmenge, dann hat obige Gleichung eine Lösung, nämlich <math>x = -2</math>. Für die Lösungsmenge gilt also <math>\mathbb {L}=\{ -2 \}</math>.

Die Wahl einer Grundmenge hat also einen erheblichen Einfluss darauf, ob eine Gleichung lösbar ist, und auch auf die Anzahl der Elemente einer eventuell vorhandenen Lösungsmenge. Analoges gilt für [[Ungleichung|Ungleichungen]] und allgemein für Aussageformen, in welchen Variablen auftreten können.

== Siehe auch ==
* [[Algebra (Mengensystem)]]
* [[Ergebnisraum]]
* [[Potenzmenge]]
* [[Raum (Mathematik)]]
* [[Trägermenge]]
* [[Wahrscheinlichkeitsraum]]

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Thomas Ihringer]]
|Titel=Allgemeine Algebra
|Reihe=Teubner Studienbücher: Mathematik
|Auflage=
|Verlag=B. G. Teubner
|Ort=Stuttgart
|Datum=1988
|ISBN=3-519-02083-1}}
* {{Literatur
|Hrsg=Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder
|Titel=dtv-Atlas zur Mathematik. Tafeln und Texte
|TitelErg=Band 1: ''Grundlagen Algebra und Geometrie''
|Auflage=8.
|Verlag=[[Deutscher Taschenbuch Verlag]]
|Ort=München
|Datum=1990
|ISBN=3-423-03007-0}}
* {{Literatur
|Hrsg=Fachredaktion des [[Bibliographisches Institut|Bibliographischen Instituts]]
|Titel=Duden Rechnen und Mathematik: Das Lexikon für Schule und Praxis.
|TitelErg=Bearbeitet von Prof. Dr. [[Harald Scheid]]
|Auflage=4.
|Verlag=Bibliographisches Institut
|Ort=Mannheim, Wien, Zürich
|Datum=1985}}

[[Kategorie:Mengenlehre]]

Grundmenge - Versionsgeschichte

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