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2022-01-29T23:04:52Z

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In der synthetischen [[Projektive Geometrie|projektiven Geometrie]] oder [[Geometrie der Lage]] des dreidimensionalen Raumes unterscheidet man die „[[Inzidenz (Geometrie)|Inzidenzen]]“ je zweier der drei [[Grundelemente (Geometrie)|Grundelemente]] [[Punkt (Geometrie)|Punkt]], [[Gerade (Geometrie)|Gerade]] und [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] wie folgt:
* Ein Punkt liegt in einer Geraden oder die Gerade geht durch den Punkt.
* Ein Punkt liegt in einer Ebene oder die Ebene geht durch den Punkt.
* Eine Gerade liegt in einer Ebene oder die Ebene geht durch die Gerade.

In vereinfachter Ausdrucksweise sagt man statt „liegt in“ oder „geht durch“ dabei einfach „inzidiert mit“.

Die [[Menge (Mathematik)|Menge]] all jener Grund''elemente'' (Punkte, Geraden, Ebenen), die je mit einem anderen Grund''element'', dem jeweiligen „Träger“, inzidieren, nennt man ein '''Grund''gebilde'''''. Mit der obigen Unterscheidung gibt es davon sieben, nämlich

* die Menge aller Punkte, die mit einer Geraden inzidieren, genannt [[Punktreihe]],
* die Menge aller Geraden, die mit einem Punkt inzidieren, genannt [[Geradenbündel (Elementargeometrie)|Geradenbündel]] ({{EnS|''pencil''}}),<ref>{{MathWorld|Pencil|Pencil}}</ref>
* die Menge aller Punkte, die mit einer Ebene inzidieren, genannt [[Punktfeld]],
* die Menge aller Ebenen, die mit einem Punkt inzidieren, genannt [[Ebenenbündel]] ({{EnS|''bundle of planes''}}),<ref>{{MathWorld|BundleofPlanes|Bundle of Planes}}</ref>
* die Menge aller Geraden, die mit einer Ebene inzidieren, genannt [[Geradenfeld]],
* die Menge aller Ebenen, die mit einer Geraden inzidieren, genannt [[Ebenenbüschel]] ({{EnS|''sheaf of planes''}}),<ref>{{MathWorld|SheafofPlanes|Sheaf of Planes}}</ref>
* und die Teilmenge aller Geraden eines Geradenfeldes, die zudem mit einem bestimmten Punkt der Trägerebene inzidieren, sie wird [[Geradenbüschel]] genannt.

Untersucht man die Verhältnisse der verschiedenen Grundgebilde untereinander, so zeigt sich, dass einige ein anderes enthalten: Ein Grundgebilde I ist in einem Grundgebilde II enthalten, wenn I eine echte Teilmenge von II ist. I heißt dann auch ein Grundgebilde erster Stufe und II ein Grundgebilde zweiter Stufe.

Es gibt somit die drei Grundgebilde erster Stufe
* Punktreihe, Geradenbüschel und Ebenenbüschel
und die vier Grundgebilde zweiter Stufe
* Punktfeld, Geradenfeld, Geradenbündel und Ebenenbündel.

Sonderfälle der vorgenannten Grundgebilde sind schließlich das [[Parallelgeradenbüschel]] und das [[Parallelgeradenbündel]] mit unendlich weit entferntem Trägerpunkt sowie das [[Parallelebenenbüschel]] mit unendlich weit entfernter Trägergerade.<ref>''Kleine Enzyklopädie Mathematik.'' Leipzig 1970, S. 216–217.</ref>

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Synthetische Geometrie]]

Grundgebilde - Versionsgeschichte

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