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2025-10-18T13:52:18Z

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In der [[Mengenlehre]] ist ein '''Grothendieck-Universum''' (nach [[Alexander Grothendieck]]) eine Menge <math>U</math> (von Mengen), bei der die üblichen Mengenoperationen auf den Elementen von <math>U</math> nicht aus <math>U</math> hinausführen, das heißt, es handelt sich um ein [[Modelltheorie|Modell]] der [[Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre]], dessen mengentheoretische Operationen (Elementrelation, Potenzmengenbildung) mit denen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, in der sie definiert werden, übereinstimmen. Das '''Universenaxiom''', das fordert, dass jede Menge Element eines Grothendieck-Universums ist, findet Anwendung in der [[Kategorientheorie]] und der [[Algebraische Geometrie|algebraischen Geometrie]] und erweitert die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre zur [[Tarski-Grothendieck-Mengenlehre]].

== Formale Definition ==

Eine [[Menge (Mathematik)|Menge]] <math>U</math> heißt ''Grothendieck-Universum'', falls sie folgende [[Axiom]]e erfüllt:
* <math>x \in U \Longrightarrow x \subseteq U</math>: Ist <math>x</math> Element von <math>U</math>, so sind alle Elemente von <math>x</math> selbst auch Elemente von <math>U</math> ([[Transitive Klasse|Transitivität]]).
* <math>x \in U \Longrightarrow \mathcal{P}(x) \in U</math>, wobei <math>\mathcal{P}</math> den [[Potenzmenge]]noperator bezeichnet: Ist <math>x</math> Element von <math>U</math>, so ist die Potenzmenge von <math>x</math> auch Element von <math>U</math>, und damit nach der vorherigen Bedingung auch alle Teilmengen von <math>x</math>.
* <math>x \in U \Longrightarrow \left\{x\right\} \in U</math>: Ist <math>x</math> Element von <math>U</math>, so ist die einelementige Menge <math>\{x\}</math> auch Element von <math>U</math>.
* Für jede Familie <math>\left\{ x_i \right\}_{i \in I}</math> mit <math>I \in U</math> und <math>x_i \in U \; \forall \, i \in I</math> gilt: <math>\bigcup\left\{x_i : i \in I \right\} \in U</math>: Vereinigungen von Elementen von <math>U</math> sind wieder Elemente von <math>U</math>.
* <math>U</math> ist nicht leer.

Diese Definition entspricht derjenigen von P. Gabriel, vgl. [[#Literatur|Literatur]]. Mitunter wird auch die leere Menge als Grothendieck-Universum zugelassen, etwa im [[Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie|SGA]].

Anders ausgedrückt ist ein Grothendieck-Universum ein Modell der Form <math>(U,\in)</math> der [[Prädikatenlogik zweiter Stufe|zweistufigen]] Version von ZFC (das heißt, das [[Ersetzungsaxiom]]enschema wird durch ein einziges Axiom in Logik zweiter Stufe mit Quantifizierung über Funktionen ersetzt).<ref>{{Literatur |Autor=[[Akihiro Kanamori]] |Titel=The Higher Infinite |TitelErg=Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings |Auflage=2. |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |Datum=2009 |ISBN=978-3-540-88867-3 |Seiten=19 |DOI=10.1007/978-3-540-88867-3}}</ref>

== Unerreichbare Kardinalzahlen ==

Eine [[Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] <math>\kappa</math> heißt [[Große Kardinalzahl|(stark) unerreichbar]], falls gilt:
* <math>\mathrm{card}\left(\cup \left\{ x_i : i \in I \right\} \right) < \kappa </math> für jede Menge <math>\left\{ x_i \right\}_{i \in I}</math> von Mengen mit <math>\,\mathrm{card}(I) < \kappa </math> und <math>\mathrm{card}(x_i) < \kappa \quad \forall \, i \in I</math>
* <math> \alpha^\beta < \kappa \quad \forall \, \alpha, \beta < \kappa </math>

Die einzige in der [[Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre]] ZFC bekannte unerreichbare Kardinalzahl ist <math>\aleph_0</math>. Die Existenz weiterer unerreichbarer Kardinalzahlen kann im Rahmen dieser Theorie nicht bewiesen werden (die Widerspruchsfreiheit derselben einmal angenommen), sondern muss durch ein neues Axiom postuliert werden.

Der Zusammenhang zwischen unerreichbaren Kardinalzahlen und Grothendieck-Universen wird nun durch folgenden Satz hergestellt:

Für eine Menge <math>\,U</math> sind folgende Eigenschaften äquivalent:
* <math>\,U</math> ist ein Grothendieck-Universum
* Es gibt eine unerreichbare Kardinalzahl <math>\kappa</math>, sodass eine und somit alle der folgenden äquivalenten Eigenschaften gelten:
** <math>\kappa\subseteq U</math> und für jede Menge <math>X \subseteq U</math> gilt: <math>X \in U \Longleftrightarrow \mathrm{card}(X) < \kappa </math>
** <math>U=V_\kappa</math> (siehe [[Von-Neumann-Hierarchie]])
** <math>U=H_\kappa=\{x\mid \mathrm{card}(TC(x))<\kappa\}</math> (siehe [[transitive Menge]])<ref>Kanamori, S. 299.</ref>

Dieses <math>\kappa</math> ist gerade die Kardinalität von <math>\,U</math>.

Die Existenz von Grothendieck-Universen (außer solchen mit <math>\mathrm{card}(U) = \alef_0 = \mathrm{card}(\mathbb N)</math>, welche aber nur endliche Mengen enthalten und damit nicht als ''interessant'' gewertet werden) kann im Allgemeinen nicht im Rahmen der ZFC-Mengenlehre bewiesen werden, allerdings sind nur relativ schwache Zusatzvoraussetzungen notwendig, nämlich die Existenz weiterer unerreichbarer Kardinalzahlen.

== Anwendung in der Kategorientheorie ==

Unter Annahme der Existenz einer [[Echte Klasse|echten Klasse]] von unerreichbaren Kardinalzahlen können mit Hilfe von Grothendieck-Universen in der Kategorientheorie Aussagen über alle Mengen gemacht werden.

Es ist möglich, jeder unerreichbaren Kardinalzahl ein Grothendieck-Universum zuzuordnen. Um eine Aussage über alle Mengen machen zu können, wird für jede Menge eine entsprechende unerreichbare Kardinalzahl benötigt, die echt größer als die Kardinalität der Menge ist, damit ein passendes Grothendieck-Universum existiert, in welchem die gewünschten Konstruktionen durchgeführt werden können.

== Literatur ==

* Andreas Blass: ''The interaction between Category theory and Set theory.'' In: John Walker Gray (Hrsg.): ''Mathematical Applications of Category Theory'' (= ''Contemporary Mathematics.'' Bd. 30). American Mathematical Society, Providence RI 1984, ISBN 0-8218-5032-6, S. 5–29, [http://www.math.lsa.umich.edu/~ablass/interact.pdf online (PDF; 3,6 MB)].
* N. Bourbaki: ''Univers.'' Anhang zu Exposé I von M. Artin, A. Grothendieck, J. L. Verdier (Hrsg.): ''Théorie des Topos et Cohomologie Étale des Schémas (SGA 4).'' 2. Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg 1972, ISBN 3-540-05896-6.
* N. H. Williams: ''On Grothendieck universes.'' In: ''[[Compositio Mathematica]].'' Bd. 21, Nr. 1, {{ISSN|0010-437X}}, 1969, S. 1–3, [http://archive.numdam.org/ARCHIVE/CM/CM_1969__21_1/CM_1969__21_1_1_0/CM_1969__21_1_1_0.pdf online (PDF; 261 kB)].
* A. H. Kruse: ''Grothendieck universes and the super-complete models of Shepherdson.'' In: ''Compositio Mathematica.'' Bd. 17, 1965/1966, S. 96–101, [http://archive.numdam.org/ARCHIVE/CM/CM_1965-1966__17_/CM_1965-1966__17__96_0/CM_1965-1966__17__96_0.pdf online (PDF; 550 kB)].
* P. Gabriel: ''Des catégories abéliennes.'' In: ''Bulletin de la Société Mathématique de France.'' Bd. 90, 1962, {{ISSN|0037-9484}}, S. 323–448, [http://archive.numdam.org/ARCHIVE/BSMF/BSMF_1962__90_/BSMF_1962__90__323_0/BSMF_1962__90__323_0.pdf online (PDF; 10,45 MB)].
* M. Kühnrich: ''Über den Begriff des Universums.'' In: ''Zeitschrift für mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik.'' Bd. 12, 1966, {{ISSN|0044-3050}}, S. 37–59.
* {{Literatur |Autor=[[Saunders Mac Lane]] |Titel=[[Categories for the Working Mathematician]] |Auflage=2. |Verlag=Springer |Ort=New York u. a. |Datum=1998 |Sprache=en |Reihe=[[Graduate Texts in Mathematics]] |BandReihe=5 |ISBN=0-387-98403-8 |Kapitel=I.6.}}
* Michael D. Potter: ''Sets. An Introduction.'' Clarendon Press, Oxford u. a. 1990, ISBN 0-19-853388-8, 3.3

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Mengenlehre]]
[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Grothendieck-Universum - Versionsgeschichte

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