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2026-03-18T11:48:59Z

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Die '''gronwallsche Ungleichung''' ist eine Ungleichung, die es erlaubt, aus der impliziten Information einer Integralungleichung explizite Schranken herzuleiten. Des Weiteren ist sie ein wichtiges Hilfsmittel zum Beweis von Existenz- und Einschließungssätzen für Lösungen von [[Differentialgleichung|Differential-]] und [[Integralgleichung]]en. Sie ist nach [[Thomas Hakon Grönwall]] benannt, der sie im Jahr [[1919]] bewies und in einer wissenschaftlichen Veröffentlichung beschrieb.

== Formulierung ==

Gegeben seien ein Intervall <math>\ I := [a, b]</math> sowie stetige Funktionen <math>u, \alpha: I \rightarrow \mathbb{R}</math> und <math>\beta: I \rightarrow [0, \infty)</math>. Weiter gelte die Integralungleichung

: <math> u(t) \leq \alpha(t) + \int_a^t \beta(s)u(s){\rm d}s</math>

für alle <math> t \in I </math>. Dann gilt die gronwallsche Ungleichung

: <math> u(t) \leq \alpha(t) + \int_a^t\alpha(s)\beta(s)e^{\int_s^t\beta(\sigma){\rm d}\sigma}{\rm d}s </math>

für alle <math> t\in I </math>.

Man beachte, dass die Funktion <math>u</math> in der vorausgesetzten Ungleichung noch auf beiden Seiten vorkommt, in der Schlussfolgerung aber nur noch auf der linken Seite, das heißt, man erhält eine echte Abschätzung für <math>u</math>.

== Spezialfall ==

Ist <math>\alpha</math> [[Monoton steigende Funktion|monoton steigend]] so vereinfacht sich die Abschätzung zu
: <math>u(t) \leq \alpha(t) e^{\int_a^t\beta(s){\rm d}s}\ .</math>
Insbesondere im Fall konstanter Funktionen <math>\alpha \equiv A</math> und <math>\beta \equiv B \geq 0</math> lautet die gronwallsche Ungleichung
: <math>u(t) \leq A + \int_a^tABe^{B(t-s)}{\rm d}s = Ae^{B(t-a)}\ .</math>

== Anwendungen ==

=== Eindeutigkeitssatz für Anfangswertprobleme ===

Es sei <math>\mathbb{K} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}</math>, <math>G \subset \mathbb{R} \times \mathbb{K}^n</math>, <math>(a, y_0) \in G</math> und <math>F \colon G \rightarrow \mathbb{K}^n</math> stetig sowie lokal [[Lipschitzstetigkeit|Lipschitz-stetig]] bezüglich der zweiten Variablen. Dann besitzt das Anfangswertproblem <math>\ y' = F(x,y), y(a) = y_0</math> genau eine Lösung <math>y \in C^1([a, b); \mathbb{K}^n)</math>.

=== Linear beschränkte Differentialgleichungen ===

Seien <math>\mathbb{K} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}</math>, <math>G \subset [a,b) \times \mathbb{K}^n</math>, <math>(a,y_0) \in G</math>, <math>b < \infty</math> und <math>F = F(x,y): G \rightarrow \mathbb{K}^n</math> stetig. Weiter gebe es Funktionen <math>\alpha,\beta \in C([a,b); [0, \infty)) \cap L^1([a,b))</math> derart, dass
: <math>\|F(x,y)\| \leq \alpha(x) + \beta(x)\|y\|</math>
für alle <math>(x,y) \in G</math>. Dann ist jede Lösung <math>y</math> von
: <math>y'=F(x,y)\ ,\ y(a) = y_0</math>
auf <math>[a,b)</math> beschränkt.

==== Beweis ====

Es gilt
: <math>\|y(x)\| \leq \|y_0\| + \int_a^x\|F(s,y(s))\|{\rm d}s \leq \|y_0\| + \int_a^x\alpha(s){\rm d}s + \int_a^x\beta(s)\|y(s)\|{\rm d}s\ .</math>
Die gronwallsche Ungleichung impliziert
: <math>\|y(x)\| \leq \|y_0\| + \int_a^x\alpha(s){\rm d}s + \int_a^x\left(\|y_0\| + \int_a^s\alpha(\sigma){\rm d}\sigma\right)\beta(s)e^{\int_s^x\beta(\sigma){\rm d}\sigma}{\rm d}s\ ,</math>
und daraus ergibt sich folgende Abschätzung gegen eine Konstante:
: <math>\|y(x)\| \leq \|y_0\| + \int_a^b\alpha(s){\rm d}s + \int_a^b\left(\|y_0\| + \int_a^b\alpha(\sigma){\rm d}\sigma\right)\beta(s)e^{\int_a^b\beta(\sigma){\rm d}\sigma}{\rm d}s\ .</math>

== Literatur ==
* Herbert Amann: ''Gewöhnliche Differentialgleichungen''. 2. Auflage. de Gruyter Lehrbücher, Berlin / New York 1995, ISBN 3-11-014582-0.
* {{Literatur
|Autor=[[Gerald Teschl]]
|Titel=Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems
|Reihe=Graduate Studies in Mathematics
|BandReihe=140
|Verlag=American Mathematical Society
|Ort=Providence
|Datum=2012
|ISBN=978-0-8218-8328-0
|Online=[https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/ mat.univie.ac.at]}}

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Beweisarchiv: Analysis: Ungleichungen: Grönwall'sche Ungleichung|Beweis der gronwallschen Ungleichung}}
{{Wikibooks|Beweisarchiv: Gewöhnliche Differentialgleichungen: Eindeutigkeitstheorie: Lokale Lipschitz-Stetigkeit|Beweis des Eindeutigkeitssatzes für lokal Lipschitz-stetige Differentialgleichung}}
* {{PlanetMath |id=gronwallslemma |title=Gronwall’s lemma}}

[[Kategorie:Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen]]
[[Kategorie:Ungleichung]]

Gronwallsche Ungleichung - Versionsgeschichte

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