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2025-11-06T10:50:50Z

Definition von (x,y)_p Ergänzt.

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In der [[Mathematik]] ist ein '''Gromov-hyperbolischer Raum''' ein Raum mit „gleichmäßig dünnen Dreiecken“. Dieser Begriff axiomatisiert und verallgemeinert Räume negativer Krümmung und hat sich in vielen Bereichen der Mathematik als nützlich erwiesen.

== Definition ==
[[Datei:Hyperbolic triangle.svg|mini|Ein geodätisches Dreieck in einer negativ gekrümmten Fläche]]
Ein [[geodätischer metrischer Raum]] heißt δ-hyperbolisch für ein δ≥0, wenn alle geodätischen Dreiecke '''δ-dünn''' sind, d. h. jede Kante des Dreiecks in der δ-Umgebung der Vereinigung der beiden anderen Kanten enthalten ist:
:::<math>[x,y] \subseteq U_{\delta}([y,z]\cup[z,x]),</math>
:::<math>[y,z]\subseteq U_{\delta}([z,x]\cup[x,y]),</math>
:::<math>[z,x]\subseteq U_{\delta}([x,y]\cup[y,z]). </math>
Diese Bedingung ist zum Beispiel für geodätische Dreiecke in [[Baum (Graphentheorie)|Bäumen]] mit <math>\delta=0</math> oder in der [[Hyperbolische Ebene|hyperbolischen Ebene]] mit <math>\delta=ln(\sqrt{2}+1)</math> erfüllt, allgemeiner für geodätische Dreiecke in [[einfach zusammenhängend]]en Riemannschen Mannigfaltigkeiten negativer [[Schnittkrümmung]].
[[Datei:Delta thin triangle condition.svg|mini|Ein δ-dünnes Dreieck]]

Ein metrischer Raum heißt Gromov-hyperbolisch, wenn er δ-hyperbolisch für ein δ≥0 ist.

Äquivalent kann man Hyperbolizität mithilfe des [[Gromov-Produkt]]es definieren. Ein metrischer Raum ist dann δ-hyperbolisch, wenn für alle ''p'', ''x'', ''y'' und ''z'' in ''X'' gilt
:<math>(x, z)_{p} \geq \min \big\{ (x, y)_{p}, (y, z)_{p} \big\} - \delta.</math>
Hier ist <math>(x,y)_p=\frac 1 2 \left( d(p, x) + d(p, y) - d(x, y) \right)</math>. Die δ-Hyperbolizität bezüglich der ersten Definition ist äquivalent zur δ-Hyperbolizitat bezüglich der zweiten Definition mit einem möglicherweise anderen Wert der Konstante ''δ''.

== Hyperbolische Gruppen ==
Eine [[hyperbolische Gruppe]] ist eine endlich erzeugte Gruppe, deren [[Cayley-Graph]] zu einem endlichen [[Erzeugendensystem]] δ-hyperbolisch für ein δ>0 ist. (Bis auf die Konstante δ ist diese Bedingung unabhängig von der Wahl des endlichen Erzeugendensystems.)

== Gromov-Rand ==
Der Gromov-Rand <math>\partial_\infty X</math> eines δ-hyperbolischen metrischen Raumes <math>X</math> ist definiert als die Menge der [[Äquivalenzklasse]]n von Folgen <math>(x_n)_{n\in N}\subset X</math> bzgl. der [[Äquivalenzrelation]]
:<math>(x_n)_{n\in N}\sim (y_n)_{n\in N}\Longleftrightarrow \lim (x_n,y_n)_o=\infty</math>
für einen beliebigen (fest gewählten) Basispunkt <math>o\in X</math>.

Die [[Topologischer Raum|Topologie]] des Gromov-Randes wird festgelegt durch die [[Umgebungsbasis]] bestehend aus den Mengen
:<math>U(\xi,r) := \left\{\eta \in\partial_\infty X : \exists (x_i),(y_j)\ s.d.\ \xi = \left[x_i\right],\eta = \left[y_j\right],\liminf_{i,j\to\infty}(x_i,y_j)_o \ge r\right\}</math>
mit <Math>\xi\in\partial_\infty X, r\ge 0</math>.

Das Gromov-Produkt lässt sich zu einer stetigen Funktion
:<math>(.,.)_o\colon\partial_\infty X\times\partial_\infty X\to\left[0,\infty\right]</math>
fortsetzen.

== Literatur ==
* Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov. Papers from the Swiss Seminar on Hyperbolic Groups held in Bern, 1988. Edited by É. Ghys and P. de la Harpe. Progress in Mathematics, 83. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1990. ISBN 0-8176-3508-4.

[[Kategorie:Metrischer Raum]]
[[Kategorie:Synthetische Geometrie]]

Gromov-hyperbolischer Raum - Versionsgeschichte

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