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2026-02-11T13:32:22Z

Eigenschaften: genauer

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[[Datei:Großes Dodekaeder.png|mini|Großes Dodekaeder]]
Das '''Große Dodekaeder''' ist ein reguläres [[Polyeder]] und einer der vier [[Kepler-Poinsot-Körper]]. Er wird von 12 [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßigen]] [[Fünfeck]]en begrenzt, die 60 [[Gleichschenkliges Dreieck|gleichschenklige Dreiecke]] bilden.

== Eigenschaften ==
Grundkörper ist das [[Ikosaeder]]. Das Große Dodekaeder ist das Ergebnis von 12 sich gegenseitig schneidenden [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßigen]] [[Fünfeck]]en, die im Ikosaeder zu finden sind (siehe [[Ikosaeder#Struktur des Ikosaeders|Ikosaeder – Struktur des Ikosaeders]]). Daher hat es die Ecken und Kanten mit dem Ikosaeder gemeinsam. Dieser Sternkörper ist quasi ein reduziertes Ikosaeder, wobei die 20 Ausschnitte die Form dreieckiger [[Pyramide (Geometrie)|Pyramiden]] ([[Tetraeder]]) haben.

Das Große Dodekaeder ist eine [[Stellation]] des [[Dodekaeder]]s und eine Facettierung des [[Ikosaeder]]s (siehe [[Kepler-Poinsot-Körper#Stellationen und Facettierungen|Kepler-Poinsot-Körper – Stellationen und Facettierungen]]).

== Formeln ==
{| class="wikitable" style="border:0;"
! colspan="3" style="background:#C0C0FF" |Größen eines Dodekaedersterns mit Kantenlänge ''a''
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Volumen]]'''
| style="border-right-width:0;" | <math>V = \frac{5}{4} \cdot a^3 \cdot (\sqrt{5} - 1) </math> || style="border-left-width:0;" | <math>\approx 1{,}5451 \cdot a^3</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Flächeninhalt|Oberflächeninhalt]]'''
| style="border-right-width:0;" | <math>A_O = 15 \cdot a^2 \cdot \sqrt{5 - 2 \cdot \sqrt{5}}</math> || style="border-left-width:0;" | <math>\approx 10{,}898 \cdot a^2</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''Länge der Schenkel''' der<br>'''[[Gleichschenkliges Dreieck|gleichschenkligen Dreiecke]]'''
| style="border-right-width:0;" | <math>s = \frac{a}{2} \cdot (\sqrt{5} - 1)</math> || style="border-left-width:0;" | <math>\approx 0{,}6180 \cdot a</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Umkugel|Umkugelradius]]'''
| style="border-right-width:0;" | <math>r_u = \frac{a}{4} \cdot \sqrt{10 + 2 \cdot \sqrt{5}}</math> || style="border-left-width:0;" | <math>\approx 0{,}9511 \cdot a</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Kantenkugel|Kantenkugelradius]]'''
| style="border-right-width:0;" | <math>r_k = \frac{a}{4} \cdot \left(1 + \sqrt{5}\right)</math> || style="border-left-width:0;" | <math>\approx 0{,}8090 \cdot a</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Inkugel|Inkugelradius]]'''
| style="border-right-width:0;" | <math>r_i = \frac{a}{20} \cdot \sqrt{50 + 10 \cdot \sqrt{5}}</math> || style="border-left-width:0;" | <math>\approx 0{,}4253 \cdot a</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Höhe (Geometrie)|Höhe]] der [[Pyramide (Geometrie)|Pyramiden]]'''
| style="border-right-width:0;" | <math>k = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{6} \cdot (3 - \sqrt{5}) </math> || style="border-left-width:0;" | <math>\approx 0{,}2205 \cdot a</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''Verhältnis von Volumen<br>zu Umkugelvolumen'''
| style="border-right-width:0;" | <math>\frac{V}{V_{U\!K}} = \frac{3}{2 \cdot \pi} \cdot \sqrt{50 - 22 \cdot \sqrt{5}}</math> || style="border-left-width:0;" | <math>\approx 0{,}4288</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''Innenwinkel des'''<br>'''[[Regelmäßiges Polygon|regelmäßigen]] [[Fünfeck|Fünfecks]]'''
| style="border-right-width:0;" | <math> \alpha = 108^\circ</math> || style="border-left-width:0;" |
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''Winkel zwischen<br>benachbarten Flächen'''
| style="border-right-width:0;" | <math>\beta = \arccos\!\frac{\sqrt{5}}{5}</math> || style="border-left-width:0;" | <math>\approx 63^\circ\, 26^\prime \, 6^{\prime\prime}</math>
|}

== Zusammenhang mit anderen Polyedern ==
[[Datei:Small_stellated_dodecahedron_truncations.gif|mini|upright=1.12|Durch Abstumpfen eines [[Dodekaederstern]]s entsteht der abgestumpfte Dodekaederstern, der von außen wie ein Dodekaeder aussieht, das Dodekadodekaeder und schließlich das Große Dodekaeder.]]
Die [[konvexe Hülle]] ist das [[Ikosaeder]]. Es hat auch gemeinsame Kanten mit dem Ikosaeder. Es gibt vier verwandte [[Polyeder]], die durch Abstumpfen entstehen.

Das [[Dualität (Mathematik)|duale]] Polyeder ist der [[Dodekaederstern]]. Das Dodekadodekaeder ist eine Rektifikation, wobei Kanten bis zu [[Punkt (Geometrie)|Punkten]] abgestumpft werden. Das abgestumpfte Große Dodekaeder kann als ein degeneriertes reguläres Polyeder angesehen werden, weil seine Ecken und Kanten übereinstimmen, aber es ist für die Vollständigkeit enthalten. Die Oberfläche sieht aus wie ein normales [[Dodekaeder]], aber es hat 24 [[Seitenfläche]]n, die paarweise übereinstimmen. Die Spitzen werden abgeschnitten, bis sie die Ebene des [[Pentagramm]]s unter ihnen erreichen. Die 24 Seitenflächen sind 12 [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßige]] [[Fünfeck]]e von den abgestumpften Ecken und 12 Fünfecke, die die Form von doppelt gewundenen Fünfecken annehmen, die die ersten 12 Fünfecke überlappen. Diese werden gebildet, indem die ursprünglichen Pentagramme abgestumpft werden.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Great dodecahedron|Großes Dodekaeder}}
* {{MathWorld|GreatDodecahedron|Großes Dodekaeder}}

{{Navigationsleiste Kepler-Poinsot-Körper}}

[[Kategorie:Sternkörper|Grosses Dodekaeder]]

Großes Dodekaeder - Versionsgeschichte

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