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[[Datei:VanDerPolPhaseSpace.png|250px|mini|Grenzzyklus des [[Van-der-Pol-System|Van-der-Pol-Oszillators]]]]

Ein '''Grenzzyklus''' oder '''Limit Cycle''' ist in der [[Mathematik]] und der Theorie [[Dynamisches System|dynamischer Systeme]] eine isolierte [[Periodische Funktion|periodische]] Lösung eines [[Autonome Differentialgleichung|autonomen Differentialgleichungssystems]].<ref>[https://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=6722 Definition von Grenzzyklus auf PlanetMath.org (englisch)]</ref>

Betrachtet man die Lösungen des [[Differentialgleichung #Systeme von Differentialgleichungen|Differentialgleichungssystems]] als Kurven im [[Phasenraum]], so ist der Grenzzyklus eine [[geschlossene Kurve]] ([[Zyklus (Funktionentheorie) #Zyklus|Zyklus]]), auf die benachbarte [[Trajektorie (Mathematik)|Trajektorien]] im [[Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]] unendlicher Zeit zulaufen oder von der sie sich entfernen:
* Laufen benachbarte Trajektorien im Grenzwert unendlicher Zeit auf den Grenzzyklus zu, so ist der Grenzzyklus ein eindimensionaler [[Attraktor]] und wird '''stabil''' genannt.
* Entfernen sich benachbarte Trajektorien dagegen im Grenzwert unendlicher Zeit (bzw. laufen im Grenzwert unendlich negativer Zeit auf den Grenzzyklus zu), so ist der Grenzzyklus ein eindimensionaler Repellor bzw. negativer Attraktor und wird '''instabil''' genannt.
Falls benachbarte Lösungen selbst auch periodische Lösungen sind, so handelt es sich ''nicht'' um einen Grenzzyklus, da er keine isolierte periodische Lösung darstellt.

In der Ebene macht der [[Satz von Poincaré-Bendixson]] Aussagen über die Existenz von Grenzzyklen. Grenzzyklen wurden zuerst von [[Henri Poincaré]] studiert.

Bei [[Konservative Kraft|konservativen]] dynamischen Systemen und speziell dynamischen Systemen <math>\frac{\mathrm{d}\vec{x}(t)}{\mathrm{d}t} = \dot{\vec{x}}(t) = F(\vec{x}(t))</math>, in denen sich F als [[Gradient]] einer [[Potentialfunktion]] ausdrücken lässt, gibt es keine Grenzzyklen.<ref>Zum Beispiel [https://johnstonmd.files.wordpress.com/2015/03/math415-w10.pdf Johnstone, Limit cycles, van der Pol oscillator and Poincaré-Bendixson theorem], pdf</ref>

== Offenes Problem ==
Der zweite Teil des [[Hilbertsche Probleme #Hilberts sechzehntes Problem|16. Hilbertproblems]] fragt nach einer [[Obere Grenze|oberen Grenze]] für die Anzahl der Grenzzyklen (und Aussagen über ihre relative Lage) für autonome Differentialgleichungssysteme in der Ebene

:<math>\begin{align}
{dx \over dt} &= P(x,y)\\
{dy \over dt} &= Q(x,y)
\end{align}</math>

wobei P, Q [[Polynom]]e vom [[Grad (Polynom)|Grad]] n sind.

Das Problem wurde auch von [[Stephen Smale]] in seine [[Smale-Probleme|Liste offener Probleme]] aufgenommen, der es neben der [[Riemann-Vermutung]] für das am wenigsten greifbare der Hilbertprobleme hält. Smale schränkte das Problem weiter ein: P und Q seien Polynome vom maximalen Grad d; gibt es eine obere Schranke <math>d^q</math> für die Anzahl der Grenzzyklen mit einer universellen Konstante <math>q</math>? Bekannt ist, dass die Anzahl endlich ist ([[Juli Iljaschenko]], [[Jean Écalle]], nach Vorarbeiten von [[Henri Dulac]]).

== Einführung anhand zweier Beispiele ==
[[Datei:Separatrix for a Simple Pendulum.png|250px|mini|Gegenbeispiel: Phasenraumportrait eines [[Mathematisches Pendel|Pendels]] mit rot eingezeichneter [[Separatrix]]]]
Dynamische Systeme sind Systeme autonomer Differentialgleichungen der Form:

:<math>\frac{\mathrm{d}\vec{x}(t)}{\mathrm{d}t} = \dot{\vec{x}}(t) = F(\vec{x}(t)), \ \ \ \ \ \ \vec{x}(t) \in \mathbb{R}^n</math>

Die Lösung dieser Differentialgleichungen werden [[Trajektorie (Mathematik)|Trajektorien]] <math>\vec{x}(t)</math> genannt und beschreiben das Verhalten/die Entwicklung des Systems in der Zeit ''t''. In der Theorie dynamischer Systeme ist die [[Stabilitätstheorie|asymptotische Stabilität]] solcher Lösungen von Interesse, also ihr Verhalten im zeitlichen Grenzwert <math>t\rightarrow\infty</math>. Ergeben sich im genannten Grenzwert oszillierende Lösungen des Systems, so spiegeln sie sich als zyklische, geschlossene Kurve in diesem Phasenraum wider; sie wird Grenzzyklus genannt.

Wenn sich andere Trajektorien (mit unterschiedlichen [[Anfangsbedingung|Startbedingungen]]) dieser geschlossenen Kurve für große Zeiten ''t'' immer weiter annähern („hineinspiralen“), so handelt es sich um einen Attraktor („Anzieher“) bzw. stabilen Grenzzyklus. Ein klassisches Beispiel hierfür ist der [[Van-der-Pol-System|Van-der-Pol-Oszillator]], dessen Phasenraumportrait in obiger Abbildung gezeigt ist.

Entfernen sich alle Trajektorien für <math>t\rightarrow\infty</math> vom Grenzzyklus, so wird er instabil oder auch Repeller genannt.

Ein einfaches [[mathematisches Pendel]] hingegen hat zwar periodische Trajektorien, aber keinen Grenzzyklus. Das sieht man in nebenstehender Abbildung daran, dass sich keine Trajektorien an die Zyklen annähern bzw. von ihnen entfernen, d. h. die Zyklen nicht isoliert auftreten. Nicht isoliert bedeutet hier, dass in jeder Umgebung eines Zyklus wieder andere Zyklen liegen.

== Stabilität ==
[[Datei:Limit cycle Poincare map.svg|mini|Poincaré-Abbildung eines Grenzzyklus und benachbarter Trajektorien. Der Grenzzyklus durchstößt im blau dargestellten Poincaré-Schnitt nach einer bestimmten Periode immer wieder den gleichen Punkt, dieser Punkt ist ein Fixpunkt der Poincaré-Abbildung (auch ''Poincaré return map'' genannt). Der Abstand der Durchstoßpunkte von Trajektorien, die dem Grenzzyklus benachbart sind, nimmt dagegen ab, wenn der Grenzzyklus stabil ist, bzw. er nimmt zu, wenn der Grenzzyklus instabil ist.]]
Die Stabilität eines Grenzzyklus der Periode ''T'' wird durch seine [[Gaston Floquet|Floquet]]-Multiplikatoren bestimmt.

Der Grenzzyklus entspricht einem [[Fixpunkt (Mathematik)|Fixpunkt]] in der [[Poincaré-Abbildung]]. Die Poincaré-Abbildung gewinnt man durch einen Schnitt ([[Poincaré-Schnitt]]) im Phasenraum, so dass der Grenzzyklus die Schnittebene senkrecht mit seiner Periode durchstößt (siehe blaue Schnittebene in nebenstehender Abbildung).

Die Stabilität des Grenzzyklus entspricht nun der Stabilität des Fixpunktes seiner Poincaré-Abbildung ''P''.<ref name="ChauWang2011">{{cite book |author=K. T. Chau, Zheng Wang |title=Chaos in Electric Drive Systems: Analysis, Control and Application |url=https://books.google.de/books?id=pHdlO88lpcMC&pg=SA2-PA3&hl=de |access-date=2012-08-07 |date=2011-03-31 |publisher=John Wiley & Sons |isbn=978-0-470-82836-6 |language=en}}</ref>

Sei ''x*'' der Fixpunkt von ''P'', so gilt <math>Px^* = x^*</math>.

Für einen Punkt ''x'', der nahe am Fixpunkt liegt, also <math>x = x^* + \delta x</math>, gilt nun die Abbildung

:<math>Px(k) = x(k+1)</math>

mit ''k'' dem k-ten Durchstoßen des Poincaré-Schnittes.

Unter der Annahme, dass <math>\delta x</math> klein ist, kann ''P'' in der Nähe von ''x*'' als linear angenommen werden (''DP(x*)'' ist die [[Jacobimatrix]] von ''P'' an ''x*''), und es folgt

:<math>DP(x^*)\delta x(k) = \delta x(k+1)</math>.

Die [[Eigenwert]]e <math>m_i</math> von ''DP(x*)'' bestimmen nun die Stabilität von ''x*'' und werden Floquet-Multiplikatoren des Grenzzyklus genannt. Einer der Floquet-Multiplikatoren ist immer 1 und entspricht der Richtung der Bewegung auf dem Grenzzyklus; dieser Multiplikator wird ''Goldstone Mode'' genannt.<ref name="Flunkert2011">{{cite book |author=Valentin Flunkert |title=Delay-Coupled Complex Systems: and Applications to Lasers |url=https://books.google.de/books?id=M9dJ8_K4v9kC&pg=PA159&hl=de |access-date=2012-08-07 |date=2011-07-01 |publisher=Springer |isbn=978-3-642-20249-0 |pages=159– |language=en}}, man beachte die Beziehung zwischen Floquet-Exponent <math>\mu</math> und Floquet-Multiplikator <math>m = e^{\mu T}</math> mit der Periode ''T'' des Grenzzyklus.</ref>
* falls alle anderen Multiplikatoren vom [[Betragsfunktion|Betrag]] her kleiner 1 sind (d. h. <math>|m_i| < 1</math> für alle ''i'' außer dem ''Goldstone Mode''), so ist der Grenzzyklus [[asymptotisch]] stabil;
* falls <math>|m_i| > 1</math> ist für alle ''i'' außer dem ''Goldstone Mode'', so ist der Grenzzyklus instabil.

Neben stabilen und instabilen Grenzzyklen gibt es auch semistabile Grenzzyklen, d. h. außen liegende Trajektorien spiralen auf den Grenzzyklus zu und innen liegende spiralen von ihm weg (oder umgekehrt).<ref name="EnnsMcGuire2000">{{cite book |author=Richard H. Enns, George McGuire |title=Nonlinear Physics With Maple for Scientists and Engineers |url=https://books.google.de/books?id=sJbVsRYbeMoC&pg=PA260&hl=de |access-date=2012-08-07 |year=2000 |publisher=Springer |isbn=978-0-8176-4119-1 |pages=260– |language=en}}</ref>

== Hopf-Bifurkation ==
[[Datei:Hopf.png|mini|Der Parameter <math>\lambda</math> wird verändert. In den beiden oberen Fällen spiralen beide Trajektorien in einen Fixpunkt, bei negativem Parameter (untere Bilder) spiralen die beiden Trajektorien auf einen Grenzzyklus zu. Bei einem bestimmten Parameterwert von <math>\lambda</math> zwischen −0,1 und 0,1 ist aus dem stabilen Fixpunkt ein stabiler Grenzzyklus entstanden, dieser Punkt wird Hopf-Bifurkation genannt.]]
Grenzzyklen entstehen generisch aus [[Hopf-Bifurkation]]en. Betrachtet man eine Lösung eines Systems von Differentialgleichungen mit einem freien Parameter und verändert diesen stetig, so können [[Bifurkation (Mathematik)|Bifurkations]]<nowiki />punkte auftreten, d. h. die betrachtete Lösung verändert sich qualitativ. Aus einem [[Fixpunkt (Mathematik)|Fixpunkt]] kann so ein Grenzzyklus entstehen und andersherum.

Ein Beispiel ist das Anschalten eines [[Laser]]s:
* Solange der Pumpstrom unterhalb des [[Schwellstrom]]s <math>p_{th}</math> liegt, leuchtet der Laser nicht, d. h. das ausgestrahlte [[Elektrisches Feld|elektrische Feld]] ist <math>\vec{E}(t)=0</math> und ein stabiler Fixpunkt.
* Sobald der Schwellstrom jedoch überschritten wird, fängt der Laser an zu leuchten, es gilt <math>\vec{E}(t)\propto e^{i\omega t}</math> und es handelt sich hier um einen ''stabilen'' Grenzzyklus mit der Periode <math>2\pi/\omega</math>. Die bei <math>p_{th}</math> auftretende Bifurkation ist daher eine superkritische Hopf-Bifurkation.

[[Datei:Hopfbifurcation.png|mini|400px|Phasenraum der Hopf-Bifurkation. Mögliche Trajektorien in Rot, stabile Strukturen in Dunkelblau, instabile Strukturen in gestricheltem Hellblau. Das Auftreten eines Grenzzyklus' und dessen Stabilität hängen ab von der Parameterwahl.]]

== Anwendung ==
Grenzzyklen werden in vielen naturwissenschaftlichen Modellen von Systemen mit selbsterhaltenden Oszillationen verwendet. Einige Beispiele:
* Das [[Hodgkin-Huxley-Modell|Hodgkin–Huxley-Modell]] für neuronale [[Aktionspotential|Aktionspotenziale]].
* Das Sel'kov-Modell für [[Glykolyse]].<ref>{{cite journal |first=E. E. |last=Sel'kov |title=Self-Oscillations in Glycolysis 1. A Simple Kinetic Model |journal=European Journal of Biochemistry |volume=4 |issue=1 |pages=79–86 |doi=10.1111/j.1432-1033.1968.tb00175.x |date=1968 |language=en}}</ref>
* Die täglichen Hormon- und Temperaturschwankungen von Tieren.<ref>{{cite journal |first=Jean-Christophe |last=Leloup |first2=Didier |last2=Gonze |first3=Albert |last3=Goldbeter |title=Limit Cycle Models for Circadian Rhythms Based on Transcriptional Regulation in Drosophila and Neurospora |journal=Journal of Biological Rhythms |volume=14 |issue=6 |pages=433–448 |doi=10.1177/074873099129000948 |date=1999-12-01 |language=en}}</ref><ref>{{cite journal |first=Till |last=Roenneberg |first2=Elaine Jane |last2=Chua |first3=Ric |last3=Bernardo |first4=Eduardo |last4=Mendoza |title=Modelling Biological Rhythms |journal=Current Biology |volume=18 |issue=17 |pages=R826–R835 |doi=10.1016/j.cub.2008.07.017 |date=2008-09-09 |url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S096098220800883X |language=en}}</ref>
* Die [[Zellmigration|Migration]] von [[Krebszelle]]n in begrenzten Mikroumgebungen.<ref>{{cite journal |first=David B. |last=Brückner |first2=Alexandra |last2=Fink |first3=Christoph |last3=Schreiber |first4=Peter J. F. |last4=Röttgermann |first5=Joachim |last5=[[Joachim Rädler|Rädler]] |first6=Chase P. |last6=Broedersz |title=Stochastic nonlinear dynamics of confined cell migration in two-state systems |journal=Nature Physics |volume=15 |issue=6 |pages=595–601 |doi=10.1038/s41567-019-0445-4 |date=2019 |language=en}}</ref>

== Literatur ==
* Cristoforo Sergio Bertuglia; Franco Vaio: ''Nonlinearity, chaos, and complexity: the dynamics of natural and social systems'' Oxford; New York: Oxford University Press, 2005, ISBN 978-0-19-856790-5

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Theorie dynamischer Systeme]]

Grenzzyklus - Versionsgeschichte

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