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2024-10-01T14:17:57Z

Grenzpunkte von arithmetischen Grenzprozessen: typo

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Ein '''Grenzpunkt''' ist ein [[Geometrie|geometrisch]] bestimmter, meist [[Abmarkung|abgemarkter]] [[Knickpunkt (Vermessung)|Knickpunkt]], [[Schnittpunkt]] oder sonstig [[Örtliche Einmessung|eingemessener]] Punkt im Verlauf einer [[Flurstücksgrenze|Flurstücks-]] oder [[Grundstücksgrenze]].

[[Grenze]]n in landwirtschaftlichem Gebiet und in Wäldern werden meistens durch [[Grenzstein]]e (früher auch als Marksteine bezeichnet) sichtbar gemacht, die [[frostsicher]] (d. h. mindestens 60 cm) im Boden [[Vermarkung|vermarkt]] sind. In der Stadt verlaufen Grenzen im Regelfall an Mauern, Zäunen oder an Gebäude[[Fluchtung|fluchten]] ([[Fluchtlinie]]). Hier werden z. B. auch [[Meißelkreuz|Meißelzeichen]] verwendet.

Die Knickpunkte von Grenzen wurden in früheren Jahrhunderten gerne durch [[Grenzbaum|Grenz-]] oder [[Markbaum|Markbäume]] gekennzeichnet. Gerne nahm man dafür Eichen, Buchen oder Linden, denn diese Bäume erreichen ein hohes Alter und waren schwer zu fällen. Besonders die tiefwurzelnden Eichen können nur mit großem Aufwand entfernt werden, was verhindert, dass ein Grenzverlauf mutwillig verändert wird.

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Datei:Grenzstein1.jpg|Grenzzeichen aus Granit mit geschliffener Kreuzkerbe
Datei:Grenzstein Bonnhof 0652.jpg|Grenzzeichen aus Beton mit kegeligem Loch und Beschriftung
Datei:Brühl Grenzkreuz Ecke Alte Bonnstr und Geildorfer Weg.jpg|Spätmittelalterliches Grenzkreuz
Datei:Schleswig-Holstein, Neuendorf, Naturdenkmal NIK 6256.JPG|Grenzpunkt aus rotem [[Glasfaserverstärkter Kunststoff|GFK]], Bohrung u. Kreuz, viersprachig beschriftet
Datei:Grenzpunkt - Dresden Striesen - Bild 001.jpg|Grenzpunkt – Dresden – [[Johannisfriedhof (Dresden)|Friedhof Tolkewitz]]
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Die [[Genauigkeit]], mit der Grenzen vom amtlichen [[Vermessungsamt|Vermessungsstellen]] eingemessen werden, hängt von den jeweiligen Bestimmungen der Bundesländer ab. Meist gibt es dabei verschiedene Genauigkeitsklassen. In (bsp. innerstädtischen) Gebieten mit hohen [[Grundstückswert]]en kann dabei die zulässige Abweichung geringer sein. Im neueren [[Kataster]] liegt jeder Vermessung das einheitliche [[Bezugssystem]] der [[Landesvermessung]] zugrunde, bei älteren [[Operat]]en kann es auch lokal sein. Die genaue [[Höhe]] von Grenzpunkten wird im Allgemeinen nicht bestimmt.

== Begriffsbedeutung ==

Mathematische Grenzpunkte gibt es für kleinste oder größte Abstände benachbart verlaufende Kurven oder sich schneidende Kurven.<ref>{{Literatur |Titel=Grenzpunkte einer Kurvenschar |Sammelwerk=Lexikon der Mathematik |Verlag=Spektrum |Ort=Heidelberg |Online=https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/grenzpunkte-einer-kurvenschar/3621}}</ref> Sie gibt es auch als Ergebnis endloser Grenzprozesse, bei denen einer Grenzgröße, mit einem Grenzpunkt am theoretischen Prozessende, zugestrebt wird.

=== Grenzpunkte von arithmetischen Grenzprozessen ===

Die Rechengrößen sind Zahlen. Der Grenzprozess setzt das Grenzwert-Ergebnis sequenziell zusammen. Hierbei sind die grundsätzlichen Rechenoperationen: Addition; Subtraktion; Multiplikation; Division und Quadratwurzel. (+, -, ×, ÷ und sqrt{}).

Beispiele:

- Grenzwert mit einem Grenzpunkt ist ein Verhältnis 1/3 = lim(x→2) 1/(x^2-1) 
- Grenzwert mit einem Grenzpunkt ist ein Verhältnis 1/3 = 1/2-1/4+1/8-1/16+ … 
- Grenzwert mit einem Grenzpunkt ist das Kreisverhältnis πZahl = Zahl des Kreisumfangs / Zahl des Kreisdurchmessers

Für die verschiedenen Verhältnis-Größen und insbesondere die πZahl-Berechnung bzw, - Konstruktion haben bedeutende Mathematiker vom 15. bis zum 19. Jahrhundert unterschiedliche unendliche Reihen und Produkte hergeleitet.<ref>{{Literatur |Titel=Kleine Enzyklopädie Mathematik |Hrsg=W.Gellert u. a. |Auflage=13. unveränderte Auflage |Verlag=VEB Bibliographisches Institut |Ort=Leipzig |Datum=1986}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=J.P. Delahaye |Titel=Pi - die Story |Verlag=Birkhäuser |Ort=Basel |Datum=1999 |ISBN=3-7643-6056-9 |Seiten=83-98}}</ref>

=== Grenzpunkte von geometrisch konstruierten Grenzprozessen ===

Rechengrößen sind hier Strecken-, Kreisbögen und auch Winkel. Ihr Ausdehnungsende wird von einem Streckenendpunkt oder einem Kreisbogen-Endpunkt markiert. Der Grenzpunkt wird als Schnittpunkt einer konstruierten Folgepunkte-Kurve mit einer Koordinaten-Achse oder einer anderen Kurve erzeugt. Das folgende Bildbeispiel zeigt wie mit einem sequenziellen Vorgehen das Kreisverhältnis Schritt um Schritt immer genauer (bei höherer Quantisierung) durch den immer weiter gerade gestreckten Kreisbogen gleicher Länge dargestellt wird.

[[Datei:Kreisverhaeltnis.gif|mini|Kreisverhältnis]]

Ein anderes Beispiel für einen klassisch konstruierten Grenzprozess, wurde im Buch N. Fialkowski, „Theilung des Winkels und des Kreises“ Wien, Druck und Verlag von Carl Gerolds´Sohn 1860 , auf Seite 11<ref>N. Fialkowski, „Theilung des Winkels und des Kreises“ Wien, Druck und Verlag von Carl Gerolds´Sohn 1860 , auf Seite 11</ref> erstmals veröffentlicht.

Dem Grenzpunkt = α/3 wird hier mit einer alternierenden Summe natürlicher Drehungsgrößen, gemäß α/3 = α/2 - α/4+ α/8 - α/16 + … , 
zugestrebt.
{{Absatz}}
== Siehe auch ==
* [[Katastervermessung]]
* [[Melioration]]
* [[Kulturgrenze #Nutzung von Flurstücken|Kulturgrenze]]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Vermessungspunkt]]
[[Kategorie:Grenzmarkierung]]

Grenzpunkt - Versionsgeschichte

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