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2025-02-28T10:45:41Z

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In der [[Nachrichtentechnik]] ist die '''Grenzfrequenz''', '''Übergangsfrequenz''' oder '''Eckfrequenz''' <math>f_{\mathrm{g}} = f_{\mathrm{c}}</math> ([[Englische Sprache|englisch]]: '''''c'''utoff frequency'' = „Abschnitt-/Abrissfrequenz“) derjenige Wert der [[Frequenz]], bei dessen Überschreitung die Signal[[amplitude]] ([[Elektrische Spannung|Spannung]]) oder die [[Modulation (Technik)|Modulations]]<nowiki/>amplitude am Ausgang eines Bauteils unter einen bestimmten Wert sinkt.

== Elektrotechnik ==
=== Verstärker ===
Die ''Grenzfrequenz'' eines [[Verstärker (Elektrotechnik)|Verstärkers]] ist in üblicher Konvention jene Frequenz, bei der die Spannungs- bzw. Stromverstärkung auf den
<math>\tfrac{1}{\sqrt{2}} = 2^{-\frac{1}{2}}</math>-fachen Wert der maximalen Verstärkung abgesunken ist (rund 70,7 %). Die an einen rein ohmschen [[Lastwiderstand]] ([[Elektrischer Verbraucher|Verbraucher]]) abgegebene [[Elektrische Leistung|Leistung]] ist dabei exakt der halbe Wert der Maximalleistung:

:<math>P = \frac{P_\text{max}}{2}</math>

Die in [[Bel (Einheit)|dB]] ausgedrückte Spannungsverstärkung ist bei dieser Grenzfrequenz um −3 dB (exakt: <math>20 \cdot \log_{10} \left( \tfrac{1}{\sqrt{2}} \right) \approx -3{,}0103\, \mathrm{dB}</math>) kleiner als die maximale Verstärkung.

Der Einsatzbereich von Verstärkerschaltungen ist durch physikalische Effekte in den [[Elektrisches Bauelement #Aktive und passive Bauelemente|aktiven Bauelementen]] und durch deren äußere [[Verschaltung|Beschaltung]] (z. B. [[Koppelkondensator]]en) auf einen bestimmten Frequenzbereich beschränkt, dieser wird [[Übertragungsbereich]] genannt. Die Grenzfrequenzen grenzen diesen Bereich ein.

=== Hoch- und Tiefpässe 1. Ordnung ===
Bei einfachen RC- bzw. RL-[[Hochpass|Hoch-]] und [[Tiefpass|Tiefpässe]]n hat der Spannungsübertragungsfaktor den Maximalwert 1. Bei der Grenzfrequenz sinkt die übertragene Amplitude auf den <math>\tfrac{1}{\sqrt{2}}</math>-fachen Wert ab, und zwischen Ein- und Ausgangssignal tritt eine [[Phasenverschiebung]] von 45° auf.

Bei einem Tiefpass 1. Ordnung besteht folgender Zusammenhang der Grenzfrequenz <math>f_{\mathrm{c}}</math> zur [[Anstiegs- und Abfallzeit]] <math>\tfrac{t_{\mathrm{r}}}{t_{\mathrm{f}}}</math>:

: <math>\frac{t_{\mathrm{r}}}{t_{\mathrm{f}}} \Biggl(\frac{10\, \%}{90\, \%}\Biggr) = \frac{0{,}35}{f_{\mathrm{c}}}\, .</math>

Der Zusammenhang zur [[Zeitkonstante]] ''<math>\tau</math>'' beträgt:

: <math>\tau = \frac{1}{2 \pi \cdot f_c}\, .</math>

== Physik ==
In der Physik wird statt der Grenzfrequenz <math>f_{\mathrm{c}}</math> gern die Grenz-[[Kreisfrequenz]] <math>\omega_{\mathrm{c}} = 2 \pi f_{\mathrm{c}}</math> gewählt.

In einigen technischen Anwendungen, z. B. bei der [[Emphasis]], ist es üblich, statt der Grenzfrequenz die [[Zeitkonstante]]
: <math>\tau = R C = \frac{1}{\omega_{\mathrm{c}}} = \frac{1}{2 \pi f_{\mathrm{c}}}</math>
anzugeben.

Bei einem [[Bandpass]] liegt zwischen der oberen und unteren Grenzfrequenz als [[Mittelwert|geometrisches Mittel]] die [[Mittenfrequenz]].

== Quantenphysik ==
In der [[Quantenphysik]] bezieht sich die '''Grenzfrequenz''' auf den [[Photoelektrischer Effekt|Photoeffekt]]. [[Quant|Lichtquanten]], deren [[Frequenz]] unter dieser '''Grenzfrequenz''' liegen, haben nicht mehr genug [[Energie]] <math>E = h \cdot f</math>, um [[Elektron]]en aus der [[Elektronenhülle|Atomhülle]] zu entfernen. Die notwendige Mindestenergie ist gleich der [[Austrittsarbeit]] des Materials.

== Im Hohlleiter ==
Im [[Hohlleiter]] breiten sich Signale erst
* oberhalb einer bestimmten Frequenz (<math>f > f_{\mathrm{c}}</math>) bzw.
* unterhalb einer bestimmten [[Wellenlänge]] (<math>\lambda < \lambda_{g}</math>)
aus.
Diese hängt (bei einem Hohlleiter mit rechteckigem Querschnitt) von seinen Abmessungen ab, speziell von denen der längeren Seite <math>a.</math>
Der geometrische Aufbau und die Abmessungen eines Hohlleiters sind daher genormt und in Frequenzbereiche (Bänder) aufgeteilt.

Die Ausbreitung kann in verschiedenen [[Moden|Schwingungsmodi]] erfolgen. Die Grenzwellenlänge für die ersten ausbreitungsfähigen Mode (Grundmode) rechteckförmiger Hohlleiter ergibt sich aus der Gleichung:

:<math>\lambda_\mathrm{g} = 2 a</math> (Freiraumwellenlänge).

Für die Grenzfrequenz <math>f_{\mathrm{c}}</math> folgt:

:<math>\Leftrightarrow f_{\mathrm{c}} = \frac{c}{2 a}</math>

mit der [[Lichtgeschwindigkeit]] <math>c = 299\,792\,458\, \mathrm{\frac{m}{s}}</math> (im Vakuum).

Beispiel: Rechteckhohlleiter mit der längeren Seitenlänge des Hohlleiters <math>a = 3 \, \mathrm{cm}</math> (<math>\Rightarrow</math> Grenzwellenlänge <math>\lambda_{g} = 6 \, \mathrm{cm}</math>):

:<math>f_{\mathrm{c}} = \frac{c}{0{,}06\, \mathrm{m}} = 5\, \mathrm{GHz}</math>.

== Siehe auch ==
* [[Bandbreite]]
* [[Bandspreiztechnik]]

== Literatur ==
* Jürgen Detlefsen, Uwe Siart: ''Grundlagen der Hochfrequenztechnik.'' 2. Auflage, Oldenbourg Verlag, München/Wien 2006, ISBN 3-486-57866-9.
* [[Curt Rint]]: ''Handbuch für Hochfrequenz- und Elektro-Techniker Band 2.'' 13. Auflage, Hüthig und Pflaum Verlag, Heidelberg 1981, ISBN 3-7785-0699-4.

== Weblinks ==
* [http://www.sengpielaudio.com/Rechner-zeitkonstante.htm Umrechnung Grenzfrequenz und Zeitkonstante]
* [http://www.sengpielaudio.com/Rechner-geommittel.htm Berechnung der Mittenfrequenz als geometrisches Mittel im Vergleich zum arithmetischen Mittel]
* [http://www.sengpielaudio.com/ZeitkonstanteUndUebergangsfrequenz.pdf Erklärungen zu Grenzfrequenz, Übergangsfrequenz oder Eckfrequenz und Zeitkonstante] (PDF; 228 kB)
* [[:en:Spatial cutoff frequency|Spatial cutoff frequency]] (englisch)

[[Kategorie:Digitale Signalverarbeitung]]
[[Kategorie:Nachrichtentechnik]]

Grenzfrequenz - Versionsgeschichte

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