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2024-06-15T20:35:52Z

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Das '''Gravizentrum''' eines [[Körper (Physik)|Körpers]] bezeichnet das Mittel aller Positionen, gewichtet nach der angreifenden [[Gravitationskraft]] im jeweiligen Punkt.

* Für ein [[Homogenität (Physik)|homogenes]] [[Gravitationsfeld]] (z. B. in der Nähe der [[Erdoberfläche]]) stimmt das Gravizentrum mit dem [[Massenmittelpunkt]] des Körpers überein.<ref>{{Literatur| Autor=James H. Allen| Titel=Statik für Maschinenbauer für Dummies| Verlag=[[John Wiley & Sons]]| Datum=2012| ISBN=978-3-527-70761-4| Seiten=158| Online=[https://books.google.de/books?id=yHqUJyQb1EcC&pg=PA158 Google Books]}}</ref> Daher werden beide Begriffe häufig undifferenziert als ''Schwerpunkt'' bezeichnet.
* Im allgemeinen Fall ''inhomogener'' Gravitationsfelder (dritter Fall unten) sind Gravizentrum und Massenmittelpunkt verschieden. Welcher der beiden Punkte als „Schwerpunkt“ bezeichnet wird, hängt dann vom Autor ab.

== Überblick ==
Bei näherer Betrachtung weist der Begriff des Schwerpunkts als Zentrum der Schwerkraft eine komplexere Struktur auf, als man von der [[Intuition|intuitiven]] Anschauung her – unter vereinfachenden Bedingungen wie konstante Schwerebeschleunigung und homogene [[Dichte]] – erwartet.

* Bei homogener Dichte (<math>\rho(\vec r) =\mathrm{konst.}= \rho</math>) und homogener Schwerkraft ([[Schwerebeschleunigung]] <math>g(\vec r) = \mathrm{konst.}=g </math>) lässt sich der Gesamtschwerpunkt einer Ansammlung aus der [[gewichtete Summe|gewichteten Summe]] der Schwerpunkte aller Subsysteme ermitteln:
::<math>\vec r_s = \frac{g \cdot \rho}{G} \int \vec r \; \mathrm dV</math>
:Mit
::<math>G = g \cdot \rho \int \mathrm dV</math>
:ergibt sich
::<math>\vec r_s = \frac{\int \vec r \, \mathrm dV}{V}.</math>

:Die Subsysteme werden so gewählt, dass ihre Schwerpunkte leicht zu bestimmen sind.
:Dabei sind
:: <math>\vec r</math> – [[Ortsvektor]]
:: <math>V</math> – [[Volumen]]
:: <math>G</math> – Gesamt[[Gewichtskraft|gewicht]]

* Bei Körpern mit inhomogener Dichte (<math>\rho(\vec r) \neq \mathrm{konst.}</math>) und bei konstantem Schwerefeld (<math>g(\vec r) = \mathrm{konst.}=g</math>) wird der Gesamtschwerpunkt berechnet als das erste [[Moment (Integration)|Moment]] der [[Verteilungsfunktion]] der Dichte einer Ansammlung im Raum, normiert auf das Gesamtgewicht:

::<math>\vec r_s = \frac{g}{G} \int \vec r \cdot \rho(\vec r)\,\mathrm dV</math>
:mit
::<math>G = g \int \rho(\vec r)\,\mathrm dV</math>
:ergibt sich
::<math>\vec r_s = \frac{\int \vec r \cdot \rho(\vec r)\,\mathrm dV}{\int \rho(\vec r)\,\mathrm dV}.</math>

:In diesem Fall, z. B. näherungsweise auf der Erdoberfläche oder bei Objekten, die so klein sind, dass sich die Schwerkraft im Bereich ihres Volumens nicht merklich ändert, stimmt das Gravizentrum des Systems mit seinem Massenmittelpunkt überein.

* Ist zusätzlich auch das Gravitationsfeld inhomogen (<math>g(\vec r) \neq \mathrm{konst.}</math>), so integriert man nicht über die Dichte (Massen), sondern über die [[Wichte]] <math>\rho(\vec r) \cdot g(\vec r)</math>:

::<math>\vec r_s = \frac{1}{G} \int \vec r \cdot \rho(\vec r) \cdot g(\vec r)\,\mathrm dV</math>
:mit
::<math>G = \int \rho(\vec r) \cdot g(\vec r)\,\mathrm dV</math>.

:Die Verteilungsfunktion ist das Produkt einer externen und einer internen Komponente: die externe wird von der ortsabhängigen [[Gravitationsbeschleunigung]] <math>g(\vec r)</math> gebildet, die interne, von der Ansammlung definierte, ist die Dichte. Diese Dichte gibt an, wo wie viel von „dem, was dem betrachteten System zugeordnet wird,“ lokalisiert ist; außerhalb ist sie Null. So beschreibt die Dichtefunktion die Form der Objekte.

== Auswirkung der Abweichung von Massenmittelpunkt und Gravizentrum ==
Eine [[Langhantel]] der Länge <math>d</math> falle scheinbar „schwerelos“ in einem niedrigen Orbit um die Erde. Sie sei schräg zur Vertikalen orientiert, so dass die beiden Gewichte eine Höhendifferenz von einem Meter haben. Die Schwerebeschleunigung <math>g</math> nimmt pro Meter Höhe um etwa <math>3 \cdot 10^{-7}g</math> ab. Bezogen auf den Massenmittelpunkt (Baryzentrum) liegt also das Gravizentrum um <math>1{,}5 \cdot 10^{-7}d</math> näher am tiefer liegenden Ende der Hantel. Im Gravizentrum greift die Schwerkraft an, während die Trägheitskraft ([[Zentrifugalkraft]]) im Baryzentrum angreift. Es entsteht ein kleines [[Drehmoment]] in Richtung vertikaler Ausrichtung, siehe [[Stabilisierung (Raumfahrt)#Gravitationsstabilisierung|Gravitationsstabilisierung von Satelliten]].

Auf die gleiche Weise entsteht das Drehmoment bei der [[Gezeitenreibung]].

== Siehe auch ==
* [[Geometrischer Schwerpunkt]]
* [[Baryzentrum]]
* [[Schwerefeld]]
* [[Massenverteilung]]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Himmelsmechanik]]

Gravizentrum - Versionsgeschichte

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