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2022-05-10T15:11:25Z

Gramsche Matrix

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Man kann in der [[Matrizenrechnung]] nur [[Determinante]]n von ''quadratischen'' Matrizen als Maß für die Volumenänderung ihrer Abbildung definieren. Für nichtquadratische Matrizen gibt es [[Minor (Mathematik)|Minoren]] und '''Gramsche Determinanten''' (nach [[Jørgen Pedersen Gram]]), die Ähnliches leisten.

== Definition ==

Für alle Matrizen <math>A \in K^{m \times n}</math> mit <math>m \geq n</math> nennt man <math>\operatorname{Gram}(A) = \det(A^T A)</math> die Gramsche Determinante. Es gilt: <math>\operatorname{Gram}(A)</math> ist für <math>K = \mathbb{R}</math> nie negativ und genau dann <math>0</math>, wenn <math>\operatorname{rang} A < n</math>, also wenn die Spalten von <math>A</math> [[Lineare Unabhängigkeit|linear abhängig]] sind. Man kann die Gramsche Determinante auch nach dem [[Satz von Binet-Cauchy]] als Summe über das Quadrat aller maximalen Minoren schreiben.

== Gramsche Matrix ==

Für <math>A \in \R^{m \times n}</math> sind die Einträge der Matrix <math>A^T A=:M</math> die [[Standardskalarprodukt|kanonischen Skalarprodukte]] der Spalten von <math>A</math>. Hierzu betrachtet man die folgende Verallgemeinerung:

Sei auf einem <math>n</math>-dimensionalen [[Vektorraum|K-Vektorraum]] <math>V</math> mit der [[Basis (Vektorraum)|Basis]] <math>(v_1,..,v_n)</math> eine [[Bilinearform]] <math>\langle\cdot , \cdot\rangle \colon V\times V\to K,\quad (v,w)\mapsto\langle v,w\rangle</math> definiert. Dann nennt man die Matrix
: <math>M :=
\begin{pmatrix}
\langle v_1, v_1 \rangle & \cdots & \langle v_1, v_n \rangle \\
\vdots & & \vdots \\
\langle v_n, v_1 \rangle & \cdots & \langle v_n, v_n \rangle
\end{pmatrix}
</math>
die zur Bilinearform <math>\langle\cdot , \cdot\rangle </math> gehörige Gramsche Matrix, bzw. darstellende Matrix der Bilinearform. Letzte wird durch die Einträge der Gram-Matrix vollständig festgelegt.
Die Bilinearform <math>\langle\cdot , \cdot\rangle </math> ist genau dann ein [[Skalarprodukt]], wenn <math>M</math> [[Symmetrische Matrix|symmetrisch]] und [[positiv definit]] ist.

Ist <math>\langle\cdot , \cdot\rangle </math> ein Skalarprodukt, <math> v_1,\dots,v_n </math> eine beliebige Menge von Vektoren aus <math>V</math>, so bezeichnet man <math>M</math> als die Gram-Matrix von <math> v_1,\dots,v_n </math>. Eine wichtige Anwendung in diesem Fall ist das Kriterium der linearen Unabhängigkeit: Die Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn ihre Gramsche Determinante (Determinante der Gram-Matrix) nicht Null ist. Da die Gramsche Determinante in diesem Falle nichtnegativ ist, kann man aus ihr die Wurzel ziehen und durch
: <math>\operatorname{Vol}(v_1,\dotsc,v_n) := \sqrt{\det(M)}</math>
das <math>n</math>-dimensionale Volumen des durch <math> v_1,\dots,v_n </math> aufgespannten [[Parallelepiped|Spates]] erklären.

== Siehe auch ==
* [[Spatprodukt#Doppeltes Spatprodukt]]

== Literatur ==

* {{bibISBN|3528972173}}
* {{bibISBN|9783528565084}}

[[Kategorie:Lineare Algebra]]
[[Kategorie:Matrix]]

Gramsche Determinante - Versionsgeschichte

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