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[[Datei:GrahamScanDemo.gif|mini|Animation des Graham Scan Algorithmus]]
Der '''Graham Scan''' (nach [[Ronald Graham]] 1972) ist ein effizienter [[Algorithmus]] zur Berechnung der [[Konvexe Hülle|konvexen Hülle]] einer endlichen Menge von Punkten in der Ebene. Bei <math>n</math> Punkten liegt seine [[asymptotische Laufzeit]] in <math>\mathcal O(n \cdot \log n)</math>.

== Beschreibung ==
=== Vorbereitung ===
[[Datei:Anglesort.svg|thumb|hochkant=1.2|Sortierung einer Punktmenge nach Winkel mit Bezugspunkt <math>P_0</math>.]]
Sei <math>S = \{P\}</math> eine endliche Punktmenge. Der Algorithmus beginnt mit einem Punkt der Menge, welcher garantiert ein Eckpunkt der konvexen Hülle ist. Man sucht sich dazu den Punkt mit der kleinsten [[Ordinate]]. Sind dies mehrere, so sucht man sich aus diesen Punkten den mit der kleinsten [[Abszisse]] aus ([[lexikographisch]]e Suche). Diese Suche kann in <math>O(n)</math> Schritten durchgeführt werden. Nachdem der Startpunkt <math>P_0</math> gefunden wurde, sortiert der Algorithmus die restlichen Punkte <math>P</math> in <math>S</math> nach aufsteigendem Winkel zwischen <math>P_0</math> → <math>P</math> und der x-Achse gegen den Uhrzeigersinn. Haben dabei zwei Punkte den gleichen Winkel (d. h. liegen mit <math>P_0</math> auf einer Linie, sind kollinear mit <math>P_0</math>), so wird der Punkt, welcher näher an <math>P_0</math> liegt, verworfen.

== Hilfsfunktion ==
[[Datei:Graham_Scan.svg|frame|right|PAB und ABC sind positiv orientierte Dreiecke, BCD ist negativ orientiert. Oder anders, C liegt links von AB, D liegt rechts von BC. Der Stack wird bis [P,A,B,C] aufgebaut, im nächsten Schritt wird C zugunsten von D entfernt.]]
In der nachfolgenden Rechnung muss wiederholt entschieden werden, ob drei Punkte <math>A=(x_A,y_A)</math>, <math>B=(x_B,y_B)</math>, <math>C=(x_C,y_C)</math> in der Ebene ein positiv orientiertes Dreieck bilden. Äquivalente Formulierungen dafür sind, dass der Streckenzug <math>ABC</math> einen Knick nach links hat oder dass der Punkt <math>C</math> links der Strecke von <math>A</math> nach <math>B</math> bzw. der Punkt <math>B</math> rechts von der Strecke von <math>A</math> nach <math>C</math> liegt.

Diese Aufgabe kann man durch Bestimmen aller relevanten Winkel lösen, oder einfacher durch die Berechnung einer [[Determinante]] <math>T(A, B, C)</math>, diese liefert das gewünschte Ergebnis mit weniger Rechenaufwand (fünf Subtraktionen, zwei Multiplikationen) und genauer. Das Ergebnis bleibt für rationale Koordinaten im [[Rationale Zahl|rationalen Zahlenbereich]], welcher ohne Verlust von Genauigkeit im Computer abgebildet werden kann. Das Ergebnis wird über den folgenden Ausdruck berechnet.

:<math>\begin{align}
T(A, B, C) &= \begin{vmatrix}
1&x_A&y_A\\
1&x_B&y_B\\
1&x_C&y_C
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
1&x_A & y_A\\
0&x_B-x_A&y_B-y_A\\
0&x_C-x_A&y_C-y_A
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
x_B-x_A&y_B-y_A\\
x_C-x_A&y_C-y_A
\end{vmatrix}
\\&=
(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (x_C - x_A)(y_B - y_A) \\
&=
\begin{cases}
< 0, & \text{wenn }C\text{ ist rechts von }\overrightarrow{AB} \\
= 0, & \text{wenn }C\text{ ist auf }\overrightarrow{AB} \\
> 0, & \text{wenn }C\text{ ist links von }\overrightarrow{AB}
\end{cases}
\end{align}</math>

=== Berechnung ===
[[Datei:sortedpointset.jpg|thumb|310px|Nach Winkel sortierte Punktmenge – <math>P_0</math> wird als Startpunkt gewählt, da er den kleinsten Ordinatenwert hat. <math>P_1</math> fällt heraus, da er mit <math>P_2</math> und <math>P_0</math> kollinear ist.]]

<math>S</math> sei nun die sortierte Punktmenge. Als Nächstes läuft man alle Punkte in <math>S</math> durch und prüft, ob diese Eckpunkte der konvexen Hülle sind. Es wird ein [[Stapelspeicher]] (Stack) angelegt, auf welchem sich alle Eckpunkte der konvexen Hülle für alle bereits abgearbeiteten Punkte befinden. Zu Beginn liegen <math>P_0</math> und <math>P_1</math> auf dem Stapel. Im <math>k</math>-ten Schritt wird <math>P_k</math> zur Betrachtung herangezogen und berechnet, wie er die vorherige konvexe Hülle verändert. Aufgrund der Sortierung liegt <math>P_k</math> immer außerhalb der Hülle der vorherigen Punkte <math>P_i</math> mit <math>i < k</math>.

Durch das Hinzufügen des Punktes kann es vorkommen, dass bereits auf dem Stapel liegende Punkte nicht mehr zur neuen konvexen Hülle gehören. Diese Punkte müssen mittels der „pop“ Operation vom Stapel entfernt werden. Ob ein Punkt noch zur konvexen Hülle gehört oder nicht ermittelt man, indem man berechnet, ob <math>P_k</math> links oder rechts des Vektors PT2→PT1 liegt (PT1 = oberstes Element des Stapels, PT2 = Element direkt unter PT1). Liegt <math>P_k</math> links, so bleibt PT1 weiterhin auf dem Stapel und <math>P_k</math> wird mit „push“ auf dem Stapel abgelegt, liegt <math>P_k</math> rechts, so wird PT1 von der neuen konvexen Hülle verschluckt, vom Stapel entfernt und die nächsten beiden oberen Punkte untersucht.

Dieser Test wird solange durchgeführt, bis <math>P_k</math> links des [[Vektor]]s PT2→PT1 oder nur noch <math>P_0</math> und ein weiterer Punkt auf dem Stapel liegt. In beiden Fällen wird dann <math>P_k</math> auf dem Stapel abgelegt und mit dem nächsten Punkt <math>P_{k+1}</math> weitergerechnet. Die folgende Abbildung zeigt ein Beispiel, in welchem alle Fälle des eben beschriebenen Tests auftreten.

[[Datei:testv.jpg|thumb|310px|Beispiel – Graham Scan Algorithmus]]

In nebenstehender Abbildung werden zunächst die Punkte Pt4, Pt3, Pt2 und <math>P_{k-1}</math> auf den Stack gelegt. Zu jedem Zeitpunkt bilden die Punkte auf dem Stack ein konvexes Polygon (gestrichelte Linien). Erst als <math>P_k</math> hinzukommen soll, fallen <math>P_{k-1}</math> und Pt2 wieder raus, da sie zusammen mit <math>P_k</math> nicht konvex sind. Die konvexe Hülle dieser Punktmenge besteht aus <math>P_0</math>, Pt4, Pt3 und <math>P_k</math>. <math>P_0</math> liegt dabei auf dem Stack ganz unten und <math>P_k</math> ganz oben. Die Punkte des gesuchten konvexen Polygons können mit „pop“ im Uhrzeigersinn vom Stapel geholt werden.

=== Anmerkung ===
Die Anzahl der „push“ und „pop“ Operationen übersteigt die obere Grenze von <math>2n</math> (<math>n</math> = Anzahl der Punkte in der Eingabemenge) nicht. Die Berechnung ist also <math>\mathcal O(n)</math>. Die Sortierung der Punkte nach Winkel kann mit jedem beliebigen Sortieralgorithmus durchgeführt werden, z. B. [[Mergesort]]. Dieser hat eine asymptotische [[Zeitkomplexität|Laufzeit]] von <math>\mathcal O(n \log n)</math>. Das bedeutet, dass die Laufzeit des Algorithmus durch die Sortierung vorgegeben ist, da <math>\mathcal O(n) + \mathcal O(n \log n) = \mathcal O(n \log n)</math>.

== Pseudocode ==
=== Unter Nutzung eines Stacks ===
'''Funktion''' GrahamScan
Eingabe: Punktemenge S = {P}
Ausgabe: konvexe Hülle von S
'''Beginn''' Funktion
Sei S die nach dem Winkel zu P0 sortierte Punktemenge
PUSH(P0)
PUSH(P1)
i := 2
n := Anzahl der Punkte in S

'''Solange''' i < n, führe aus:
Sei Pt1 der oberste Punkt auf dem Stack
Sei Pt2 der zweitoberste Punkt auf dem Stack
'''Wenn''' Si links des Vektors Pt2→Pt1 liegt '''oder''' Stack enthält 2 Elemente, '''dann''' führe aus:
PUSH(Si)
i := i + 1
'''Ansonsten''' führe aus:
POP(Pt1)
'''Ende''' Bedingung

'''Ende''' Schleife

'''Ende''' Funktion

=== Ohne Nutzung eines Stacks ===
'''Funktion''' GrahamScan
Eingabe: Punktemenge S = {P}
Ausgabe: konvexe Hülle von S
'''Beginn''' Funktion
Sei S die nach dem Winkel zu P0 sortierte Punktemenge
i := 1

'''Solange''' i ≤ |S|:
'''Wenn''' Si rechts des Vektors Si−1→Si+1 liegt, '''dann''' führe aus:
i := i + 1
'''Ansonsten''' führe aus:
Entferne das Element Si aus S
i := i - 1
'''Ende''' Bedingung

'''Ende''' Schleife

'''Ende''' Funktion

Im Code sei <code>punkte</code> ein [[Feld (Datentyp)|Array]] aus Punkten, aus dem man mit <code>punkte[i]</code> das <code>i</code>-te Element erhält und welches schon nach dem Winkel zu <code>punkte[0]</code> sortiert ist. Der Code verändert dieses Array, indem die Elemente gelöscht werden, die nicht zur konvexen Hülle gehören.

== Programmierung ==
Das folgende Beispiel in der [[Programmiersprache]] [[C-Sharp|C#]] zeigt die Implementierung des Graham Scan Algorithmus. Die Punkte und die [[konvexe Hülle]] werden auf dem Hauptfenster gezeichnet. Das Programm verwendet mehrere [[Klasse (Objektorientierung)|Klassen]]. Die [[Methode (Programmierung)|Methoden]] für den eigentlichen Algorithmus werden in der Klasse ''GrahamScan'' deklariert.<ref>Rosetta Code: [https://rosettacode.org/wiki/Convex_hull Convex hull]</ref><ref>GeeksforGeeks: [https://www.geeksforgeeks.org/convex-hull-set-2-graham-scan/ Convex Hull]</ref>
{| class="wikitable left mw-collapsible mw-collapsed font-size: 105.3%;"
|style="text-align:left; font-size: 95%;"| '''Code-Schnipsel'''  
|-
|
<syntaxhighlight lang="c#">
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Drawing;
using System.Windows.Forms;

// Klasse, die die Methoden für den Algorithmus Graham Scan deklariert
class GrahamScan
{
// Diese Methode gibt das zweitoberste Element im Stack der Punkte zurück
private PointF GetNextToTopElement(Stack<PointF> points)
{
PointF topElement = points.Peek();
points.Pop();
PointF nextToTopElement = points.Peek();
points.Push(topElement);
return nextToTopElement;
}

// Diese Methode gibt den Abstand der zwei Punkte zurück
private float GetDistance(PointF point1, PointF point2)
{
return (point1.X - point2.X) * (point1.X - point2.X) + (point1.Y - point2.Y) * (point1.Y - point2.Y);
}

// Diese Methode bestimmt die Orientierung des drei Punkte. Wenn die Punkte im Uhrzeigersinn sind, wird der Wert 1 zurückgegeben. Wenn die Punkte im Gegenuhrzeigersinn sind, wird der Wert -1 zurückgegeben. Wenn die Punkte kollinear sind, wird der Wert 0 zurückgegeben.
private int GetOrientation(PointF point1, PointF point2, PointF point3)
{
float area = (point2.Y - point1.Y) * (point3.X - point2.X) - (point2.X - point1.X) * (point3.Y - point2.Y);
if (area > 0) // Wenn das Vorzeichen positiv ist, sind die Punkte im Uhrzeigersinn
{
return 1;
}
if (area < 0) // Wenn das Vorzeichen negativ ist, sind die Punkte im Gegenuhrzeigersinn
{
return -1;
}
return 0; // Wenn der Flächeninhalt gleich 0 ist, sind die Punkte kollinear
}

// Diese Klasse implementiert eine Vergleichsmethode für das Sortieren der Punkte
class PointComparer : Comparer<PointF>
{
public PointF center;
public GrahamScan grahamScan;

// Vergleichsmethode, die die Punkte in Bezug auf den Punkt center sortiert
public override int Compare(PointF point1, PointF point2)
{
int orientation = grahamScan.GetOrientation(center, point1, point2);
if (orientation == 0)
{
if (grahamScan.GetDistance(center, point2) >= grahamScan.GetDistance(center, point1))
{
return -1;
}
return 1;
}
return orientation;
}
}

// Diese Methode gibt eine Liste der Punkte der konvexen Hülle zurück
public List<PointF> GetConvexHull(List<PointF> points)
{
List<PointF> convexHull = new List<PointF>(); // Initialisiert die Liste der Punkte der konvexen Hülle
float minimumY = points[0].Y;
int indexOfMinimum = 0;
int numberOfpoints = points.Count;
// Diese for-Schleife durchläuft die verbleibenden Punkte und ermittelt den untersten Punkt und bei Gleichheit den Punkt ganz links
for (int i = 1; i < numberOfpoints; i++)
{
float y = points[i].Y;
if (y < minimumY || minimumY == y && points[i].X < points[indexOfMinimum].X)
{
minimumY = points[i].Y;
indexOfMinimum = i;
}
}
// Setzt den untersten Punkt an die erste Position
PointF point = points[0];
points[0] = points[indexOfMinimum];
points[indexOfMinimum] = point;
// Initialisiert das Objekt, das die Vergleichsmethode bereitstellt
PointComparer pointComparer = new PointComparer();
pointComparer.center = points[0];
pointComparer.grahamScan = this;
points.Sort(pointComparer); // Sortiert die Punkte in Bezug auf den ersten Punkt
// Wenn zwei oder mehr Punkte den gleichen Winkel mit dem Punkt point bilden, werden alle entfernt außer dem Punkt, der am weitesten vom Punkt point entfernt ist
int index = 1;
for (int i = 1; i < numberOfpoints; i++)
{
// Entfernt jeweils das Element mit Index i, solange die Punkte der gegebenen Elemente kollinear sind
while (i < numberOfpoints - 1 && GetOrientation(pointComparer.center, points[i], points[i + 1]) == 0)
{
i++;
}
points[index] = points[i];
index++;
}
if (index < 3) // Wenn weniger als 3 Punkte vorhanden sind, wird eine leere Liste zurückgegeben
{
return convexHull;
}
// Erzeugt einen Stack und fügt die ersten 3 Punkte hinzu
Stack<PointF> pointStack = new Stack<PointF>();
pointStack.Push(points[0]);
pointStack.Push(points[1]);
pointStack.Push(points[2]);
// Diese for-Schleife durchläuft die verbleibenden Punkte
for (int i = 3; i < index; i++)
{
// Entfernt jeweils das oberste Element des Stack, solange die Punkte der gegebenen Elemente im Uhrzeigersinn sind
while (pointStack.Count > 1 && GetOrientation(GetNextToTopElement(pointStack), pointStack.Peek(), points[i]) != -1)
{
pointStack.Pop();
}
pointStack.Push(points[i]);
}
// Fügt die Punkte des Stack der Liste der Punkte der konvexen Hülle hinzu
while (pointStack.Count != 0)
{
convexHull.Add(pointStack.Peek());
pointStack.Pop();
}
return convexHull;
}
}

// Klasse für das Hauptfenster
public partial class MainForm : Form
{
private Graphics graphics;

private List<PointF> points = new List<PointF>(); // Liste der Punkte
private List<PointF> convexHull = new List<PointF>(); // Liste der Punkte der konvexen Hülle
private double x1, y1, x2, y2;

public MainForm()
{
x1 = 100; y1 = 100; x2 = 700; y2 = 700; // Setzt die Koordinaten der Eckpunkte der quadratischen Zeichenfläche
Random random = new Random(); // Initialisiert den Zufallsgenerator
int numberOfPoints = 100;
for (int i = 0; i < numberOfPoints; i++) // Diese for-Schleife erzeugt 100 zufällige Punkte innerhalb der quadratischen Zeichenfläche
{
PointF point = new PointF();
point.X = (float)(random.NextDouble() * (x2 - x1) + x1);
point.Y = (float)(random.NextDouble() * (y2 - y1) + y1);
points.Add(point); // Fügt den Punkt der Liste hinzu
}

GrahamScan grahamScan = new GrahamScan(); // Erzeugt ein Objekt der Klasse GrahamScan
convexHull = grahamScan.GetConvexHull(points); // Aufruf der Methode, die die konvexe Hülle zurückgibt

InitializeComponent();
Text = "Konvexe Hülle";
Width = 800;
Height = 800;
graphics = CreateGraphics(); // Erzeugt ein Grafikobjekt für das Zeichnen auf dem Hauptfenster.
Paint += OnPaint; // Verknüpft die Ereignisbehandlungsmethode mit dem Paint Ereignis des Hauptfensters.
}

// Diese Methode wird aufgerufen, wenn das Hauptfenster gezeichnet wird.
private void OnPaint(object sender, PaintEventArgs e)
{
for (int i = 0; i < points.Count; i++)
{
graphics.FillRectangle(new SolidBrush(Color.FromArgb(0, 0, 0)), points[i].X - 1, points[i].Y - 1, 2, 2); // Zeichnet die Punkte
}
int numberOfPoints = convexHull.Count;
for (int i = 0; i < numberOfPoints; i++)
{
graphics.DrawLine(new Pen(Color.FromArgb(0, 0, 255)), convexHull[i], convexHull[(i + 1) % numberOfPoints]); // Zeichnet die Kanten der konvexen Hülle
}
}
}
</syntaxhighlight>
|}

== Weblinks ==
* [http://www.informatik.uni-trier.de/~naeher/Professur/PROJECTS/grahams_scan/index.htm Erklärungen samt Visualisierung des Verfahrens]
* [http://cs.smith.edu/~jorourke/books/compgeom.html Computational Geometry in C (Second Edition)]
* [http://www.iti.fh-flensburg.de/lang/algorithmen/geo/graham.htm Erklärung und Pseudocode]
* [https://github.com/njanakiev/graham-scan Animation des Graham Scan Algorithmus]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Algorithmische Geometrie]]

Graham Scan - Versionsgeschichte

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