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2024-12-24T20:02:01Z

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Unter '''Graduierung''' versteht man im [[Mathematik|mathematischen]] Teilgebiet der [[Algebra]] die Zerlegung einer [[abelsche Gruppe|abelschen Gruppe]] oder komplizierterer Objekte in Teile eines bestimmten ''Grades''. Das namengebende Beispiel ist der [[Polynomring]] in einer Unbestimmten: Beispielsweise ist das Polynom <math>X^3+3X+5</math> Summe der [[Monom]]e <math>X^3</math> (Grad 3), <math>3X</math> (Grad 1) und <math>5</math> (Grad 0). Umgekehrt kann man endlich viele Monome verschiedenen Grades vorgeben und erhält als Summe ein Polynom.

Es sei durchweg <math>\Gamma</math> eine feste abelsche Gruppe. Beispielsweise kann man <math>\Gamma=\mathbb Z</math> oder <math>\Gamma=\mathbb Z/2\mathbb Z</math> wählen.

== Graduierte Vektorräume ==
Es sei <math>K</math> ein [[Körper (Algebra)|Körper]]. Eine <math>\Gamma</math>-Graduierung auf einem <math>K</math>-Vektorraum <math>V</math> ist ein System <math>(V_\gamma)_{\gamma\in\Gamma}</math> von [[Untervektorraum|Untervektorräumen]], so dass <math>V</math> die [[direkte Summe]] der <math>V_\gamma</math> ist:
:<math>V=\bigoplus_{\gamma\in\Gamma}V_\gamma</math>
Die Vektorräume <math>V_\gamma</math> heißen die graduierten Bestandteile von <math>V</math>.

Elemente <math>v\in V_\gamma\setminus \left\{0\right\}</math> heißen homogen vom Grad <math>\gamma</math> und man schreibt dafür kurz <math>\operatorname{deg} v = \gamma</math> oder <math>\partial v = \gamma</math>. Jedes Element <math>v</math> von <math>V</math> kann genau auf eine Weise als Summe homogener Elemente verschiedenen Grades geschrieben werden; sie heißen die homogenen Bestandteile (oder Komponenten) von <math>v</math>.

Graduierte abelsche Gruppen und <math>R</math>-Moduln für (gewöhnliche, nicht graduierte) Ringe <math>R</math> sind analog definiert.

Ist <math>\Gamma=\mathbb Z</math>, so spricht man häufig nicht explizit von einer <math>\mathbb Z</math>-Graduierung, sondern schlicht von einer Graduierung.

== Graduierte Algebren ==
Es sei <math>K</math> ein [[Körper (Algebra)|Körper]]. Eine <math>\Gamma</math>-Graduierung auf einer <math>K</math>-[[Algebra (Struktur)|Algebra]] <math>A</math> ist eine <math>\Gamma</math>-Graduierung auf <math>A</math> als <math>K</math>-Vektorraum, das heißt <math>\textstyle A=\bigoplus_{\gamma\in\Gamma}A_\gamma</math> für Untermoduln <math>(A_\gamma)_{\gamma \in \Gamma}</math>, für die gilt
: <math>A_\gamma\cdot A_\delta\subseteq A_{\gamma+\delta}</math>
für <math>\gamma,\delta\in\Gamma</math>, d. h.
: <math>a_\gamma a_\delta\in A_{\gamma+\delta}</math> für <math>a_\gamma\in A_\gamma,a_\delta\in A_\delta</math>
gilt.

== Graduierte Ringe ==
{{Hauptartikel|Graduierter Ring}}
Es sei <math>R</math> ein Ring.
Eine <math>\Gamma</math>-Graduierung auf <math>R</math> ist eine Familie <math>(R_\gamma)_{\gamma \in \Gamma}</math>, so dass
: <math> R = \bigoplus_{\gamma\in \Gamma}R_\gamma </math>,
und
: <math>R_\gamma\cdot R_\delta\subseteq R_{\gamma+\delta}</math> für alle <math>\gamma,\delta\in\Gamma</math>.<ref>Ernst Kunz: ''Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie'', Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Definition 5.3 für <math>\Gamma = \Z</math></ref>
Dies verallgemeinert obige Definition für Algebren. Man beachte, dass für Algebren verlangt wird, dass die direkten Summanden der homogenen Elemente <math>K</math>-Untervektorräume sind, das heißt, dass eine Ring-Graduierung einer <math>K</math>-Algebra möglicherweise keine Algebren-Graduierung, wie sie oben definiert wurde, ist.

== Graduierte Moduln ==
Es sei <math>R</math> ein <math>\Gamma</math>-graduierter Ring. Ein <math>\Gamma</math>-graduierter <math>R</math>-Modul <math>M</math> ist ein <math>R</math>-Modul
:<math>M = \bigoplus_{\gamma \in \Gamma} M_\gamma</math>,
so dass
:<math> R_\gamma\cdot M_\delta\subseteq M_{\gamma+\delta} </math>
für <math>\gamma,\delta\in\Gamma</math> gilt.

Diese Definition bezieht sich auf den Fall von Linksmoduln, graduierte Rechtsmoduln sind analog definiert. Bei einer entsprechenden Definition für <math>K</math>-Algebren verlangt man noch, dass die <math>M_\gamma</math> in obiger Definition <math>K</math>-Vektorräume sind.

== Beispiele ==
* Der [[Polynomring]] <math>A=K[X_1,\ldots,X_n]</math> in <math>n</math> Unbestimmten über einem Körper <math>K</math> ist durch den Gesamtgrad graduiert:
:: <math>A=\bigoplus_{d\in\mathbb Z}A_d,\quad A_d=\langle X_1^{e_1}\cdots X_n^{e_n}\mid e_1+\ldots+e_n=d\rangle_K.</math>
: (Offenbar ist <math>A_d=0</math> für <math>d<0</math>.)
: Es gibt aber noch andere Graduierungen auf <math>A</math>: Es seien <math>\lambda_1,\ldots,\lambda_n</math> positive ganze Zahlen. Dann ist durch
:: <math>A=\bigoplus_{d\in\mathbb Z}\tilde A_d,\quad\tilde A_d=\langle X_1^{e_1}\cdots X_n^{e_n}\mid \lambda_1e_1+\ldots+\lambda_ne_n=d\rangle_K</math>
: ebenfalls eine Graduierung von <math>A</math> definiert, bei der jedoch das Monom <math>X_i</math> Grad <math>\lambda_i</math> hat.
* [[Tensoralgebra]], [[symmetrische Algebra]] und [[äußere Algebra]] sind graduierte Algebren.
* Ist <math>A</math> ein (kommutativer) [[Noetherscher Ring|noetherscher]] [[lokaler Ring]] mit maximalem Ideal <math>\mathfrak m</math> und Restklassenkörper <math>k=A/\mathfrak m</math>, so ist
:: <math>\operatorname{gr}A=\bigoplus_{n\geq0}\mathfrak m^n/\mathfrak m^{n+1}</math>
: eine endlich erzeugte graduierte <math>k</math>-Algebra.
: Ist beispielsweise <math>A=\mathbb Z_p</math> für eine Primzahl <math>p</math>, so ist <math>\operatorname{gr}A\cong\mathbb F_p[T]</math>.

== {{Anker|ℤ/2-Graduierung}} ℤ/2ℤ-Graduierung ==
Eine <math>\mathbb Z/2\mathbb Z</math>-Graduierung eines Ringes oder einer Algebra <math>A</math> ist eine Zerlegung <math>A=A_0\oplus A_1</math> mit <math>A_iA_j \subset A_{i+j}</math>. Dann ist <math>\alpha:A\rightarrow A, \alpha(a_0+a_1) := a_0-a_1</math> ein [[Automorphismus]] auf <math>A</math> mit <math>\alpha^2 = \mathrm{id}_A</math>. Umgekehrt definiert jeder solche Automorphismus eine Graduierung
:<math>A_0 := \{a\in A; \alpha(a) = a\}</math>
:<math>A_1:= \{a\in A; \alpha(a) = -a\}</math>.
Eine <math>\mathbb Z/2\mathbb Z</math>-Graduierung ist also nichts weiter als die Auszeichnung eines [[selbstinvers]]en Automorphismus. Speziell für [[C*-Algebra|C*-Algebren]] ist eine <math>\mathbb Z/2\mathbb Z</math>-Graduierung ein [[C*-dynamisches System]] mit Gruppe <math>\mathbb Z/2\mathbb Z</math>. Unter einer graduierten C*-Algebra versteht man in der Regel eine <math>\mathbb Z/2\mathbb Z</math>-graduierte C*-Algebra.

Viele mathematische Konstruktionen werden bei graduierten Objekten so angepasst, dass die vorliegende Graduierung respektiert wird. So definiert man etwa einen ''graduierten Kommutator'' für homogene Elemente durch
:<math>[x,y] := xy - (-1)^{\partial x \cdot \partial y}yx</math>
und für allgemeine Elemente durch lineare Fortsetzung. Man erhält dann zum Beispiel eine ''graduierte [[Jacobi-Identität]]''<ref>Bruce Blackadar: ''K-Theory for Operator Algebras'', Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Satz 14.1.3</ref>
:<math>(-1)^{\partial x \cdot \partial z}[[x,y],z] + (-1)^{\partial x \cdot \partial y}[[y,z],x] + (-1)^{\partial y \cdot \partial z}[[y,z],x] = 0</math>
für homogene Elemente <math>x,y,z\in A</math>

Auch die Bildung des [[Tensorprodukt]]es wird entsprechend angepasst. Die [[Multiplikation]] im ''graduierten Tensorprodukt'' <math>\mathbb Z/2\mathbb Z</math>-graduierter Ringe <math>A</math> und <math>B</math> wird dann für Elementartensoren homogener Elemente durch
:<math>(a_1\otimes b_1)(a_2\otimes b_2) := (-1)^{\partial b_1\cdot \partial a_2}(a_1a_2\otimes b_1b_2)</math>
festgelegt. Sätze wie <math>A\otimes B \cong B\otimes A</math> lassen sich auch für die graduierten Tensorprodukte beweisen. Gibt es zusätzlich eine [[Involution (Mathematik)|Involution]] auf den Ringen bzw. Algebren, wie zum Beispiel im Falle von C*-Algebren, so wird eine Involution auf dem graduierten Tensorprodukt durch
:<math>(a\otimes b)^* := (-1)^{\partial a\cdot \partial b}(a^*\otimes b^*)</math>, <math>a,b</math> homogen,
definiert. Durch Übergang zur [[Einhüllende C*-Algebra|einhüllenden C*-Algebra]] erhält man so ein Tensorprodukt graduierter C*-Algebren.<ref>Bruce Blackadar: ''K-Theory for Operator Algebras'', Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Definition 14.4.1</ref>

== Literatur ==
* [[Serge Lang]]: ''Algebra.'' Revised 3rd Edition, Springer-Verlag, 2002, ISBN 0-387-95385-X

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Algebra]]

Graduierung (Algebra) - Versionsgeschichte

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