imported>Boehm: link beim ersten Auftreten,

2025-06-24T20:20:22Z

link beim ersten Auftreten,

Neue Seite

[[Datei:Gradient2.svg|mini|Zwei Skalarfelder, dargestellt als Grauschattierung (dunklere Färbung entspricht größerem Funktionswert). Die blauen Pfeile darauf symbolisieren den zugehörigen Gradienten.]]

Der '''Gradient''' als [[Operator (Mathematik)|Operator]] der [[Mathematik]] verallgemeinert die bekannten [[Gradient]]en (meist aus der Physik), die den Verlauf von [[Physikalische Größe|physikalischen Größen]] beschreiben. Als [[Differentialoperator]] kann er beispielsweise auf ein [[Skalarfeld]] angewandt werden und wird in diesem Fall ein [[Vektorfeld]] liefern, das [[Gradientenfeld]] genannt wird. Der Gradient ist eine Verallgemeinerung der [[Ableitungsfunktion|Ableitung]] in der [[Mehrdimensionale Analysis|mehrdimensionalen Analysis]]. Zur besseren Abgrenzung zwischen Operator und Resultat seiner Anwendung bezeichnet man solche Gradienten skalarer Feldgrößen in manchen Quellen auch als Gradientvektoren.<ref>[[Ernst Grimsehl]]: ''Lehrbuch der Physik.'' Band 1: ''Mechanik, Wärmelehre, Akustik.'' 15. Auflage, herausgegeben von Walter Schallreuter. Teubner, Leipzig 1954, S. 579.</ref>

In [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinaten]] sind die Komponenten des Gradientvektors die [[Partielle Ableitung|partiellen Ableitungen]] im Punkt <math>P</math>, der Gradient zeigt deshalb in die Richtung des größten Wertanstiegs. Der Betrag des Gradienten gibt den Wert der größten Änderungsrate an diesem Punkt an.

Beispielsweise kann man die [[Reliefkarte]] einer Landschaft so auffassen, dass sie jedem Ort <math>(x,y)</math> die Höhe <math>h</math> an dieser Stelle zuordnet. Dann ist der Gradient an der Stelle <math>(x,y)</math> genau der Vektor („Pfeil“), der in die ''Richtung'' des größten Höhenanstiegs bei <math>(x,y)</math> zeigt. Der ''Betrag'' („Länge“) dieses Vektors gibt an, wie stark die (größte) [[Steigung]] an diesem Punkt ist.<br />Zu jeder Stelle <math>(x,y)</math> gibt es genau einen Gradienten. Zeichnet man zu allen Stellen <math>(x,y)</math> der Reliefkarte den jeweils zugehörigen Gradientenvektor ein, dann erhält man das gesamte ''Vektorfeld''.

Der Gradient wird zusammen mit anderen Differentialoperatoren wie [[Divergenz eines Vektorfeldes|Divergenz]] und [[Rotation eines Vektorfeldes|Rotation]] in der [[Vektoranalysis|Vektor-]] und [[Tensoranalysis]], Teilgebieten der [[Mehrdimensionale Analysis|mehrdimensionalen Analysis]], untersucht. Sie werden mit dem gleichen Vektoroperator gebildet, und zwar mit dem [[Nabla-Operator]] <math>\nabla</math> (bisweilen auch <math>\vec{\nabla}</math> oder <math>\underline \nabla</math>, um anzudeuten, dass der Nabla-Operator hilfsweise als Vektor verstanden werden kann).

== Definition ==
Auf <math>\R^{n}</math> sei das [[Skalarprodukt]] <math>\langle {\cdot},{\cdot} \rangle</math> gegeben. Der Gradient <math>\operatorname{grad}</math> der total differenzierbaren Funktion <math>f \colon \R^n \to \R </math> im Punkt <math>\vec a \in \R^n</math> ist der durch die Forderung
:<math>\mathrm{d} f(\vec a) \vec h = \langle \operatorname{grad} f(\vec a) , \vec h \rangle\quad (\vec h \in \R^n)</math>
eindeutig bestimmte Vektor <math>\operatorname{grad} f(\vec a).</math> Der Operator <math>\mathrm{d}</math> ist das [[Totales Differential|totale Differential]] bzw. die [[Cartan-Ableitung]].

Der Gradient hat für [[Differenzierbarkeit|differenzierbare]] Funktionen <math>f</math> die definierende Eigenschaft<ref name="hbphys">{{Literatur
| Autor=M. E. Gurtin
| Herausgeber=S. Flügge
| Titel=The Linear Theory of Elasticity
| Sammelwerk=Handbuch der Physik
| Band=Bd. VI2/a, Bandherausgeber C. Truesdell
| Seiten=10
| Verlag=Springer
| Jahr=1972
| ISBN=3-540-05535-5}}</ref>

:<math>f(\vec y)-f(\vec a)=\mathrm{grad}f(\vec a)[\vec y-\vec a]
+\mathcal{O}(|\vec y-\vec a|)</math> für <math>\vec y\to\vec a\;.</math>

Das [[Landau-Symbole|Landau-Symbol]] <math>\mathcal{O}(x)</math> steht für Terme, die langsamer als <math>x</math> wachsen, und <math>\ldots[\vec h]</math> stellt eine [[lineare Funktion]] von <math>\vec h</math> dar. Wenn der Gradient existiert, ist er eindeutig und kann aus

:<math>\mathrm{grad}f(\vec a)[\vec h]
=\left.\frac{\mathrm d}{\mathrm ds}f(\vec a+s\vec h)\right|_{s=0}
=\lim_{s\to0}\frac{f(\vec a+s\vec h)-f(\vec a)}{s}
=(\vec h\cdot\nabla)f
</math>

berechnet werden, wo <math>\nabla</math> der [[Nabla-Operator]] ist. So werden auch Gradienten für Skalar-, Vektor- und [[Tensorfeld]]er zweiter Stufe oder allgemein Tensorfelder n-ter Stufe definiert.<ref>{{Literatur
| Autor=C. B. Lang, N. Pucker
| Titel=Mathematische Methoden in der Physik
| Verlag=Springer Spektrum
| Seiten=420
| Ort=Berlin, Heidelberg
| Jahr=2016
| ISBN=978-3-662-49312-0
| DOI=10.1007/978-3-662-49313-7}}, {{Literatur
| Autor=[[Holm Altenbach]]
| Titel=Kontinuumsmechanik
| TitelErg=Einführung in die materialunabhängigen und materialabhängigen Gleichungen
| Seiten=43
| Verlag=Springer-Verlag
| Ort=Berlin, Heidelberg
| Datum=2012
| ISBN=978-3-642-24118-5
| DOI=10.1007/978-3-642-24119-2}}
</ref>

Für ein Skalarfeld folgt hieraus <math>\mathrm{grad}f=\nabla f</math>; oft schreibt man daher <math>\nabla f</math> (gesprochen „[[Nabla]] <math>f</math>“) statt <math>\operatorname{grad}{f}</math>.

== Koordinatendarstellung ==
Der Gradient hat in unterschiedlichen Koordinatensystemen auch unterschiedliche Darstellungen.

=== Kartesische Koordinaten ===
Im <math>\R^n</math> mit dem euklidischen [[Standardskalarprodukt]] ist <math>\operatorname{grad} f(a)</math> der Spaltenvektor

:<math>\operatorname{grad}(f) = \frac{\partial f}{\partial x_{1}}\hat{e}_{1} + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_{n}}\hat{e}_{n} = \begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_{1}}\\ \vdots\\ \frac{\partial f}{\partial x_{n}} \end{pmatrix}.</math>

Die Einträge <math>\tfrac{\partial f}{\partial x_i}</math> sind die [[Partielle Ableitung|partiellen Ableitungen]] von <math>f</math> in <math>x_i</math>-Richtung.

==== Rechenbeispiel ====
Gegeben sei ein Skalarfeld durch <math>f(x,y)=2x^2-y^2</math> in der [[xy-Ebene]]. Es hat die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{\partial f}{\partial x} = 4x</math> und <math>\tfrac{\partial f}{\partial y} = -2y</math> und es folgt <math>\operatorname{grad}(f) = \nabla f = \tfrac{\partial f}{\partial x}\hat{e}_x + \tfrac{\partial f}{\partial y}\hat{e}_y = 4x\hat{e}_x - 2y \hat{e}_y</math> oder in Vektordarstellung <math>\textstyle\operatorname{grad}(f) = \nabla f = \begin{pmatrix}4x\\-2y\end{pmatrix}.</math>

Für den Punkt <math>P(2|1)</math> lautet beispielsweise der Gradientvektor <math>\begin{pmatrix}8\\-2\end{pmatrix}</math>. Der Betrag ist <math>\left|\begin{pmatrix}8\\-2\\\end{pmatrix}\right| = \sqrt{8^2 + (-2)^2} \approx 8{,}25 </math>.

=== Zylinder- und Kugelkoordinaten ===
* Darstellung in dreidimensionalen [[Zylinderkoordinaten]]: <math>V = V\left(\rho;\varphi;z\right)</math>

:<math>\operatorname{grad} V=\frac{{\partial V}}{{\partial\rho}}\hat{e}_{\rho}+\frac{1}{\rho}\frac{{\partial V}}{{\partial\varphi}}\hat{e}_{\varphi}+\frac{{\partial V}}{{\partial z}}\hat{e}_{z}</math>

* Darstellung in dreidimensionalen [[Kugelkoordinaten]]: <math>V = V\left(r;\vartheta;\varphi\right)</math>

:<math>\operatorname{grad} V=\frac{{\partial V}}{{\partial r}}\hat{e}_{r}+\frac{1}{r}\frac{{\partial V}}{{\partial\vartheta}}\hat{e}_{\vartheta}+\frac{1}{{r\sin\vartheta}}\frac{{\partial V}}{{\partial\varphi}}\hat{e}_{\varphi}</math>

Dies sind Spezialfälle des Gradienten auf [[Riemannsche Mannigfaltigkeit|riemannschen Mannigfaltigkeiten]]. Für diese Verallgemeinerung siehe: [[Cartan-Ableitung#Gradient|Äußere Ableitung]].

=== Orthogonale Koordinaten ===
In allgemeinen [[Orthogonale Koordinaten|orthogonalen Koordinaten]] hat der Gradient die Darstellung

:<math>
\operatorname{grad} f = \sum_{a}{\frac{1}{h_a}\frac{\partial f}{\partial{q_a}}\,\hat{{e}}_{q_a}}\,,
</math>

wobei die <math>h_a</math> den Betrag und <math>\hat e_{q_a}</math> die Richtung des Vektors <math>\tfrac{\partial \vec r}{\partial{q_a}}</math> angeben.

=== Allgemein krummlinige Koordinaten ===
In [[Konvektive Koordinaten#Differentialoperatoren und Nabla-Operator|allgemein krummlinigen Koordinaten]] hat der Gradient die Darstellung
:<math>
\operatorname{grad} f = \sum_{a} \frac{\partial f}{\partial q_a}\,\vec{G}^{a}\,,
</math>
worin <math>\vec{G}^{a}</math> der Gradient der Koordinate <math>q_a</math> ist.

== Geometrische Interpretation ==
Eine anschauliche Bedeutung hat der Gradient im schon eingangs erwähnten Fall von (zweidimensionalen) Landkarten, in denen Höhenangaben eingetragen sind.<ref>{{Literatur
| Titel=Lexikon der Mathematik
| Herausgeber=Guido Walz
| Band=Band 2 (Eig bis Inn)
| Seiten=216
| Verlag=Springer Spektrum Verlag
| Ort=Mannheim
| Jahr=2017
| Auflage=2. Aufl.
| ISBN=978-3-662-53503-5
| DOI=10.1007/978-3-662-53504-2}}
</ref> Die Höhenfunktion ist dann ein Skalarfeld, das jedem Punkt auf der Landkarte (gekennzeichnet durch eine x- und eine y-Koordinate) eine Höhe zuordnet. Der Gradient dieses Skalarfelds in einem Punkt ist ein Vektor, der in Richtung des steilsten Anstiegs der Höhenfunktion weist, und der Betrag des Gradienten entspricht der Stärke dieses Anstiegs. Der Gradient steht dabei in jedem Punkt senkrecht auf der [[Höhenlinie]] ([[Niveaumenge]]) der Höhenfunktion durch diesen Punkt. In einem lokalen Minimum oder Maximum ([[Extremum]]) oder an einem [[Sattelpunkt]] ist der Gradient gerade der [[Nullvektor]], vorausgesetzt, dass dieser Extrempunkt im Inneren des betrachteten Gebietes liegt.

Mit Hilfe des Gradienten lässt sich auch der Anstieg in jeder beliebigen Richtung ermitteln. Diese sogenannte [[Richtungsableitung]] ist – im Unterschied zum Gradienten – ein Skalar. Läuft man im Gebiet in (infinitesimal) kleinen Trippelschritten von einem Punkt a zum Punkt b und summiert das Produkt aus Schrittlänge und Richtungsableitung in Richtung des Schritts, erhält man im Zielpunkt b als Ergebnis die Höhendifferenz zum Startpunkt a. Diese Höhendifferenz ist offensichtlich wegunabhängig. Fallen insbesondere Start- und Endpunkt zusammen, so hat man am Ende seine Höhe nicht verändert, egal welchen Weg man durch das Gebiet eingeschlagen hat.

== Eigenschaften ==
=== Darstellung als Volumenableitung ===
Mit Hilfe des [[Integralsatz von Gauß|Integralsatzes von Gauß]] kann der Gradient, ähnlich wie die [[Divergenz eines Vektorfeldes|Divergenz]] (Quellendichte) und die [[Rotation eines Vektorfeldes|Rotation]] (Wirbeldichte) als [[Volumenableitung]] dargestellt werden. Diese Darstellung hat den Vorteil, dass sie koordinatenunabhängig ist. Aus diesem Grund wird der Gradient im Bereich der [[Ingenieurwissenschaften]] oftmals direkt so definiert.

Ist <math>\mathcal{V}</math> ein Raumgebiet mit stückweise glattem Rand <math>\partial \mathcal{V}</math> und dem Volumen <math>V,</math> dann kann der Gradient des Skalarfelds <math>f \colon \mathcal{V} \to \R</math> im Punkt <math>P \in \mathcal{V}</math> mittels der Volumenableitung durch
:<math>\operatorname{grad} f = \lim_{V\rightarrow 0}\frac{\oint_{\partial \mathcal{V}} f\,\mathrm{d}\vec A}{V}</math>

berechnet werden. Dabei bezeichnet <math>\mathrm{d}\vec A=\tfrac{\vec n}{\mid\vec n\mid}\mathrm{d}A</math> das [[Krummlinige Koordinaten#Flächenelement|äußere vektorielle Flächenelement]] von <math>\partial \mathcal{V},</math> wobei <math>\vec n</math> der nach außen zeigende [[Normalenvektor]] und <math>\mathrm{d}A</math> das skalare Flächenelement ist.<ref>Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: ''Taschenbuch der Mathematik'', Verlag Harri Deutsch, Frankfurt, 8. Aufl. 2012, ''Abschn. 13.2, Räumliche Differentialoperatoren''</ref>

Zur Grenzwertbildung wird das Raumgebiet <math>\mathcal{V}</math> auf den Punkt <math>P</math> zusammengezogen, sodass sein Inhalt <math>V</math> im [[#intvgradu|Volumenintegral unten]] gegen null geht. Ersetzt man <math>f</math> durch einen [[Druck (Physik)|Druck]], erscheint der Gradient als [[Volumenkraft|Kraftdichte]]. Die Koordinatendarstellungen ergeben sich aus der [[Volumenableitung]], wenn man das jeweilige Volumenelement, beispielsweise Kugel oder Zylinder, als Raumgebiet <math>\mathcal{V}</math> wählt.

=== Rechenregeln ===
Für alle Konstanten <math>c\in\R</math> und Skalarfelder <math>u,\,v \colon \R^n\to\R</math> gilt:

:<math>\operatorname{grad} c = \vec{0}</math>

;Linearität
:<math>\operatorname{grad} (c\cdot u) = c\cdot\operatorname{grad} u</math>
:<math>\operatorname{grad} (u+v) = \operatorname{grad} u + \operatorname{grad} v</math>

;[[Produktregel]]
:<math>\operatorname{grad} (u\, v) = u \operatorname{grad} v + v \operatorname{grad} u</math>

;[[Kettenregel]]
:<math>\operatorname{grad}\big(u(v)\big)
= \frac{\mathrm du}{\mathrm dv}\ \operatorname{grad} v</math>
:<math>\operatorname{grad} (u^n) = n u^{n-1}\ \operatorname{grad} u,
\quad n\in\R,\ne0</math>

: Siehe auch [[#Nützliche Formeln]].

;{{Anker|Integralsätze}}[[Integralsatz|Integralsätze]]
:<math>\int_{\vec a}^{\vec b}
\mathrm{grad}\big(u(\vec r)\big)\cdot\mathrm d\vec r
=u(\vec b)-u(\vec a)
</math>

:Dabei ist „·“ das [[Skalarprodukt]] und der Weg von <math>\vec a</math> nach <math>\vec b</math> beliebig. Diese Wegunabhängigkeit zeichnet Gradientenfelder aus<ref name="werner433">Werner (2019), S. 433.</ref>, siehe auch [[#Konservative Kräfte]].

:{{Anker|intvgradu}}<math>
\int_V\mathrm{grad}(u)\,\mathrm dV=\int_Au\hat n\,\mathrm dA
</math>

:<math>\int_A\hat n\times\mathrm{grad}(u)\,\mathrm dA
=\int_Cu\,\mathrm d\vec r
</math>

:Hier ist „×“ das [[Kreuzprodukt]], <math>u</math> ein zweimal [[stetig differenzierbar]]es Feld und <math>\hat n</math> der nach außen gerichtete [[Normaleneinheitsvektor]] auf der geschlossenen Oberfläche <math>A</math> des Volumens <math>V</math><ref>Altenbach (2012), S. 45.</ref> und <math>C</math> die stückweise glatte, geschlossene Berandungskurve der Fläche <math>A</math>.<ref name="werner433"/> Aus dem ersten [[Volumenintegral]] folgt die Koordinatenfreie Darstellung als Volumenableitung, wenn das Volumen so klein wird, dass in ihm der Gradient näherungsweise konstant ist.

=== Zusammenhang mit der Richtungsableitung ===
{{Hauptartikel|Richtungsableitung}}

Unter der Richtungsableitung versteht man die [[Differenzialrechnung|Ableitung]], also den Anstieg eines [[Skalarfeld]]es <math>\varphi\left(\vec r\right),</math> in Richtung eines normierten Vektors <math>\vec v,</math> genauer:

:<math>
D_{\vec v} \varphi = \frac{\partial\varphi}{\partial\vec v}
=\lim_{t\to 0}\frac{\varphi(\vec r+t\vec v)-\varphi(\vec r)}t
</math>

Ist <math>\varphi</math> in einer Umgebung von <math>\vec r</math> differenzierbar, dann kann man die Richtungsableitung als [[Skalarprodukt]] von <math>\vec v</math> mit dem Gradienten von <math>\varphi</math> berechnen:

:<math>
D_{\vec v} \varphi = \frac{\partial\varphi}{\partial\vec v}
=\operatorname{grad} \varphi\cdot\vec v
=(\vec v\cdot\nabla)\varphi
</math>

Letztere Form ist nicht auf Skalarfelder beschränkt und auf Vektor- oder Tensorfelder n-ter Stufe anwendbar und wird insbesondere in der [[Strömungsmechanik]] vielfältig angewendet.

=== Integrabilitätsbedingung ===
Eine wichtige Beziehung für differenzierbare Gradientenfelder <math>\mathbf G(x_1, \dotsc, x_n) = \operatorname{grad} f(x_1,\dotsc,x_n)</math> in <math>n</math> Dimensionen ist die Aussage, dass diese (nach dem [[Satz von Schwarz]]) immer „integrabel“ sind, und zwar in folgendem Sinne: Es gilt für alle <math>i</math> und <math>k</math> <math>(i,k=1, \dotsc, n)</math>:
:<math>\frac{\partial G_i}{\partial x_k}-\frac{\partial G_k}{\partial x_i}\equiv 0</math>
Diese direkt nachprüfbare Beziehung – in drei Dimensionen identisch mit der [[Rotation eines Vektorfeldes|Rotations]]freiheit des Feldes – ist notwendig für die Existenz einer „Potentialfunktion“ <math>f</math> (präziser: der Funktion <math>\phi =-f</math>). Die <math>G_i</math> bzw. <math>G_k</math> sind die Komponenten des Vektorfeldes. Die Integrabilitätsbedingung impliziert ferner, dass für ''alle'' geschlossenen Wege <math>W</math> im <math>\R^n</math> das Linienintegral <math>\textstyle \oint_W \mathbf G\cdot\mathrm d\mathbf r</math> verschwindet, was in der Mechanik bzw. der Elektrodynamik große Bedeutung hat.

Lokal gilt auch das Umgekehrte: Die Integrabilitätsbedingung
:<math>\frac{\partial G_i}{\partial x_k}-\frac{\partial G_k}{\partial x_i}\equiv 0</math>
für ein differenzierbares Vektorfeld <math>\mathbf G</math> ist auch hinreichend für die lokale Existenz einer skalaren Potentialfunktion <math>f</math> mit <math>\mathbf G(x_1, \dotsc, x_n)=\operatorname{grad} f(x_1,\dotsc,x_n)</math> (vgl. [[Totales Differential#Integrabilitätsbedingung]]). Unter geeigneten Voraussetzungen an den Definitionsbereich von <math>G</math> (z. B. [[Sterngebiet|Sternförmigkeit]]) kann sogar auf die globale Existenz einer solchen Potentialfunktion geschlossen werden (siehe [[Poincaré-Lemma]]).

=== Nützliche Formeln ===
Folgende Gradienten treten häufig in der Physik auf. Es wird der [[Ortsvektor]] <math>\vec{r}=r\hat{e}_{r}</math> verwendet.

:<math>\operatorname{grad} r=\hat{e}_{r}=\frac{\vec{r}}{r}</math>
:<math>\operatorname{grad} U(r)=\frac{\partial U}{\partial r}\hat{e}_{r}</math>
:<math>\operatorname{grad} \frac{1}{r}=-\frac{1}{r^{2}}\,\operatorname{grad} r=-\frac{\hat{e}_{r}}{r^{2}}=-\frac{\vec{r}}{r^{3}}</math>
:<math>\operatorname{grad} \frac{1}{|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}|}=-\frac{1}{|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}|^{2}}\,\operatorname{grad} |\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}|=-\frac{\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}}{|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}|^{3}}</math>

Im letzten Beispiel wirkt der Gradient nur auf <math>\vec{r}</math> und nicht auf <math>\vec{r}^{\prime}</math> und wird deshalb auch als <math>\nabla_{\vec{r}}</math> geschrieben.

== Anwendungen ==

=== Lokale kontravariante Basisvektoren ===
Bei [[Krummlinige Koordinaten|krummlinigen Koordinatensystemen]] bilden die Gradienten der [[Koordinatenfunktion|Koordinatenfunktionen]] die lokalen [[Tensor#Ko- und Kontravarianz von Vektoren|kontravarianten]] [[Basisvektor|Basisvektoren]] (siehe [[Koordinatenfläche#Lokale Basisvektoren|Beispielrechnung für Zylinderkoordinaten]]). Diese Basisvektoren stehen senkrecht auf den [[Koordinatenfläche|Koordinatenflächen]].

=== Konservative Kräfte ===
{{Hauptartikel|Konservative Kraft}}

In der [[Physik]] lassen sich viele Kraftfelder als der Gradient eines [[Potential (Physik)|Potentials]] darstellen. Beispiele dafür sind:

* die Gravitationskraft
::<math>\vec F_\mathrm{Gravitation}(x,y,z) = -m \operatorname{grad} \Phi(x,y,z)\ ,</math>
: die für eine am Koordinatenursprung befindliche zentrale Masse ''M''
::<math>\vec F_\mathrm{Gravitation}(r) = -m \operatorname{grad} \Phi(r) = \operatorname{grad} \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{r^3}\, \vec r</math>
: lautet, oder
* statische elektrische Felder <math>\vec E</math> in der [[Elektrodynamik]]
::<math>\vec E(x,y,z)=-\operatorname{grad} \phi (x,y,z)\ .</math>

In konservativen Kraftfeldern wird unter anderem ausgenutzt, dass für Probemassen bzw. Probeladungen die Wegintegrale die Arbeit <math display="inline">W=\int_S \vec F(\vec r) \cdot \mathrm d \vec r</math> entlang eines beliebigen Weges <math>S</math> durch das Kraftfeld nur vom Anfangs- und Endpunkt des Weges, nicht aber von seinem Verlauf abhängt, siehe [[#Integralsätze]].

=== Transportphänomene ===
Zahlreiche Transportphänomene lassen sich darauf zurückführen, dass sich die dazugehörigen [[Strom (Physik)|Ströme]] als Gradient eines Skalarfeldes ausdrücken lassen, wobei der dabei auftretende Proportionalitätsfaktor als [[Transportkoeffizient]] oder Leitfähigkeit bezeichnet wird.

Ein Beispiel dafür ist der Wärmestrom <math>\vec j_w</math> in der [[Thermodynamik]], für den
:<math>\vec j_w = -\lambda\,\operatorname{grad} T</math>
gilt, wobei <math>\lambda</math> die [[Wärmeleitfähigkeit]] ist.

In der [[Fluidmechanik]] versteht man unter einer [[Potentialströmung]] eine Strömung, bei der die Geschwindigkeit Gradient eines Potentialfeldes ist, siehe [[Geschwindigkeitspotential]].

=== Bildverarbeitung ===
{{Hauptartikel|Kantendetektion}}

Ein Problem in der [[Bildverarbeitung]] ist es, in einem Bild zusammenhängende Flächen zu erkennen. Da ein Bild diskrete Werte enthält, benutzt man Filter wie den [[Sobel-Operator]], um ein Gradientenfeld des Bildes zu erhalten. Ein Filter ist dabei eine Matrix, mit der das Bild gefaltet wird (siehe [[Faltung (Mathematik)#Diskrete Faltung|Diskrete Faltung]]). Die Kanten in dem Bild sind dann als Extremwerte des gefilterten Bildes erkennbar.

=== Weitere Anwendungen ===
* So wie [[Gauß-Newton-Verfahren]] zur Nullstellensuche von Funktionen verwendet wird, wird für mehrdimensionale [[Optimierungsproblem]]e in der [[Numerik]] das [[Gradientenverfahren]] eingesetzt.
* Ein [[Druckgradientenmikrofon]] nutzt die Druckdifferenzen zwischen räumlichen Punkten aus.

== Verallgemeinerungen ==
=== Gradienten von Vektoren und Tensoren ===
{{Siehe auch|Gradient eines Vektorfeldes}}
Wie im Abschnitt [[#Definition]] schon bemerkt, wird der Gradient auch auf Vektoren und Tensoren angewendet. Der Gradient eines [[Skalarfeld]]es (Tensorfeld nullter Stufe) ergibt ein Vektorfeld, das ein Tensorfeld erster Stufe ist. Allgemein führt Gradientenbildung eines Tensorfeldes n-ter Stufe auf ein Tensorfeld der Stufe n+1.<ref>{{Literatur
| Autor=C. B. Lang, N. Pucker
| Titel=Mathematische Methoden in der Physik
| Seiten=420 f.
| Verlag=Springer Spektrum
| Ort=Berlin, Heidelberg
| Jahr=2016
| ISBN=978-3-662-49312-0
| DOI=10.1007/978-3-662-49313-7}} und Altenbach (2012), S. 43.</ref>

Die Koeffizienten der Gradienten der kovarianten Basisvektoren eines [[Krummlinige Koordinaten|krummlinigen Koordinatensystems]] sind die [[Christoffelsymbole]].<ref>Werner (2019), S. 313.</ref>

Insbesondere in der [[Kontinuumsmechanik]] und [[Fluidmechanik]] werden die Gradienten von Skalar- und Vektorfeldern vielfältig genutzt, denn die oben genannten [[#Eigenschaften]] lassen sich ohne Weiteres auf Gradienten von Vektorfeldern übertragen.

=== Riemannsche Mannigfaltigkeiten ===
Für eine [[glatte Funktion]] <math>f</math> auf einer [[Riemannsche Mannigfaltigkeit|Riemannschen Mannigfaltigkeit]] <math>(M,g)</math> ist der Gradient von <math>f</math> dasjenige [[Vektorfeld]] <math>\nabla f</math>, mit dem für jedes Vektorfeld <math>X</math> die Gleichung
:<math>g(\nabla f, X) = \partial_X f, \qquad \mathrm{d.\,h.}\quad g_x((\nabla f)_x, X_x ) = (\partial_X f) (x),</math>
gilt, wobei <math>g_x(\cdot,\cdot)</math> das durch <math>g</math> definierte [[Riemannsche Metrik|innere Produkt]] von [[Tangentialvektor]]en an <math>x</math> ist und <math>\partial_X f</math> (oft auch <math>X(f)</math> bezeichnet) diejenige Funktion ist, die jedem Punkt <math>x \in M</math> die [[Richtungsableitung]] von <math>f</math> in Richtung <math>X</math>, ausgewertet in <math>x</math>, zuordnet. Mit anderen Worten, in einer [[Atlas (Mathematik)|Karte]] <math>\varphi</math> von einer offenen Teilmenge von <math>M</math> auf eine offene Teilmenge von <math>\mathbb{R}^n</math> ist <math>(\partial_X f)(x)</math> gegeben durch:
:<math>\sum_{j=1}^n X^{j} (\varphi(x)) \frac{\partial}{\partial x_{j}}(f \circ \varphi^{-1}) \Big|_{\varphi(x)},</math>
wobei <math>X^j</math> die <math>j</math>-te Komponente von <math>X</math> in diesen Koordinaten bedeutet.

In lokalen Koordinaten hat der Gradient also die Form

:<math>\nabla f= g^{ik}\frac{\partial f}{\partial x^{k}}\frac{\partial}{\partial x^{i}}.</math>

Analog zum Fall <math>M = \mathbb{R}^n</math> hat man den Zusammenhang des Gradienten mit der [[Äußere Ableitung|äußeren Ableitung]] vermittels
:<math>(\partial_X f) (x) = df_x(X_x)\ .</math>
Der Ausdruck <math>\nabla f</math> ist also das der 1-Form <math>\mathrm{d} f</math> unter dem mittels der Metrik <math>g</math> definierten [[Musikalischer Isomorphismus|musikalischen Isomorphismus]] („sharp“)
:<math>\sharp=\sharp^g\colon T^*M\to TM</math>
entsprechende Vektorfeld. Der Zusammenhang zwischen äußerer Ableitung und Gradienten für Funktionen auf dem <math>\mathbb{R}^n</math> ist der Spezialfall für die durch das euklidische Skalarprodukt gegebene flache Metrik.

== Weblinks ==
* [http://www.sengpielaudio.com/SchallschnelleIstNichtDruckgradient.pdf Druckgradient und Schallschnelle sind nicht das Gleiche] (PDF; 144 kB)
* ''[http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1193 Wie „krümme“ ich Nabla und Delta?]'' Herleitung des Nablaoperators für orthonormal krummlinige Koordinaten auf ''[[Matroids Matheplanet|matheplanet.com]].''

== Einzelnachweise ==
<references />

== Literatur ==
* {{Literatur
| Autor=[[Adolf J. Schwab]]
| Titel=Begriffswelt der Feldtheorie
| TitelErg=praxisnahe, anschauliche Einführung; elektromagnetische Felder, Maxwellsche Gleichungen, Gradient, Rotation, Divergenz
| Auflage=6., unveränderte Auflage
| Verlag=Springer Verlag
| Ort=Berlin, Heidelberg
| Jahr=2002
| ISBN=3-540-42018-5
| DOI=10.1007/978-3-642-56339-3}}
* {{Literatur
| Autor=[[Konrad Königsberger]]
| Titel=Analysis
| Band=2
| Auflage=4. überarbeitete Auflage
| Verlag=Springer Verlag
| Ort=Berlin, Heidelberg
| Jahr=2000
| ISBN=3-540-43580-8
| DOI=10.1007/978-3-662-05699-8}}
* {{Literatur
| Autor=Wolfgang Werner
| Titel=Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik
| TitelErg=Tensoralgebra und Tensoranalysis
| Band=1
| Verlag=Springer Vieweg Verlag
| Ort=Wiesbaden
| Jahr=2019
| ISBN=978-3-658-25271-7
| DOI=10.1007/978-3-658-25272-4}}

[[Kategorie:Feldtheorie]]
[[Kategorie:Differentialoperator]]
[[Kategorie:Vektoranalysis]]

Gradient (Mathematik) - Versionsgeschichte

imported>Boehm: link beim ersten Auftreten,