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2021-11-01T16:46:30Z

Einzelnachweise

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Der '''Grad''' eines [[Polynom]]s in einer Variablen ist in der [[Mathematik]] der größte Exponent in dessen Standarddarstellung als Summe von [[Monom]]en. Beispielsweise ist der Grad des Polynom <math>2X^5-X^3+7X^2</math> gleich 5, nämlich der Exponent des Monoms <math>2X^5</math>. Bei Polynomen in mehreren Variablen ist der Grad eines Monoms definiert als die Summe der Exponenten der enthaltenen Variablenpotenzen und der Grad eines Polynoms (auch '''Totalgrad''' genannt) als das [[größtes Element|Maximum]] der Grade der Monome, aus denen das Polynom besteht. So haben zum Beispiel das Monom <math>X^2Y^3Z</math> und damit auch das Polynom <math>-3X^2Y^3Z + 7X^4Y + XYZ^2</math> den Grad 6.<ref>[https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/grad-eines-polynoms/3562 Spektrum.de]</ref>

==Definition==
Sei <math>R</math> ein [[kommutativer Ring]], <math>n > 0</math> eine [[natürliche Zahl]] und <math>R[ X_1, \dots, X_n ]</math> der [[Polynomring]] in den Variablen <math>X_1, \dots, X_n</math>. Ist
:<math>0 \neq m := X_1^{e_1} X_2^{e_2} \cdots X_n^{e_n} \in R[ X_1, \dots, X_n ]</math>
ein [[Monom]] mit <math>e_1, \dots, e_n \in \mathbb{N} \cup \{ 0 \}</math>, so ist der Grad von <math>m</math> definiert als
:<math>\deg( m ) := e_1 + \ldots + e_n</math>.

Sei nun
:<math>0 \neq f = a_1 m_1 + \ldots + a_r m_r \in R[ X_1, \dots, X_n ]</math>
ein Polynom mit <math>r \in \mathbb{N}</math>, <math>a_1, \dots, a_r \in R \setminus \{0\}</math> und Monomen <math>m_1, \dots, m_r</math>. Dann ist der Grad oder Totalgrad von <math>f</math> definiert als
:<math>\deg( f ) := \max_{j = 1, \dots, r} \deg( m_j )</math>.

Es gibt verschiedene Konventionen zur Definition des Grades von <math>0</math>. In der [[Algebra]] ist es üblich, <math>\deg( 0 ) := -\infty</math> zu setzen. Dagegen wird in den Bereichen der Mathematik, die sich mit der Lösung von algebraischen Problemen mit Hilfe von Computern befassen, häufig die Definition <math>\deg( 0 ) := -1</math> bevorzugt.

Bemerkung: Da Monome nur aus endlich vielen Faktoren bestehen, lässt sich die Definition des Grads eines Monoms und somit auch die Definition des Grads eines Polynoms direkt auf Polynomringe in beliebig vielen Variablen erweitern.

==Eigenschaften==
Seien <math>f, g \in R[ X_1, \dots, X_n ]</math> Polynome über <math>R</math>. Dann gilt
* <math>\deg( fg ) \leq \deg( f ) + \deg( g )</math> und
* <math>\deg( f + g ) \leq \max( \deg( f ), \deg( g ) )</math>.
Für den Fall <math>\deg( f ) \neq \deg( g )</math> erhält man sogar <math>\deg( f + g ) = \max( \deg( f ), \deg( g ) )</math>.

Ist <math>R</math> ein [[Integritätsring]], so gilt sogar
:<math>\deg( fg ) = \deg( f ) + \deg( g )</math>
für alle <math>f, g \in R[ X_i \; | \; i \in I ]</math>.

==Beispiele==
Betrachte Polynome in <math>\mathbb{Z}[ X, Y, Z ]</math> (siehe [[ganze Zahlen]]). Es gilt
* <math>\deg( X^5 ) = 5</math>,
* <math>\deg( X^2 Y^3 Z^4 ) = 2 + 3 + 4 = 9</math>,
* <math>\deg( X^7 Z^2 + 3 X^3 Y^3 - X Y^4 Z + 5 Y Z ) = \deg( X^7 Z^2 ) = 9</math> und
* <math>\deg( 3 X^4 Y^4 - X^2 Y^3 Z^3 + 3 Y^4 Z ) = \deg( X^4 Y^4 ) = \deg( X^2 Y^3 Z^3 ) = 8</math>.

==Siehe auch==
* [[Graduierung (Algebra)]]
* [[Bewertungstheorie]]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Theorie der Polynome]]

Grad (Polynom) - Versionsgeschichte

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