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2024-11-19T23:19:53Z

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Die '''Graßmann-Algebra''' oder '''äußere Algebra''' eines Vektorraums <math>V</math> ist eine assoziative, [[schiefsymmetrisch]]-[[Graduierung (Algebra)|graduierte]] Algebra mit Einselement. Sie ist – je nach Definition – Unteralgebra oder eine Faktoralgebra einer antisymmetrisierten [[Tensoralgebra]] von <math>V</math> und wird durch <math>\Lambda V</math> dargestellt. Die Multiplikation wird als '''äußeres Produkt''', '''Keilprodukt''', '''Dachprodukt''' oder '''Wedgeprodukt''' bezeichnet. Ein Spezialfall dieses Produkts ist mit dem [[Kreuzprodukt]] verwandt. Anwendung findet dieser Kalkül nicht nur in der elementaren [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] (zum Beispiel in der Theorie der [[Determinante]]n), sondern vor allem in der algebraischen Geometrie und der [[Differentialgeometrie]] als Algebra der Differentialformen. In dieser Form geht die Theorie der alternierenden [[Differentialform]]en auf [[Élie Cartan]] zurück, der damit die bestehenden Begriffe der Flächentheorie vereinheitlichte. Antikommutative Produkte von Vektoren wie auch abstrakte Vektorräume überhaupt wurden erstmals 1844 von [[Hermann Graßmann]]<ref>{{Literatur |Autor=Hermann Grassmann |Titel=Die lineale Ausdehnungslehre |Verlag=Otto Wiegand |Ort=Leipzig |Datum=1878 |Online=https://archive.org/details/dieausdehnungsl04grasgoog}}</ref> betrachtet.

== Definition ==
=== Äußere Potenz ===
Es sei <math>V</math> ein Vektorraum über einem Körper <math>K</math>. Weiter sei
: <math> T^k(V) = \underbrace{V \otimes \cdots \otimes V}_{k\text{-mal}}</math>
(mit den Konventionen <math>T^0(V)=K</math> und <math>T^1(V)=V</math>). Der [[Untervektorraum]] <math>J^k(V)\subseteq T^k(V)</math> sei erzeugt durch Elementartensoren, bei denen zwei Faktoren gleich sind:
: <math> J^k(V) := \mathrm{span}\left\{v_1 \otimes \cdots \otimes v_k\Big|\;\exists i, j \in \{1, \dots, k\};\,i \neq j\ \colon v_i=v_j \right\}</math>

Die <math>k</math>-te äußere Potenz ist dann definiert als der [[Faktorraum|Quotientenraum]]
: <math>\,\Lambda^k(V) = T^k(V) / J^k(V)</math>.

=== Äußere Algebra ===
Die direkte Summe
: <math>J(V) = \bigoplus_{k=0}^\infty J^k(V)</math>
ist ein zweiseitiges, homogenes [[Ideal (Ringtheorie)|Ideal]] in der [[Tensoralgebra]]
: <math>T(V) = \bigoplus_{k=0}^\infty T^k(V).</math>

Die äußere Algebra ist die Faktoralgebra
: <math>\,\Lambda (V) := T(V) / J(V).</math>
Als Vektorraum aufgefasst ist dies isomorph zu
: <math>\bigoplus_{k=0}^\infty \Lambda^k(V) = \bigoplus_{k=0}^\infty T^k(V) / J^k(V).</math>
Für <math>k>\dim V</math> ist <math>\Lambda^k(V)=\{0\}</math>.

Das Produkt in der äußeren Algebra wird traditionell als <math>a\wedge b</math> geschrieben.

Analog kann man die äußere Algebra von Moduln über kommutativen Ringen definieren.

=== Alternierende Tensoren ===
Neben der oben angeführten Definition der äußeren Algebra gibt es noch weitere äquivalente Möglichkeiten die äußere Algebra zu definieren. Beispielsweise kann man die Elemente der äußeren Algebra als ''alternierende Tensoren'' auffassen. Im Folgenden sei die [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]] des Körpers <math>K</math> gleich 0.

Auf den homogenen Bestandteilen <math>T^k(V)</math> operiert jeweils die [[symmetrische Gruppe]] <math>S_k</math>. Ein Tensor <math>t\in T^k(V)</math> heißt alternierend, wenn
: <math>\sigma(t)=\sgn(\sigma)\cdot t</math>
für alle Permutationen <math>\sigma\in S_k</math> gilt (<math>\sgn(\sigma)</math> ist das [[Vorzeichen (Permutation)|Signum]] der Permutation). Der Vektorraum der alternierenden Tensoren der Stufe <math>k</math> sei <math>A^k(V)\subseteq T^k(V)</math>.

Man kann jedem Tensor mit Hilfe der Antisymmetrisierungsabbildung (auch „Alternator“) <math>\operatorname{Alt}_k \colon T^k(V) \rightarrow A^k(V)</math> auf kanonische Weise einen alternierenden Tensor zuordnen. Sie ist definiert durch
: <math> e_1 \otimes \dotsb \otimes e_k \mapsto \frac{1}{k!} \sum_{\sigma\in S_k} \sgn(\sigma)(e_{\sigma(1)} \otimes \dotsb \otimes e_{\sigma(k)}).</math>
Sie ist eine [[Projektion (Lineare Algebra)|Projektion]] auf <math>A^k(V)</math>. Dabei sorgt der Faktor <math>1/k!</math> dafür, dass sie die Identitätsabbildung auf <math>A^k(V)</math> ist, also alternierende Tensoren auf sich abbildet.

Mit dem Produkt
: <math>a \wedge b = \frac{(k+l)!}{k!\,l!}\operatorname{Alt}_{k+l}(a \otimes b)</math>
für <math>a\in A^k(V),b\in A^l(V)</math> und bilinearer Fortsetzung entsteht insgesamt im Raum <math>\textstyle A(V)=\bigoplus_{k=0}^\infty A^k(V)</math> der alternierenden Tensoren eine assoziative, antikommutativ-graduierte Algebra. Die kanonische Abbildung <math>A(V)\to\Lambda(V)</math> ist ein [[Algebrenisomorphismus]].

== Eigenschaften ==
In diesem Abschnitt wird auf die wesentlichen Eigenschaften der äußeren Algebra wie ihre [[Graduierung (Algebra)|Graduierung]] und die [[universelle Eigenschaft]] und auf ihr Produkt eingegangen. Vorausgesetzt wird dafür immer, dass <math>V</math> ein <math>n</math>-dimensionaler Vektorraum ist.

=== Äußeres Produkt ===
Das Produkt <math>\wedge</math> der äußeren Algebra ist [[Assoziativgesetz|assoziativ]]. Außerdem ist es kommutativ-graduiert, das heißt, es gilt
: <math> a \wedge b =(-1)^{k l} b \wedge a </math>
für <math>a\in\Lambda^k(V)</math> und <math>b\in\Lambda^l(V)</math>. Insbesondere ist <math>v\wedge v=0</math> für alle <math>v\in V</math>, aber im Allgemeinen ist <math>a\wedge a\ne0</math> für <math>a\in\Lambda^k(V)</math> mit <math>k</math> gerade.

In der Terminologie der [[Supergeometrie]] verwendet man statt kommutativ-graduiert den äquivalenten Begriff [[Superalgebra|superkommutativ]] und mit Hilfe des [[Superkommutators]] <math>[{\cdot},{\cdot}]</math> lässt sich die Bedingung der Superkommutativität ausdrücken als
: <math> [a,b]=0 </math>
für <math>a\in\Lambda^k(V)</math> und <math>b\in\Lambda^l(V)</math>.

Ist <math>f</math> eine <math>p</math>-[[Multilinearform#Alternierende Multilinearformen|Form]] und <math>g</math> eine <math>q</math>-Form, so lautet die explizite Formel für das äußere Produkt von <math>f</math> und <math>g</math> für beliebige endlichdimensionale Vektorräume (und für unendlichdimensionale Banachräume):
: <math>(f \wedge g)(v_1, \ldots, v_p, v_{p+1}, \ldots, v_{p+q}) = \frac{1}{p!q!} \sum_{\sigma \in \operatorname {Sym}_{p+q}} \sgn(\sigma) f(v_{\sigma(1)}, \ldots, v_{\sigma(p)}) g(v_{\sigma(p+1)}, \ldots, v_{\sigma(p+q)})</math>,
wobei <math>\operatorname {Sym}_{p+q}</math> die [[symmetrische Gruppe]] der Ordnung <math>p+q</math> und <math>\sgn(\sigma)</math> das [[Vorzeichen (Permutation)|Vorzeichen]] der Permutation <math>\sigma</math> darstellen sollen.

=== Graduierung, Basis und Dimension ===
Die äußere Algebra
: <math>\Lambda (V)=\bigoplus_{m=0}^n \Lambda^m (V)</math>
ist eine [[graduierte Algebra]]. Das heißt, sie kann als [[direkte Summe]] von [[Untervektorraum|Untervektorräumen]], welche durch eine [[abelsche Gruppe]] indiziert werden, dargestellt werden, sodass das Algebraprodukt mit dieser Zerlegung verträglich ist. Für die äußere Algebra folgt dies direkt aus deren Definition: für die Untervektorräume der äußeren Potenzen <math>\Lambda^m (V)</math> gilt <math>\Lambda^m (V) \wedge \Lambda^n (V) = \Lambda^{m+n} (V) </math>.

Sei nun <math>e_1, \dotsc, e_n</math> eine Basis des <math>n</math>-dimensionalen Vektorraums <math>V</math>. Dann ist
: <math>
\{\,e_{i_1} \wedge \dotsb \wedge e_{i_k} \,|\, i_1 < \dotsb < i_k\,\}
</math>
eine Basis von <math>\Lambda^k(V)</math>. Die Dimension ist <math>\dim(\Lambda^k(V)) = \tbinom{n}{k}</math>. Insbesondere ist <math>\dim(\Lambda^k(V))=0</math>, falls <math>k>n</math>.

Die Basis der äußeren Algebra erhält man dann durch Vereinigung der Basen aller Grade. Für die Dimension von <math>\Lambda(V)</math> gilt dann
: <math>
\dim(\Lambda(V)) = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} = 2^n,
</math>
wobei <math>\tbinom{n}{i}</math> den [[Binomialkoeffizient]]en bezeichnet. Es folgt, dass sich jedes Element der Graßmann-Algebra darstellen lässt als
: <math>
\sum_{I\subseteq\{1,\dotsc,n\}} f_I\,e_I,
</math>
wobei die <math>2^n</math> Koeffizienten <math>f_I</math> das Element bezüglich einer Basis <math>e_1,\dotsc,e_n</math> charakterisieren und <math>e_I:=e_{m_1}\wedge\dotsb\wedge e_{m_k}</math> mit <math>I=\{m_1,\dotsc,m_k\};\,i<j\,\Rightarrow\,m_i<m_j</math> ist.

Als Beispiel kann man den Vektorraum <math>\mathbb{R}^4</math> mit der [[Standardbasis|kanonischen Basis]] wählen. Der 3. Grad der äußeren Algebra <math>\Lambda(\mathbb{R}^4)</math> wird aufgespannt durch:
: <math>\Lambda^3(\R^4) = \operatorname{span}(\{ (e_1 \wedge e_2 \wedge e_3), (e_1 \wedge e_2 \wedge e_4), (e_1 \wedge e_3 \wedge e_4), (e_2 \wedge e_3 \wedge e_4)\}) </math>
Durch Abzählen sieht man, dass <math>\dim(\Lambda^3(\mathbb{R}^4)) = 4</math> ist.

=== Universelle Eigenschaft ===
Ist <math>V</math> ein Vektorraum (bzw. Modul) und <math>A</math> eine [[assoziative Algebra]], so gibt es eine Bijektion zwischen
* den Homomorphismen von Vektorräumen (bzw. Moduln) <math>f\colon V\to A</math>, so dass <math>f(v)^2=0</math> für alle <math>v\in V</math> gilt
und
* den Algebrenhomomorphismen <math>\Lambda(V) \to A</math>.

== Skalarprodukt ==
Hat der Vektorraum <math>V</math> ein Skalarprodukt, so kann auch die äußere Algebra mit einem solchen ausgestattet werden. Dabei werden Unterräume verschiedenen Grades als [[orthogonal]] definiert. Innerhalb eines Unterraums genügt es, das Skalarprodukt auf reinen Produkten zu definieren. Seien <math>a_1\wedge\dots\wedge a_m</math> und <math>b_1\wedge\dots\wedge b_m</math> reine Produkte in <math>\Lambda^m V</math>. Ihnen kann die [[Gramsche Matrix]] der Skalarprodukte zugeordnet werden. Dann kann das Skalarprodukt als Determinante der Gramschen Matrix definiert werden:
: <math>\langle a_1\wedge\dots\wedge a_m,\,b_1\wedge\dots\wedge b_m\rangle :=\det\begin{pmatrix}\langle a_1,b_1\rangle&\dots&\langle a_1,b_m\rangle\\ \vdots&&\vdots\\ \langle a_m,b_1\rangle&\dots&\langle a_m,b_m\rangle\end{pmatrix}</math>

Ist <math>V</math> der <math>n</math>-dimensionale Spaltenvektorraum, so kann zu <math>a_1\wedge\dots\wedge a_m</math> die Matrix <math>A=(a_1,\dots,a_m)</math> definiert werden. Von dieser kann man die maximalen quadratischen [[Untermatrix|Untermatrizen]] <math>A_\alpha</math> betrachten. Dabei ist <math>\alpha</math> ein [[Multiindex]] aus
: <math>I_m:=\{\alpha\in\mathbb N^m:\;1\le\alpha(1)<\dots<\alpha(m)\le n\}</math>
und <math>A_\alpha</math> besteht aus genau diesen Zeilen von <math>A</math>.

Es gilt folgende Identität nach dem [[Satz von Binet-Cauchy]], im Falle <math>m=2</math> und <math>A=B</math> auch „Flächenpythagoras“ genannt:
: <math>\det(\;(\langle a_i,b_k\rangle)\;)=\det(A^tB)=\sum_{\alpha\in I_m} \det A_\alpha\cdot\det B_\alpha</math>

== Differentialformen ==
{{Hauptartikel|Differentialform}}

Das Hauptanwendungsgebiet der äußeren Algebra liegt in der Differentialgeometrie. Sei <math>M</math> eine <math>n</math>-dimensionale [[differenzierbare Mannigfaltigkeit]]. So wählt man den [[Kotangentialraum]] dieser Mannigfaltigkeit als zugrundeliegenden Vektorraum und bildet die äußere Algebra. Eine Differentialform ist ein [[Schnitt (Faserbündel)|Schnitt]] im [[Vektorbündel|Bündel]] dieser Vektorräume, also eine Abbildung, die jedem Punkt der Mannigfaltigkeit ein Element der äußeren Algebra über dem Kotangentialraum an diesem Punkt zuordnet. Diese Formen haben den großen Vorteil, dass man mit ihrer Hilfe [[Atlas (Mathematik)|kartenunabhängig]] auf einer Mannigfaltigkeit integrieren kann.

== Hodge-Operator ==
{{Hauptartikel|Hodge-Stern-Operator}}

Sei <math>V</math> (wie oben) ein Vektorraum und <math>\Lambda^n V</math> die äußere Algebra von <math>V</math>. Weiterhin sei <math>V</math>[[Orientierung (Mathematik)|orientiert]] und mit einem Skalarprodukt versehen. Der ''Hodge-Operator'' oder ''Hodge-Stern-Operator'' ist ein natürlicher Isomorphismus <math>*:\Lambda^k V \rightarrow \Lambda^{n-k} V</math>. Der Hodge-Operator ordnet also jedem <math>\omega\in\Lambda^k V</math> auf eindeutige Weise ein <math>*\omega\in\Lambda^{n-k} V</math> zu, das sog. „duale Element“ zu <math>\omega</math>. Ist <math>(e_1,\dots,e_n)</math> eine [[Orientierung (Mathematik)|orientierte Basis]] von <math>V</math>, so ist <math>*\omega</math> eindeutig durch die Formel
: <math>\forall\eta\in\Lambda^k V:\;\eta\wedge *\omega=\langle\eta,\omega\rangle\cdot e_1\wedge\dots\wedge e_n,</math>

festgelegt. Zum Beispiel gilt, falls <math>(e_1,\dots,e_n)</math> zusätzlich eine [[Orthonormalbasis]] ist,

<math>*(e_1\wedge\dots\wedge e_k) = e_{k+1}\wedge\dots\wedge e_n</math>

für <math>k=0,\dots,n</math> (wobei das leere Produkt, für <math>k=0
</math> oder <math>k=n</math>, als 1 zu interpretieren ist). Der Hodge-Operator kann also als algebraische Verallgemeinerung des geometrischen Begriffs des orthogonalen Komplements von Unterräumen von <math>V</math> aufgefasst werden.

=== Beziehung zum Kreuzprodukt und Spatprodukt (Hodge-Dualität von Vektoren) und Begriffen der Physik ===
Sei <math>\mathbf e_1, \mathbf e_2, \mathbf e_3</math> die kanonische Basis des <math>\mathbb{R}^3</math> und <math>\alpha = a_1 \mathbf e_1 + a_2 \mathbf e_2 + a_3 \mathbf e_3, \beta= b_1 \mathbf e_1 + b_2 \mathbf e_2 + b_3 \mathbf e_3 \in \Lambda^1(\mathbb{R}^3)</math> seien zwei Elemente aus der äußeren Algebra (bzw. äußeren Potenz) des reellen Vektorraumes. Mit <math>*</math> wird der Hodge-Operator bezüglich des Standard- (euklidischen) Skalarprodukts und der Standardorientierung bezeichnet. Für das äußere Produkt von <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> gilt mithilfe des Distributivgesetzes
: <math>\begin{array}{rl}
*(\alpha \wedge \beta)
=& *((a_1 \mathbf e_1 + a_2 \mathbf e_2 + a_3 \mathbf e_3) \wedge (b_1 \mathbf e_1 + b_2 \mathbf e_2 + b_3 \mathbf e_3))\\[0.5em]
=& *((a_2\mathbf e_2\wedge b_1\mathbf e_1) + (a_3\mathbf e_3 \wedge b_1\mathbf e_1) + (a_1\mathbf e_1 \wedge b_2\mathbf e_2) \\
&+ (a_3\mathbf e_3 \wedge b_2 \mathbf e_2) + (a_1\mathbf e_1 \wedge b_3\mathbf e_3) + (a_2\mathbf e_2 \wedge b_3\mathbf e_3))\\[0.5em]
=& *((a_1b_2-a_2b_1)(\mathbf e_1\wedge \mathbf e_2) + (a_2b_3-a_3b_2) (\mathbf e_2\wedge \mathbf e_3) + (a_3b_1-a_1b_3) (\mathbf e_3\wedge \mathbf e_1))\,.
\end{array}</math>

Der Hodge-Operator ordnet im dreidimensionalen Raum dem Produkt der Basisvektoren <math>\mathbf e_1 \wedge \mathbf e_2</math> den Vektor <math>\mathbf e_3</math> zu. Durch [[Zyklische Permutation|zyklisches Vertauschen]] der Indizes ergeben sich die Zuordnungen der anderen Basisvektoren. Damit ergibt sich das [[Kreuzprodukt]] im dreidimensionalen reellen Raum. Also kann man <math>*(\alpha \wedge \beta)</math> auf der äußeren Algebra als Verallgemeinerung des Kreuzproduktes verstehen. Mit Hilfe dieser Verallgemeinerung lässt sich ebenfalls der aus der Vektoranalysis bekannte [[Differentialoperator]] [[Rotation (Mathematik)|Rotation]] <math>\operatorname{rot}</math> auf den <math>n</math>-dimensionalen Fall verallgemeinern.

Das [[Spatprodukt]] dreier <math>a,b,c</math> Vektoren im <math>\R^3</math> lässt sich entsprechend als Element <math>a\wedge b\wedge c</math> der dritten äußeren Potenz auffassen. Man beachte, dass der Hodge-Stern-Operator nur bezüglich eines [[Skalarprodukt]]s und einer Orientierung definiert ist. Das äußere Produkt dagegen lässt sich unabhängig von einer solchen Wahl definieren.

Der klassischen Physik entstammende Größen, die in der Physik [[Pseudovektor]]en genannt werden, wie zum Beispiel eine [[magnetische Feldstärke]] oder ein [[Drehimpuls]], lassen sich als Elemente von <math>\Lambda^2(\R^3)</math> auffassen. Mit einem [[Pseudoskalar]] ist in vielen Fällen eine Größe gemeint, die sich als Element von <math>\Lambda^3(\R^3)</math> verstehen lässt.

=== Beziehung zur Determinanten-Theorie; Ausdehnungsmaß von ''m''-Vektoren ===
Noch einfacher ist der mit dem Hodge-Operator einhergehende Begriff der Dualität bei Skalaren: Diese sind dual zur Determinante einer <math>n\times n</math>-Matrix.<ref>In der Physik wird in diesem Zusammenhang von ''pseudoskalaren'' Größen gesprochen.</ref> Im Einzelnen:

Es sollen die gleichen Voraussetzungen wie im vorigen Abschnitt gelten; nur sei jetzt <math>m \ge 3</math> zugelassen, und es sei <math>n\ge m\,.</math> Wenn nunmehr, für <math>1\le i_\nu \le n\,,</math> ein <math>m</math>-Bein der Form <math>\textstyle \gamma :=\sum_{\,i_1 < i_2 < \ldots <i_m}\,(a^{(1)}_{i_1} a^{(2)}_{i_2} \ldots a^{(m)}_{i_m})_{\,asy}\,\mathbf e_{i_1}\wedge\mathbf e_{i_2}\wedge \ldots\wedge\mathbf e_{i_m}</math> gegeben ist (also eine Summe von <math>\textstyle \binom{n}{m}</math> elementaren <math>m</math>-Beinen<ref><math>p=m</math> und <math>p=n-m</math> ergeben also duale <math>p</math>-Beine.</ref>), dann ergibt wie oben das antisymmetrisierte<ref>In der Antisymmetrisierung der angegebenen Produkte liegt keine Beschränkung der Allgemeinheit, weil Zusatzterme sich automatisch zu Null aufsummieren würden.</ref> Produkt <math> (a^{(1)}_{i_1}a^{(2)}_{i_2}\ldots a^{(m)}_{i_m})_{\,asy}</math>, bis auf ein alternierendes Vorzeichen, das von der jeweiligen Orientierung abhängt („Rechtshändigkeit“ versus „Linkshändigkeit“), das Hyperflächenmaß des <math>m</math>-Beins dual zur jeweiligen „Basisrichtung“, also dessen <math>m</math>-dimensionales „Volumen“ im <math>\mathbb R^n</math> bzw. <math>\mathbb C^n\,.</math> Zugleich stellt dieser Ausdruck eine Unterdeterminante einer Matrix mit <math>m</math> Spalten und <math>n</math> Zeilen dar. Man erhält so auf elementare Weise, nämlich wegen der Multilinearität und Multi-Assoziativität des angegebenen Ausdrucks, die bekannten Determinanten-Entwicklungsätze. Insbesondere ist das so erzeugte Volumenmaß (=Grundflächenmaß mal Höhe) des jeweiligen Parallel-Epipeds invariant gegen Verschiebungen parallel zur Grundfläche<ref>Das sind sog. „Scherungen“, z. B. Transformationen <math>a_n\to a_n +\lambda a_i\,,</math> mit <math>i\le (n-1)\,.</math></ref>, weil Determinanten von linear abhängigen Vektoren verschwinden.<ref>Präzise gilt für das Ausdehnungsmaß des <math>m</math>-Beins <math>\gamma</math> :
<math> V(\gamma )=\sqrt{\sum_{i_1 < \ldots < i_m} |(a^{(1)}_{i_1}\dots a^{(m)}_{i_m})_{\,asy}|^2}</math>. Das ist erneut ein „verallgemeinerter [[Satz von Pythagoras]].“</ref>

== Beziehung zur Clifford-Algebra ==
Sei <math>q \colon V\times V\to K</math> eine [[symmetrische Bilinearform]] auf <math>V</math>.

Nun sei die zweistellige, bilineare Verknüpfung
: <math>\circ:\Lambda(V)\times\Lambda(V)\to\Lambda(V)</math>

definiert durch
: <math> \begin{align}
&(v_1\wedge\cdots\wedge v_i)\circ(w_1\wedge\cdots\wedge w_j)\\
=&v_1\wedge\cdots\wedge v_i\wedge w_1\wedge\cdots\wedge w_j\\
+ &\sum_{k=1}^{\min\{i,j\}}\sum_{\overset{1\leq m_1<\cdots<m_k\leq i}{1\leq n_1<\cdots<n_k\leq j}}\;\sum_{\sigma\in P_k}(-1)^{ik+\sum_{\nu=1}^k(m_{\nu}+n_{\nu})}\;\mathrm{sign}\,\sigma\left(\prod_{\nu=1}^kq(v_{m_{\sigma(\nu)}},w_{n_{\nu}})\right)\\
\cdot &v_1\wedge\cdots\wedge \hat v_{m_1}\wedge\cdots\wedge \hat v_{m_2}\wedge\cdots\wedge v_i\wedge w_1\wedge\cdots\wedge \hat w_{n_1}\wedge\cdots\wedge w_j
\end{align}</math>

für <math> v_m,w_n\in V</math>. Die Hüte über den Faktoren bedeuten hier deren Auslassung im Produkt. Durch Einführen dieser neuen Verknüpfung als Multiplikation erhält man die [[Clifford-Algebra]] <math>\mathrm{Cl}(V,q)</math>. Insbesondere erhält man mit der Nullbilinearform wieder die Graßmann-Algebra: <math>\mathrm{Cl}(V,0)=\Lambda(V)</math>, da der Zusatzterm in der obigen Gleichung wegfällt und somit <math>\circ=\wedge</math> gilt.

Für einfache <math> v,w \in V</math> meint obige Definition die elementare Beziehung
: <math>v\circ w:=v\wedge w + v \cdot w</math>,
wonach das „geometrische“<ref>D. Hestenes: ''A Unified Language for Mathematics and Physics''. In: J.S.R. Chisholm/A.K. Common (eds.): ''Clifford Algebras and their Applications in Mathematical Physics'' (Reidel: Dordrecht/Boston, 1986), S. 1–23.</ref> Produkt <math>\circ</math> zweier Vektoren in einen antisymmetrischen Keilprodukt- und einen symmetrischen Skalarproduktanteil <math>v \cdot w := - q(v,w)</math> zerlegt werden kann. Die Summe ist hier in der Graßmannalgebra definiert, wobei das Vorzeichen eine Frage der Konvention ist.

== Siehe auch ==
* [[Symmetrische Algebra]]

== Literatur ==
* {{BibISBN|3-11-017963-6}}
* {{BibISBN|0-201-10168-8}}
* {{BibISBN|3-540-60656-4}}
* {{cite book
| last = Shafarevich
| first = I. R.
| authorlink = Igor Shafarevich
| coauthors = A. O. Remizov
| title = Linear Algebra and Geometry
| publisher = Springer
| year = 2012
| language=en
| isbn = 978-3-642-30993-9}}

== Weblinks ==
* {{Internetquelle |url=https://mathworld.wolfram.com/ExteriorAlgebra.html |titel=Exterior Algebra |werk=[[MathWorld]]
|sprache=en |abruf=2023-01-12 |abruf-verborgen=1}}
* {{Webarchive |url=http://planetmath.org/encyclopedia/GrassmannAlgebra.html |text=Exterior Algebra |wayback=20081017021025}} [[PlanetMath]] (englisch).

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:GrassmannAlgebra}}
[[Kategorie:Algebra]]

Graßmann-Algebra - Versionsgeschichte

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