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2026-03-24T20:43:02Z

Werte des Laufgrads

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Die '''Grüblerschen Gleichungen''' wurden 1917 und 1918 fast gleichzeitig und unabhängig voneinander sowohl von [[Martin Fürchtegott Grübler]] (1851–1935) als auch von [[Maurice d’Ocagne]] aufgestellt.<ref>Friedrich Schmelz, Erich Aucktor: ''Gelenke und Gelenkwellen: Berechnung, Gestaltung, Anwendungen'', 1988, [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]], ISBN 3540417591</ref><ref>[[Martin Fürchtegott Grübler]]: ''Getriebelehre. Eine Theorie des Zwanglaufes und der ebenen Mechanismen.'' VDM Verlag, 2007, ISBN 3836404265</ref> Sie werden in der Technik verwendet, um die Beweglichkeit von [[Getriebe]]n – ausgedrückt als deren [[Laufgrad]] – zu ermitteln. Für die [[Laufgrad|Zwangläufigkeit]] muss der Laufgrad abhängig von der Zahl der Antriebe einen bestimmten Wert haben. Bei seiner Ermittlung werden die Anzahl und die Beweglichkeiten der die Getriebeteile verbindenden [[Gelenk (Technik)|Gelenke]] im Verhältnis zur Anzahl der Glieder betrachtet. Zu unterscheiden ist zudem, ob diese Bewegungen in der Ebene ''(ebene Getriebe)'', auf einer gekrümmten ([[Sphäre (Mathematik)|sphärischen]]) Fläche ''(sphärische Getriebe)'' oder beliebig im Raum ''(räumliche Getriebe)'' stattfinden.<ref name="Jung">Denis Jung: ''Formelsammlung Getriebelehre'', Seite 5 ({{Webarchiv | url=http://www.fsm.h-da.de/typo3/fileadmin/fsmk/downloadpool/maschinenbau/wahlpflichtbereich/Getriebelehre/Getriebelehre%20-%20Formelsammlung.pdf | webciteID=5m0sWL7J0 | text=PDF; 907 kB}})</ref>

== Grüblersche Gleichung ==
Die allgemeine Form der Grüblerschen Gleichung lautet:

: <math>F = \ T\cdot (n-1-g) + \sum_{i=1}^g b_i </math><ref name="Jung"/>
: <math>F = \ T\cdot (n-1-g) + c + 2 \cdot d + 3 \cdot e</math>
Beide Gleichungen sind gleichwertig. Dabei bedeuten
* F: Laufgrad
* T: Typ des Getriebes (T=6 für räumliches, T=3 für sphärisches oder ebenes Getriebe)
* n: Anzahl der Getriebeglieder (inklusive des [[Maschinengestell|Gestell]]s)<ref>{{Literatur |Autor=Manfred Husty, Adolf Karger, Hans Sachs, Waldemar Steinhilper |Titel=Kinematik und Robotik |Hrsg= |Sammelwerk= |Band= |Nummer= |Auflage= |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin Heidelberg |Datum=1997 |ISBN=978-3-642-63822-0 |Seiten=281}}</ref>
* g: Anzahl der [[Gelenk (Technik)|Gelenke]]
* bi: Beweglichkeit eines einzelnen Gelenks i (bi = 1, 2, …)
* c: Anzahl der Gelenke mit Beweglichkeit bi = 1 (z. B. [[Gelenk (Technik)#Grundformen|Dreh]]- oder [[Gelenk (Technik)#Grundformen|Schubgelenk]])
* d: Anzahl der Gelenke mit Beweglichkeit bi = 2 (z. B. [[Wälzlager|Wälzen]] und [[Gleitlager|Gleiten]] an den Berührungsstellen von [[Zahnrad]]flanken oder kombiniertes Schub-Drehlager)
* e: Anzahl der Gelenke mit Beweglichkeit bi = 3 (z. B. 3 Drehungen des [[Kugelgelenk]]s).

=== Räumliches Getriebe ===
T = 6<ref name = Jung/>
: <math>F = \ 6\cdot (n-1-g) + \sum_{i=1}^g b_i</math>
: <math>F = \ 6\cdot (n-1-g) + c + 2 \cdot d + 3 \cdot e</math>
: <math>F = \ 6\cdot (n-1) - 5 \cdot c - 4 \cdot d - 3 \cdot e</math>
Die drei Gleichungen sind gleichwertig.

=== Ebenes und sphärisches Getriebe ===
T = 3<ref name = Jung/>
: <math>F = \ 3\cdot (n-1-g) + \sum_{i=1}^g b_i</math>
: <math>F = \ 3\cdot (n-1-g) + c + 2 \cdot d</math>
: <math>F = \ 3\cdot (n-1) - 2 \cdot c - d </math>
Die drei Gleichungen sind gleichwertig.

== Werte des Laufgrads ==
* <math>F \geq 1</math>: Das Getriebe ist lauffähig.
** <math>F = 1</math>: Das Getriebe mit einem Antrieb ist zwangläufig.
** <math>F > 1</math>: Das Getriebe ist zwangläufig, wenn es mehr als einen Antrieb hat. F = 2: zwei Antriebe; F = 3: drei Antriebe; ...
* <math>F \leq 0</math>: Das Getriebe ist nicht lauffähig, ist starr. Ausnahme ist das sogenannte ''[[Übergeschlossenes Getriebe|Übergeschlossene Getriebe]]''.

=== Zwanglaufbedingung ===
Das Erfüllen der o. g. Werte für den Laufgrad wird im Besonderen als ''Zwanglaufbedingung'' bezeichnet.

Für den häufigen Fall eines ebenen, mit einem Antrieb und ausschließlich mit Gelenkent bi = 1 (d = 0 und c = g) versehenen Getriebes wird die entsprechende Grüblersche Gleichung mit eingesetztem Wert 1 für F und umgeschrieben wie folgt gebraucht:

:<math> 2 \cdot g - 3 \cdot n + 4 = 0</math><ref>[[Siegfried Hildebrand]]: ''Feinmechanische Bauelemente'', Hanser 1968, Seite 628. 
Hier wird auch auf Einschränkungen bei dieser Gleichung hingewiesen, die bei Getrieben bestehen, die Schiebegelenke enthalten.</ref>

== Einzelnachweise ==
<references/>

{{SORTIERUNG:Grublersche Gleichung}}
[[Kategorie:Getriebelehre]]

Grüblersche Gleichung - Versionsgeschichte

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