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2025-08-17T02:16:25Z

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'''Gottes Algorithmus''' (englisch ''God’s Algorithm'') ist ein Begriff aus Diskussionen über die optimale Lösung des [[Zauberwürfel]]s. Die Formulierung stammt von dem englischen Gruppentheoretiker [[John Horton Conway|John Conway]] oder einem seiner Kollegen in Cambridge.<ref>Vgl. Jerry Slocum: ''The Cube. The Ultimate Guide to the World's Bestselling Puzzle. Secrets – Stories – Solutions.'' New York: Black Dog & Leventhal, 2009, S. 26.</ref> Sie kann auch auf andere Probleme der [[Kombinatorik]] und [[Spieltheorie]] bezogen werden. Ein [[Algorithmus]] wird als ''Gottes Algorithmus'' für ein Problem oder Puzzle bezeichnet, wenn er stets eine Lösung mit kleinstmöglichster Anzahl von Schritten oder Zügen produziert.

== Anwendungsbereich und Definition ==
Der Begriff ''Gottes Algorithmus'' bezieht sich jeweils auf ein Problem oder Puzzle, das eine [[Endliche Menge|endliche]] Anzahl von „Konfigurationen“ annehmen kann, in Verbindung mit einer eher kleinen, wohldefinierten Menge an „Zügen“, die Transformationen zwischen Konfigurationen darstellen. Ein Puzzle lösen heißt, von irgendeiner willkürlichen Startkonfiguration aus eine oder mehrere bestimmte spezifische „Endkonfigurationen“ (von endlicher Anzahl) durch die Anwendung einer Sequenz von Zügen zu erreichen. Eine solche Zugsequenz entspricht einer ''Lösung'' des Puzzles.

Auf einige gut bekannte Puzzle trifft die Beschreibung zu, z. B. [[Mechanische Geduldspiele]] wie den Zauberwürfel, [[Türme von Hanoi]] und das [[15-Puzzle]]. Auch [[Solitär (Brettspiel)|Solitaire]] zählt dazu, ebenso viele [[Logical|Logik-Puzzle]] wie das Problem der [[Missionare und Kannibalen]]. Ihnen gemeinsam ist die [[Mathematisches Modell|mathematische Modellierbarkeit]] als [[gerichteter Graph]], wobei die Konfigurationen den Knoten („Punkten“) und die Züge den Kanten („Pfeilen“) des Graphen entsprechen. Eine lösende Zugsequenz (eine Lösung des Puzzles) entspricht dabei einem (gerichteten) Pfad im Graphen, der von einer Ausgangs- zu einer Endkonfiguration führt.

Ein Algorithmus heißt ''lösend'', wenn er zu einer willkürlichen Anfangskonfiguration als Eingabe
* eine Lösung ausgibt, falls das Puzzle von der Anfangskonfiguration lösbar ist, und andernfalls
* ausgibt, dass es keine Lösung gibt.
Eine Lösung heißt ''optimal'', wenn die Sequenz von Zügen so kurz wie möglich ist. Ein lösender Algorithmus für ein Puzzle wird ''Gottes-Algorithmus'' genannt, wenn er stets eine optimale Lösung ausgibt. ''Gottes Zahl'' schließlich ist definiert als die Länge der längsten Zugsequenz unter allen optimalen Lösungen für das Puzzle.

Ein echter „Gottes-Algorithmus“ soll auch ''praktikabel'' sein, d. h. nicht außergewöhnlich viel Speicherplatz oder Zeit benötigen. Bei vielen Puzzles könnte man zwar mit Hilfe einer riesigen [[Lookup-Tabelle]], indiziert über alle Startkonfigurationen, schnell eine Lösung ausgeben können, aber dieses Vorgehen würde zu viel Speicherplatz erfordern.

Anstatt nach einer vollständigen Lösung zu fragen, kann man auch nach dem besten ersten Einzelzug nach der Startkonfiguration fragen. Ein Algorithmus für einzelne Züge kann in einen Algorithmus für die Gesamtlösung transformiert werden, indem man ihn bis zur Schlusskonfiguration wiederholt. Umgekehrt kann so auch der Algorithmus für die Gesamtlösung in Algorithmen für Einzelzüge zerlegt werden.

== Beispiele ==
{| class="wikitable"
|-
! Problem !! Gottes Zahl !!Größe des Zustandsraums !! Verdienst / Anmerkungen !! Jahr
|-
| N-Puzzle (das verallg. [[15-Puzzle]]) || ? || ? || [[NP-Vollständigkeit|NP-vollständig]], vergleiche Ratner und Warmuth<ref>D. Ratner, M. Warmuth: ''Finding a shortest solution for the (N X N)-extension of the 15-puzzle is intractable''. Journal of Symbolic Computation 10 (1990), S. 111–137</ref> || 1990
|-
| [[15-Puzzle]] || 80 (durchschnittlich 52,6) || <math>\frac{16!}{2} = 10.461.394.944.000</math> || Korf und Schultze<ref>Richard E. Korf; Peter Schultze: [http://www.aaai.org/Papers/AAAI/2005/AAAI05-219.pdf ''Large-Scale Parallel Breadth-First Search''] (PDF; 104 kB). In: AAAI Conference On Artificial Intelligence. Proceedings of the 20th national conference on Artificial intelligence 3 (2005), S. 1380–1385, hier S. 1384–1385 (Fifteen Puzzle), Table 2 (States as a Function of Depth for Fifteen Puzzle).</ref> || 2005
|-
| 8-Puzzle || 31 (durchschnittlich 22) || <math>\frac{9!}{2} = 181.440</math> || Reinefeld<ref name="Reinefeld_1993">Alexander Reinefeld: [https://citeseer.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.4.7500 ''Complete Solution of the Eight-Puzzle and the Benefit of Node Ordering in IDA*.''] In: Proceedings of the 13th International Joint Conference on Artificial Intelligence (1993), Chambery Savoi, France, S. 248–253.</ref> || 1993
|-
| 3-Puzzle || 6 (durchschnittlich 3) || <math>\frac{4!}{2} = 12</math> || Reinefeld<ref name="Reinefeld_1993" /> || 1993
|-
| [[Türme von Hanoi]] mit ''n'' Scheiben || <math>2^n - 1</math> || <math>3^n</math> || siehe auch Rueda<ref>{{Webarchiv|url=http://www.jamesdang.com/Documents/An%20optimal%20solution%20of%20Hanoi%27s%20toweri.doc |wayback=20160304085917 |text=Carlos Rueda: „An optimal solution to the Towers of Hanoi Puzzle“ |archiv-bot=2025-05-22 06:41:12 InternetArchiveBot }} ([[Microsoft Word|MS Word]]; 33 kB)</ref> || historisch
|-
| [[Zauberwürfel]] || 20 (Viertel- und Halbdrehungen) bzw. 26 (nur Vierteldrehungen; Halbdrehung zählt als 2 Vierteldrehungen) || <math>\frac{ 8! \cdot 3^8 \cdot 12! \cdot 2^{12}}{3 \cdot 2 \cdot 2} = </math> <math>43.252.003.274.489.856.000</math> || Rokicki, Davidson, Dethridge und Kociemba<ref>[https://www.cube20.org/ God's Number is 20] (cube20.org)</ref>, siehe auch [[Rubiks Cube#Optimale Lösungen|Optimale Lösungen des Zauberwürfels]] || 2010 bzw. 2014
|-
| [[Schach]] || ? || ? || Eine [[Endspieldatenbank]] im [[Schach]] findet den kürzesten Weg zum [[Schachmatt]]. ||
|}

== Siehe auch ==
* [[Orakel-Turingmaschine]]
* [[Methoden zum Lösen des Zauberwürfels]]

== Literatur ==
* David Joyner: ''Adventures in Group Theory.'' Johns Hopkins University Press (2002), ISBN 0-8018-6947-1.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Suchalgorithmus]]
[[Kategorie:Kombinatorik]]
[[Kategorie:Spieltheorie]]
[[Kategorie:Cubing]]

Gottes Algorithmus - Versionsgeschichte

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