imported>Christian1985: /* Der ternäre Golay-Code */

2026-03-09T19:03:45Z

Der ternäre Golay-Code

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{{Quellen fehlen}}
Die Bezeichnung '''Golay-Code''' steht für zwei eng verwandte [[Code]]s, welche eine herausragende Stellung in der [[Codierungstheorie]] einnehmen. Sie sind (abgesehen von trivialen Codes und [[Wiederholungs-Code]]s) bis auf [[Isomorphismus|Isomorphie]] die einzigen beiden [[perfekter Code|perfekten Codes]], die mehr als einen Fehler korrigieren können.<ref>{{Literatur |Autor=ER Berlekamp |Titel=Decoding the Golay code |Sammelwerk=Technical Report 32-1526 |Band=XI |Verlag=California Institut of Technology |Ort=Pasadena, California |Datum=1972-10-15 |Seiten=83}}</ref> Sie sind nach dem Schweizer Elektroingenieur [[Marcel J. E. Golay]] benannt. In beiden Fällen handelt es sich um einen quadratischen Rest-Code und damit insbesondere um einen [[zyklischer Code|zyklischen Code]] und einen [[linearer Code|linearen Code]].

== Der binäre Golay-Code ==
[[Datei:BinaryGolayCode.svg|mini|Generatormatrix für den erweiterten binären Golay-Code]]
Der '''binäre Golay-Code''' <math>G_{23}</math> ist definiert als der binäre quadratische Reste-Code der Länge 23. Als linearer Code hat er die Parameter <math>(n,k,d) = (23,12,7)</math>. Das bedeutet, dass der Code ein 12-dimensionaler [[Untervektorraum]] des 23-dimensionalen [[Vektorraum]]s <math>\mathbb{F}_2^{23}</math> mit der minimalen [[Hamming-Distanz]] 7 ist. Es folgt <math>t=\left\lfloor\tfrac{d-1}{2}\right\rfloor=3</math>. Der Code ist also 3-fehlerkorrigierend.

Die Parameter erfüllen die Gleichung

:<math> q^k \sum_{i=0}^t {n \choose i}(q-1)^i=q^n</math>

Deshalb ist der binäre Golay-Code <math>G_{23}</math> [[perfekter Code|perfekt]].

=== Der erweiterte binäre Golay-Code ===
Hängt man dem binären Golay-Code <math>G_{23}</math> ein Paritätsbit an, so erhält man den '''erweiterten binären Golay-Code''' <math>G_{24}</math> mit den Parametern <math>(n,k,d)=(24,12,8)</math>. Dieser Code ist [[doppelt-gerader Code|doppelt gerade]], d. h. alle Codewörter haben ein durch 4 teilbares [[Hamming-Gewicht]].

Die [[Automorphismengruppe]] des erweiterten binären Golay-Codes ist die [[Mathieugruppe]] <math>M_{24}</math>, eine [[sporadische Gruppe]].

== Der ternäre Golay-Code ==
Der '''ternäre Golay-Code''' <math>G_{11}</math> ist definiert als der ternäre quadratische Reste-Code der Länge 11. Als linearer Code hat er die Parameter <math>(n,k,d) = (11,6,5)</math>. Das bedeutet, dass der Code ein 6-dimensionaler Untervektorraum des 11-dimensionalen Vektorraums <math>\mathbb{F}_3^{11}</math> mit dem Mindestabstand 5 ist. Es folgt <math>t=\left\lfloor\tfrac{d-1}{2}\right\rfloor=2</math>. Der Code ist also 2-fehlerkorrigierend. Auch hier erfüllen die Parameter die oben genannte Gleichung, also ist auch der ternäre Golay-Code <math>G_{11}</math> perfekt.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Kodierungstheorie]]

Golay-Code - Versionsgeschichte

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