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2026-03-20T22:01:36Z

Geschichte

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Die '''globale Analysis''', auch '''Analysis auf Mannigfaltigkeiten''', ist ein [[Teilgebiete der Mathematik|Teilgebiet der Mathematik]], das analytische Fragestellungen auf [[Differenzierbare Mannigfaltigkeit|differenzierbaren Mannigfaltigkeiten]] untersucht und deren Zusammenhang mit globalen geometrischen und topologischen Eigenschaften dieser Räume beschreibt.

Im Mittelpunkt der globalen Analysis stehen insbesondere [[Gewöhnliche Differentialgleichung|gewöhnliche]] und [[Partielle Differentialgleichung|partielle Differentialgleichungen]] auf Mannigfaltigkeiten sowie Differentialoperatoren auf [[Funktionenraum|Funktionenräumen]] von [[Vektorbündel|Vektorbündeln]]. Ziel ist es, aus analytischen Eigenschaften solcher [[Linearer Operator|Operatoren]] Rückschlüsse auf die globale Struktur der zugrunde liegenden geometrischen Objekte zu gewinnen. Typischerweise verbindet die globale Analysis Methoden aus verschiedenen mathematischen Disziplinen, darunter [[Funktionalanalysis]], [[Differentialgeometrie]], [[Differentialtopologie]], Theorie partieller Differentialgleichungen und [[Mikrolokale Analysis|Mikrolokaler Analysis]].<ref>{{Literatur |Autor=Andreas Kriegl, Peter W. Michor |Titel=The convenient setting of global analysis |Verlag=American Mathematical Society |Ort=Providence, R.I |Datum=1997 |Reihe=Mathematical surveys and monographs |ISBN=978-0-8218-0780-4}}</ref>

== Geschichte ==
Die Wurzeln der globalen Analysis liegen in Entwicklungen der Variationsrechnung, der Theorie [[Dynamisches System|dynamischer Systeme]] und der Differentialtopologie in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts. Eine wichtige Rolle spielte dabei die von [[Harold Calvin Marston Morse|Harold C. Marston Morse]] entwickelte [[Morse-Theorie]], die [[Kritischer Punkt (Mathematik)|kritische Punkte]] [[Glatte Funktion|glatter Funktionen]] mit topologischen Eigenschaften von Mannigfaltigkeiten in Beziehung setzt.<ref name=":4">John Milnor: ''Morse Theory.'' Princeton University Press, 1963.</ref>

In den 1960er Jahren entwickelte sich die globale Analysis zu einem eigenständigen Forschungsgebiet. Arbeiten von [[Stephen Smale]] und [[Richard Palais|Richard S. Palais]] untersuchten insbesondere analytische Strukturen auf unendlichdimensionalen Mannigfaltigkeiten, etwa auf Räumen glatter Abbildungen oder Lösungsräumen von Differentialgleichungen.<ref name=":0">{{Literatur |Autor=Richard S. Palais |Titel=Foundations of Global Non-linear Analysis |Verlag=W. A. Benjamin |Datum=1968 |ISBN=978-0-8053-7710-1 |Seiten=1ff. |Online=https://books.google.be/books?id=FBE_AAAAIAAJ |Abruf=}}</ref><ref name=":3" />

Eine zentrale Rolle spielte die Theorie [[Elliptischer Differentialoperator|elliptischer Differentialoperatoren]] auf Mannigfaltigkeiten. In diesem Zusammenhang bewiesen [[Michael Francis Atiyah|Michael Atiyah]] und [[Isadore M. Singer|Isadore Singer]] im Jahr 1963 den [[Atiyah-Singer-Indexsatz|Atiyah–Singer-Indexsatz]], der eine Beziehung zwischen analytischen Eigenschaften elliptischer Differentialoperatoren und topologischen Invarianten von Mannigfaltigkeiten herstellt. Er gilt als eines der grundlegenden Resultate der globalen Analysis.<ref name=":1" /> Für diese Arbeiten erhielt Michael Atiyah im Jahr 1966 unter anderem die [[Fields-Medaille]]. Außerdem wurden Atiyah und Singer 2004 gemeinsam mit dem [[Abelpreis]] ausgezeichnet.<ref>{{Literatur |Autor=Helge Holden, Ragni Piene |Titel=The Abel Prize: 2003-2007 The First Five Years |Verlag=Springer-Verlag Berlin Heidelberg |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2010 |Reihe=SpringerLink Bücher |ISBN=978-3-642-01372-0 |Seiten=98ff. |Abruf=}}</ref> In engem Zusammenhang mit dem Indexsatz entwickelten Michael Atiyah und [[Raoul Bott]] den [[Atiyah-Bott-Fixpunktsatz]], der eine allgemeine [[Fixpunktsatz|Fixpunktformel]] für [[Elliptischer Komplex|elliptische Komplexe]] liefert und zahlreiche klassische Fixpunktsätze verallgemeinert. Dieses Resultat stellt ebenfalls eine Verbindung zwischen analytischen und topologischen Invarianten her und gilt als ein weiteres grundlegendes Resultat der globalen Analysis.<ref>Michael F. Atiyah, Raoul Bott: ''A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Complexes I.'' Annals of Mathematics 86 (1967), S. 374–407.</ref> Eine Erweiterung des Indexsatzes stellt der [[Atiyah-Patodi-Singer-Indexsatz]] dar, der in den 1970er Jahren entwickelt wurde und Indexformeln für Mannigfaltigkeiten mit Rand liefert. Dabei treten neue spektrale Invarianten wie die [[Eta-Invariante|η-Invariante]] auf.<ref>Michael Atiyah, Vijay Patodi, Isadore Singer: ''Spectral Asymmetry and Riemannian Geometry I.'' Math. Proc. Cambridge Philosophical Society 77 (1975).</ref>

Parallel dazu entwickelte sich die Theorie der [[Pseudodifferentialoperator|Pseudodifferentialoperatoren]] und der [[Mikrolokale Analysis|mikrolokalen Analysis]], die wichtige Werkzeuge zur Untersuchung elliptischer Operatoren und ihrer [[Symbolklasse|Symbolstruktur]] bereitstellt und dadurch zahlreiche Resultate der globalen Analysis ermöglicht.<ref name=":2" />

== Zentrale Themen ==
Ein charakteristisches Merkmal der globalen Analysis ist die Verbindung analytischer Methoden mit globalen geometrischen Strukturen auf Mannigfaltigkeiten.<ref name=":3">{{Literatur |Autor=Stephen Smale |Titel=What is Global Analysis? |Sammelwerk=The mathematics of time: essays on dynamical systems, economic processes, and related topics |Verlag=Springer |Ort=New York Heidelberg Berlin |Datum=1980 |ISBN=978-3-540-90519-6 |Seiten=84ff. }}</ref>

Ein wichtiges Untersuchungsgebiet ist die Theorie [[Elliptischer Differentialoperator|elliptischer Differentialoperatoren]] auf Mannigfaltigkeiten. Wichtige Beispiele sind [[Verallgemeinerter Laplace-Operator|verallgemeinerte Laplace-Operatoren]], die auf [[Vektorbündel|Vektorbündeln]] definiert sind und deren Spektraleigenschaften eng mit der Geometrie der Mannigfaltigkeit zusammenhängen. Analytische Eigenschaften solcher Operatoren, etwa [[Fredholm-Operator|Fredholm-Eigenschaften]] oder Spektralinvarianten, stehen dabei in engem Zusammenhang mit topologischen Eigenschaften der zugrunde liegenden Mannigfaltigkeiten.<ref name=":2">{{Literatur |Autor=John Roe |Titel=Elliptic Operators, Topology, and Asymptotic Methods, Second Edition |Auflage=2nd ed |Verlag=Chapman and Hall/CRC |Ort=Boca Raton |Datum=2013 |Reihe=Chapman and Hall/CRC Research Notes in Mathematics Ser |ISBN=978-0-582-32502-9 }}</ref> Eng damit verbunden ist die Theorie der Indexsätze. Der [[Atiyah-Singer-Indexsatz]] und seine Verallgemeinerungen zeigen, dass analytische Invarianten von Differentialoperatoren durch topologische Daten bestimmt werden. Eine besonders bedeutende Klasse elliptischer Differentialoperatoren bilden die [[Dirac-Operator|Dirac-Operatoren]], die ursprünglich aus der [[Quantenmechanik]] stammen und in der Differentialgeometrie auf [[Spin-Mannigfaltigkeit|Spin-Mannigfaltigkeiten]] definiert werden. Dirac-Operatoren spielen eine zentrale Rolle in der modernen Formulierung des Atiyah-Singer-Indexsatzes und seiner Verallgemeinerungen.<ref name=":1">{{Literatur |Autor=H. Blaine Lawson, Marie-Louise Michelsohn |Titel=Spin geometry |Verlag=Princeton University Press |Ort=Princeton, N.J |Datum=1989 |Reihe=Princeton mathematical series |ISBN=978-0-691-08542-5 }}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Nicole Berline, Ezra Getzler, Michèle Vergne |Titel=Heat kernels and Dirac operators |Verlag=Springer |Ort=Berlin ; New York |Datum=2004 |Reihe=Grundlehren text editions |ISBN=978-3-540-20062-8 }}</ref>

Ein weiteres wichtiges Gebiet sind Variationsmethoden und kritische Punkt-Methoden, etwa in der [[Morse-Theorie]], die globale topologische Eigenschaften von Mannigfaltigkeiten aus der Struktur glatter Funktionen ableiten.<ref name=":4" />

Darüber hinaus untersucht die globale Analysis analytische Strukturen auf unendlichdimensionalen Mannigfaltigkeiten, insbesondere auf Räumen glatter Abbildungen oder Lösungsräumen von Differentialgleichungen.<ref name=":0" />

== Einzelnachweise ==
<references />
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Differentialgeometrie]]

Globale Analysis - Versionsgeschichte

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