imported>Saure: ergänzt

2020-10-28T09:34:40Z

ergänzt

Neue Seite

Der Begriff '''Gleichwert''' steht in der [[Elektrotechnik]], besonders im Bereich der [[elektrische Messtechnik|elektrischen Messtechnik]] und der [[Theoretische Elektrotechnik|theoretischen Elektrotechnik]], für [[arithmetischer Mittelwert]] oder ''linearer zeitlicher Mittelwert''.<ref name="D10">DIN 40110-1:1994 ''Wechselstromgrößen''</ref> Er ist eine Anwendung des arithmetischen Mittels auf zeitlich kontinuierlich vorhandene veränderliche Größen eines [[Stationärer Vorgang|stationären Vorgangs]]. Er gibt den '''Gleichanteil''' an, wenn eine Überlagerung aus [[Wechselgröße|Wechsel- und Gleichgrößen]] vorliegt.

== Ansatz ==
Wird die mathematische Definition des arithmetischen [[Mittelwert]]es <math>\overline x = \frac1n \sum_{i=1}^n x_i</math> angewendet auf eine ''fortlaufend'' vorhandene Größe, so ergibt sich mit Einzelwerten, die in gleichen zeitlichen Abständen <math>\Delta t</math> während einer Beobachtungsdauer <math>\tau =n\cdot \Delta t</math> gewonnen worden sind,
:<math>\begin{align}
\overline x & = \lim_{n \to \infty} \frac1n\sum_{i=1}^n x_i\\
& =\lim_{\tau \to \infty} \frac1\tau\sum_{i=1}^{\tau/\Delta t} x_i\cdot \Delta t\quad\text{oder}\\
& =\lim_{\Delta t \to 0} \frac1\tau\sum_{i=1}^{\tau/\Delta t} x_i\cdot \Delta t\ .
\end{align}</math>
Die letzte Zeile führt auf ein [[Integralrechnung|Integral]], wenn sich die Größe durch eine integrierbare Funktion darstellen lässt.

Als Beobachtungsdauer reicht in der Praxis eine fallweise repräsentative ''endliche'' Dauer.

== Gleichwert bei periodischen Vorgängen ==
[[Datei:Sinusverläufe.svg|mini|hochkant=0.9|Sinusförmige Wechselspannung, gleichgerichtet, quadriert; dazu jeweils die Gleichwerte]]
Am Beispiel einer [[Elektrische Spannung| elektrischen Spannung]] mit dem [[Augenblickswert]] <math>u</math> ist ihr Gleichwert
*die mittlere Höhe aller Spannungs-Zeit-Flächen <math>u\,\cdot\, \Delta t</math>   oder
*die Summe aller Spannungs-Zeit-Flächen während einer Beobachtungsdauer <math>\tau</math> geteilt durch die Beobachtungsdauer.

Bei periodischen Vorgängen mit der [[Periodendauer]] <math>T</math> kann man die Beobachtungsdauer auf eine Anzahl von <math>m</math> Perioden beschränken (<math>m\ge 1</math>, ganzzahlig) und berechnet den Gleichwert mit der Summe
:<math>\overline u = \frac1{mT} \cdot \sum u \cdot \Delta t\ .</math>

Zu einer möglichst genauen Erfassung mit vielen Einzelwerten ist <math>\Delta t \ll \tau= m\cdot T</math> erforderlich. Man wählt <math>\Delta t\ll T</math> oder <math>m\gg 1</math>. (Außerdem muss <math>\Delta t<T/2</math> sein.) Bei bekannter Funktion <math>u</math> ersetzt man die Summe durch das Integral über eine Periode (<math>m=1</math>) mit beliebig wählbarem Zeitpunkt <math>t_1</math>
:<math>\overline u =\frac1T\int\limits_{t_1} ^{t_1 +T}u\ \mathrm dt\ .</math>

Als [[Wechselspannung]] bezeichnet man eine Spannung, deren Polarität in regelmäßiger Wiederholung wechselt, deren zeitlicher Mittelwert aber null beträgt.<ref name="D10" /><ref>DIN 5483-1:1983 ''Zeitabhängige Größen''</ref> Die Kurvenform der Spannung ist dabei unerheblich und keineswegs an den Sinusverlauf gebunden. Die Fläche der Spannung über der Nulllinie ist dem Betrage nach genauso groß wie die Fläche unter der Nulllinie; die Summe aus positiver Fläche (über der Nulllinie) und negativer Fläche (unter der Nulllinie) ist dann gleich null.

Bei einer [[Mischspannung]] erhält man den Gleichanteil aus der Höhe einer waagerechten Geraden, bei der sich entsprechend die Flächen oberhalb und unterhalb zu null ergänzen.

Als weitere [[Formelzeichen]] außer <math>\overline u</math> werden benutzt:
:<math>\overline u= \overline U= U_-= U_{\text{av}}= U_{\text{DC}}</math>; av steht für average, DC für direct current.

== Messung des Gleichwertes ==
=== Analoges Messverfahren ===
Bei diesem [[Messverfahren]] wird die Drehspule des [[Drehspulmesswerk]]es durch eine Kraft, welche proportional zur Stromstärke <math>i</math> ist, ausgelenkt. Eine Wechselspannung erzeugt abwechselnd eine positive und negative Stromstärke und eine entsprechende Kraft. Da das mechanische Messwerk dem Rhythmus technischer Wechselspannungen nicht folgen kann, wird nur die mittlere Kraft erfasst und somit der Gleichspannungsanteil <math>U_-</math> der Mischspannung angezeigt.

=== Digitales Messverfahren ===
[[Digitalmultimeter]] benutzen häufig einen [[Analog-Digital-Umsetzer]] nach dem [[Zweirampenverfahren]]. Auch bei diesem wird die Integration analogtechnisch in der Eingangsstufe vorgenommen.

Bei der Messung im DC-[[Messbereich]] wird ein Kondensator eine feste Dauer lang aufgeladen, er integriert Stromstärke. Eine Gleichspannung lädt den Kondensator linear über der Zeit auf. Bei Wechselspannung wird der Kondensator aufgeladen und in demselben Maße wieder entladen; nach einer ganzen Anzahl von Perioden, z. B. nach 300 ms bei 50 Hz oder 60 Hz, ist der Ladezustand des Kondensators unverändert. Durch eine Überlagerung aus Gleich- und Wechselspannungsanteil ist zum Ende des Ladevorgangs der Kondensator genau so viel oder wenig geladen wie durch die Gleichspannung alleine. Die Endhöhe der Kondensatorladung ist bestimmend für die Anzeige. Somit wird im Bereich DC nur der Gleichspannungsanteil der Mischspannung gemessen.

=== Verfahren bei Wechselgrößen ===
Da eine [[Wechselgröße]] definitionsgemäß den Gleichwert null hat, ist seine Messung bei dieser Größe sinnlos. Die einfachste Methode, eine Wechselgröße durch Messung zu charakterisieren, besteht in der Ermittlung ihres [[Gleichrichtwert]]es. In Blick auf Energieübertragung ist der gemessene [[Effektivwert]] aussagekräftiger.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Elektrische Messtechnik]]
[[Kategorie:Theoretische Elektrotechnik]]

Gleichwert - Versionsgeschichte

imported>Saure: ergänzt