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Die Theorie der '''Gleichverteilung modulo 1''' beschäftigt sich mit dem Verteilungsverhalten von Folgen [[Reelle Zahl|reeller Zahlen]]. Eine Folge heißt gleichverteilt modulo 1, wenn die relative Anzahl an Folgengliedern in einem Intervall gegen die Länge dieses Intervalls [[Grenzwert (Folge)|konvergiert]].

== Definition ==

Sei <math> x_1, x_2, \dots</math> eine [[Folge (Mathematik)|Folge]] reeller Zahlen. Zu Zahlen <math>a,b</math> mit <math>0 \leq a < b \leq 1</math> bezeichne <math>A([a,b),N)</math> die Anzahl jener Folgenglieder mit Index kleiner oder gleich <math>N</math>, deren Bruchteil im Intervall <math>[a,b)</math> liegt. In mathematischer Schreibweise:
:<math> A([a,b),N) := \# \left\{ 1 \leq n \leq N:~\{x_n\} \in [a,b) \right\} </math>.
Unter dem Bruchteil <math>\{x\}</math> einer Zahl <math>x</math> versteht man dabei die Zahl selbst minus die nächstkleinere [[ganze Zahl]] (Beispielsweise ist der Bruchteil <math>\{1{,}4142\}=1{,}4142-1=0{,}4142</math>, und der Bruchteil <math>\{-0{,}7\} = -0{,}7 - (-1) = 0{,}3</math>). Der Bruchteil einer Zahl liegt immer im Intervall <math>[0,1)</math>.

Die Folge <math>x_1, x_2, \dots</math> heißt nun '''gleichverteilt modulo 1''', wenn für jedes Intervall <math>[a,b) \subset [0,1)</math> die relative Anzahl der Folgenglieder in diesem Intervall gegen die Länge des Intervalls strebt. In mathematischer Schreibweise: <math>x_1, x_2, \dots</math> heißt gleichverteilt modulo 1 genau dann, wenn
:<math> \lim_{N \to \infty} \frac{A([a,b),N)}{N} = b-a </math>    für alle Zahlen <math>a,b</math> mit <math>0 \leq a < b \leq 1</math> gilt.

Anschaulich gesprochen bedeutet dies, dass die Folge <math> x_1, x_2, \dots</math> im Intervall <math>[0,1)</math> gleichmäßig verteilt ist (daher auch die Bezeichnung „gleichverteilt modulo 1“).

== Eigenschaften ==

Ein wichtiges Kriterium, um zu überprüfen, ob eine Folge <math>x_1, x_2, \dots</math> gleichverteilt modulo 1 ist oder nicht, ist das ''Weylsche Kriterium'', erstmals bewiesen von [[Hermann Weyl]] im Jahr 1916. Diese ist auch zugleich die erste veröffentlichte Anwendung einer [[Exponentialsumme]] in der analytischen Zahlentheorie.

Eine Folge <math>x_1, x_2, \dots</math> ist gleichverteilt modulo 1 genau dann, wenn
:<math>\lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N e^{2 \pi i h x_n} = 0 </math>     für alle <math> h \in \mathbb{Z} \backslash \{0\} </math> gilt.

Der Beweis basiert darauf, dass die in der Definition der Gleichverteilung modulo 1 auftretenden [[Indikatorfunktion]]en durch [[stetige Funktion]]en, und diese laut dem [[Satz von Stone-Weierstraß|Approximationssatz von Weierstraß]] durch [[Trigonometrische Funktion|trigonometrische Polynome]] beliebig genau approximiert werden können.

== Beispiele ==

Folgende Folgen sind gleichverteilt modulo 1:

*<math> (n \alpha)_{n \geq 1} </math>    genau dann, wenn <math>\alpha</math> [[Irrationale Zahlen|irrational]] ist.

*<math> (n^\sigma \log^\tau n)_{n \geq 1} </math>    für <math>0 < \sigma < 1, ~\tau \in \mathbb{R}</math>

*<math> (p(n))_{n \geq 1} </math>    wobei <math> p(x) </math> ein nichtkonstantes Polynom bezeichnet, das mindestens einen irrationalen Koeffizienten besitzt.

*<math> (2^n \alpha)_{ n\geq 1} </math>   genau dann, wenn <math>\alpha</math> eine [[normale Zahl]] zur Basis 2 ist.

Da die Folge <math>(n \alpha)_{n \geq 1}</math> für irrationales <math>\alpha</math> gleichverteilt modulo 1 ist, müssen in jedem Intervall <math>[a,b)</math> laut Definition asymptotisch etwa <math>N (b-a)</math> Elemente der Folge liegen. Insbesondere muss daher jedes Intervall unendlich viele Elemente der Folge enthalten: die Folge <math>n \alpha</math> ist daher dicht im Intervall <math>[0,1)</math>. Das ist der sogenannte ''Approximationssatz von [[Leopold Kronecker|Kronecker]]'', wodurch ein Zusammenhang zwischen Gleichverteilung modulo 1 und [[Diophantische Approximation|diophantischer Approximation]] (siehe [[Dirichletscher Approximationssatz]]) angedeutet wird.

== Literatur ==

* Edmund Hlawka: ''Theorie der Gleichverteilung''. B.I.-Wissenschaftsverlag, 1979. ISBN 3-411-01565-9
* Lauwerens Kuipers und Harald Niederreiter: ''Uniform distribution of sequences''. Dover Publications, 2002. ISBN 0-486-45019-8

[[Kategorie:Zahlentheorie]]

Gleichverteilung modulo 1 - Versionsgeschichte

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