imported>Roland Scheicher: /* Siehe auch */

2020-05-21T17:51:26Z

Siehe auch

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{{Dieser Artikel|behandelt die mathematische Gleichverteilung. Für die wirtschaftliche Gleichverteilung siehe [[Gini-Koeffizient]].}}
Der Begriff '''Gleichverteilung''' stammt aus der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]] und beschreibt eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] mit bestimmten Eigenschaften. Im [[Diskrete Gleichverteilung|diskreten Fall]] tritt jedes mögliche [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnis]] mit der gleichen [[Wahrscheinlichkeit]] ein, im [[Stetige Gleichverteilung|stetigen Fall]] ist die [[Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Dichte]] konstant. Der Grundgedanke einer Gleichverteilung ist, dass es keine Präferenz gibt.

Beispielsweise sind die Ergebnisse beim [[Würfeln]] nach einem Wurf die sechs möglichen Augenzahlen: <math>\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}</math>. Bei einem idealen Würfel beträgt die Eintrittswahrscheinlichkeit jedes dieser Werte 1/6, da sie für jeden der sechs möglichen Werte gleich groß ist und die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten 1 ergeben muss.

==Definition==
=== Diskreter Fall ===
{{Hauptartikel|Diskrete Gleichverteilung}}

Sei <math>\Omega</math> eine nichtleere endliche Menge. Dann ist bei einer Gleichverteilung die Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> eines [[Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Ereignisses]] <math>A</math> mit <math>A\subseteq\Omega</math> durch die [[Laplace-Formel]] definiert:
:<math>P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{\text{Anzahl der Elemente von }A}{\text{Anzahl der Elemente von }\Omega}</math>

=== Stetiger Fall ===
{{Hauptartikel|Stetige Gleichverteilung}}

Sei <math>\Omega</math> ein endliches reelles [[Intervall (Mathematik)|Intervall]], also <math>\Omega = [a,b]</math> für <math>a,b \in \mathbb{R}</math>. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses <math>A\subseteq \Omega</math> ist bei einer Gleichverteilung definiert als
:<math>P(A) = \int_A\frac 1{\lambda(\Omega)}\,\mathrm d\lambda (x) = \frac{\lambda(A)}{\lambda(\Omega)} = \frac{\lambda(A)}{b-a},</math>
wobei <math>\lambda</math> das [[Lebesgue-Maß]] bezeichnet. Insbesondere gilt für ein Teilintervall <math>A = [c,d] \subseteq [a,b]</math>
:<math>P(A) = \frac{\lambda(A)}{\lambda(\Omega)} = \frac{d-c}{b-a}.</math>
Die [[Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] ist hier eine stückweise konstante Funktion <math>\rho</math> mit:
:<math>\rho(x)=\begin{cases}
\frac 1{b-a} & a \le x \le b,\\
0 & \text{sonst}.
\end{cases}</math>

Mit Hilfe der [[Indikatorfunktion]] des Intervalls <math>[a,b]</math> schreibt sich dies kürzer in der Form
:<math>\rho(x) = \frac 1{b-a} \cdot \mathbf{1}_{[a,b]}(x).</math>

In ähnlicher Weise kann man eine stetige Gleichverteilung auch auf beschränkten Teilmengen <math>\Omega</math> des <math>n</math>-dimensionalen Raumes <math>\mathbb{R}^n</math> erklären. Für ein Ereignis <math>A \subseteq \Omega</math> erhält man die zum eindimensionalen Fall analoge Formel
:<math>P(A) = \int_A\frac 1{\lambda^n(\Omega)}\,\mathrm d\lambda^n (x) = \frac{\lambda^n(A)}{\lambda^n(\Omega)},</math>
wobei <math>\lambda^n</math> das <math>n</math>-dimensionale [[Lebesgue-Maß]] bezeichnet.

== Beispiele ==
*Beim Werfen eines idealen [[Spielwürfel|Würfels]] ist die Wahrscheinlichkeit jeder Augenzahl zwischen 1 und 6 gleich 1/6.
*Beim [[Münzwurf]] einer idealen Münze ist die Wahrscheinlichkeit für jede der beiden Seiten gleich 1/2.

== Indifferenzprinzip von Laplace und die Gleichverteilung ==
Die Gleichverteilung war Forschungsgebiet für [[Pierre-Simon Laplace]], der vorschlug, dass man erst einmal Gleichverteilung annehmen solle, wenn man auf einem Wahrscheinlichkeitsraum das Wahrscheinlichkeitsmaß nicht kennt ([[Indifferenzprinzip]]). Nach ihm nennt man einen [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega, \, \mathfrak{P}(\Omega), \, \mathcal{U}_{\Omega})</math> für endliches Ω auch Laplace-Raum.<ref>Georgii: ''Stochastik.'' 2009, S. 22.</ref>

== Siehe auch ==
*[[Zwei-Drittel-Gesetz|Gesetz der kleinen Zahlen]]
*[[Gleichverteilung modulo 1]]

== Weblinks ==
*{{EoM
| Autor = A. V. Prokhorov
| Titel = Uniform distribution
| Url = https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Uniform_distribution
}}

*{{MathWorld
| id = UniformDistribution
| title = Uniform Distribution
}}

== Literatur ==
*{{Literatur |Autor=Ulrich Krengel |Titel=Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik |TitelErg=Für Studium, Berufspraxis und Lehramt |Auflage=8. |Verlag=Vieweg |Ort=Wiesbaden |Datum=2005 |ISBN=3-8348-0063-5 |DOI=10.1007/978-3-663-09885-0}}
*{{Literatur |Autor=Hans-Otto Georgii |Titel=Stochastik |TitelErg=Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik |Auflage=4. |Verlag=Walter de Gruyter |Ort=Berlin |Datum=2009 |ISBN=978-3-11-021526-7 |DOI=10.1515/9783110215274}}
*{{Literatur |Autor=Christian Hesse |Titel=Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie |Auflage=1. |Verlag=Vieweg |Ort=Wiesbaden |Datum=2003 |ISBN=3-528-03183-2 |DOI=10.1007/978-3-663-01244-3}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4157566-0}}

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[it:Variabile casuale Uniforme discreta]]

Gleichverteilung - Versionsgeschichte

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