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2026-02-09T05:32:26Z

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Das '''Gleichsetzungsverfahren'''<ref>''Basiswissen Schule Mathematik'', S. 145.</ref> ist ein Verfahren zur Lösung von [[Gleichungssystem]]en. In der [[Schulmathematik]] wird es neben dem [[Einsetzungsverfahren]] und dem [[Additionsverfahren (Mathematik)|Additionsverfahren]] standardmäßig zur Lösung von [[Lineares Gleichungssystem|linearen Gleichungssystemen]] mit zwei Variablen eingesetzt.<ref>{{Literatur |Autor=Hans-Georg Weigand, Alexander Schüler-Meyer, Guido Pinkernell |Titel=Didaktik der Algebra |Auflage=4. |Verlag=Springer |Datum=2022 |ISBN=978-3-662-64659-5 |Seiten=295}}</ref> Das Gleichsetzungsverfahren ist ein Spezialfall des Einsetzungsverfahrens und insbesondere dann sinnvoll, wenn beide Gleichungen nach einer Variablen aufgelöst vorliegen.<ref>''Basiswissen Schule Mathematik,'' S. 145–146.</ref>

Beim Gleichsetzungsverfahren werden zwei [[Gleichung]]en nach derselben [[Variable (Logik)|Variablen]] aufgelöst. Anschließend werden die beiden erhaltenen Terme gleichgesetzt. Dadurch entsteht eine neue Gleichung, die eine Variable weniger als das ursprüngliche Gleichungssystem enthält. Durch Auflösen erhält man den oder die Werte der verbliebenen Variablen und durch Einsetzen dieser Lösung(en) in eine der beiden Ausgangsgleichungen die zugehörigen Werte der zuvor eliminierten Variablen.<ref group="A">Man wird natürlich nur Lösungen für die beiden Variablen erhalten, wenn das ursprüngliche Gleichungssystem lösbar ist.</ref>

== Beispiele ==

=== Lineares Gleichungssystem ===
Es wird das folgende lineare Gleichungssystem betrachtet:
: <math>\begin{align}
& (\text{I}) & 3x + y & = -1\\
& (\text{II})& -2x + y & = 4
\end{align}</math>
Zunächst werden die beiden Gleichungen nach einer der Variablen umgestellt; hier bietet sich <math>y</math> an:

:<math>\begin{align}
& (\text{I'}) & y & = -1 - 3x\\
& (\text{II'})& y & = 4 + 2x
\end{align}</math>
Gleichsetzen der beiden Terme („<math>y=y</math>“) liefert
:<math>-1 - 3x = 4 + 2x </math>.
Aus dieser Gleichung erhält man durch elementare Termumformungen <math>x=-1</math>. Setzt man diesen Wert in eine der Ausgangsgleichungen (oder in eine der umgestellten Gleichungen) ein, so erhält man den zugehörigen Wert <math>y=2</math>. Also hat das Gleichungssystem die Lösung <math>(-1;\;2)</math>.

=== Nichtlineares Gleichungssystem ===
Es wird das folgende nichtlineare Gleichungssystem betrachtet:
: <math>\begin{align}
& (\text{I}) & y & = x - 1\\
& (\text{II})& y & = -x^2 + 8x - 11
\end{align}</math>
Die rechten Seiten der beiden Gleichungen können sofort gleichgesetzt werden, weil die linken Seiten identisch sind („<math>y=y</math>“):
:<math>x - 1 = -x^2 + 8x - 11</math>.
Durch elementare Äquivalenzumformungen lässt sich diese Gleichung in Normalform überführen:
:<math>x^2 - 7x + 10 = 0</math>.
Diese Gleichung hat die beiden Lösungen <math>x_1 = 2</math> und <math>x_2=5</math> (siehe [[pq-Formel]]). Schließlich setzt man jeweils die Werte <math>x_1</math> und <math>x_2</math> in eine der beiden Ausgangsgleichungen ein und erhält dadurch die zugehörigen Werte <math>y_1=2</math> und <math>y_2=1</math>. Das Gleichungssystem hat somit die zweielementige Lösungsmenge

:<math>\mathbb{L} = \{(2;\,1), (5;\,4)\}</math>.

== Siehe auch ==
* [[Einsetzungsverfahren]]
* [[Additionsverfahren (Mathematik)|Additionsverfahren]]

== Literatur ==
* Duden (Hrsg.): ''Mathematik'' (= ''Basiswissen Schule.''). 4. Auflage. Duden Schulbuchverlag, 2010, ISBN 978-3-411-71504-6.
* Jens Kunath: ''Analytische Geometrie und Lineare Algebra zwischen Abitur und Studium I''. 2. Auflage. Springer Spektrum, 2023, ISBN 978-3-662-67811-4, S. 8–9.

== Weblinks ==
* {{Webarchiv |url=http://www.mathe1.de/mathematikbuch/funktionen_gleichsetzungsverfahren_17.htm |text=''Das Gleichsetzungsverfahren.'' |wayback=20100325225907}} im Online-Mathematikbuch.

== Anmerkungen ==
<references group="A" />

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Elementare Algebra]]

Gleichsetzungsverfahren - Versionsgeschichte

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