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2025-06-28T17:57:18Z

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Die '''gleichgradige Integrierbarkeit''', auch '''gleichmäßige Integrierbarkeit''' genannt, ist in der [[Mathematik]] eine Verstärkung des Begriffs der [[Integrierbarkeit]]. Im Gegensatz zur Integrierbarkeit ist sie immer eine Eigenschaft einer [[Familie (Mathematik)|Familie]] von Funktionen und nicht die einer einzelnen Funktion. Allerdings kann die Familie auch einelementig sein. Die gleichgradige Integrierbarkeit ist vor allem in der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]] und der [[Maßtheorie]] von Bedeutung, da sie es ermöglicht, mittels des [[Konvergenzsatz von Vitali|Konvergenzsatzes von Vitali]] eine Verbindung von der [[Konvergenz im p-ten Mittel|Konvergenz im ''p''-ten Mittel]] zu der [[Konvergenz in Wahrscheinlichkeit]] der Wahrscheinlichkeitstheorie und der [[Konvergenz nach Maß]] bzw. der [[Konvergenz lokal nach Maß]] der Maßtheorie zu schlagen. Anschaulich ist eine Familie von Funktionen dann gleichgradig integrierbar, wenn das Integral über „kleinen“ Mengen auch keine zu großen Werte annimmt.

== Definition ==
Sei <math> (\Omega, \mathcal A) </math> ein [[Maßraum]], <math> \mu </math> ein (positives) [[Maß (Mathematik)|Maß]] auf <math> (\Omega, \mathcal A) </math>. Mit <math> \mathcal L^1(\mu) := \mathcal L^1(\Omega, \mu) </math> sei die Menge der bezüglich <math> \mu </math> integrierbaren Funktionen von <math> \Omega </math> nach <math> \mathbb R </math> bezeichnet. Der [[Positivteil]] einer Funktion sei mit <math> f^+ := \max \{0,f\} </math>, die Menge der positiven, bezüglich <math> \mu </math> integrierbaren Funktionen auf <math> \Omega </math> mit <math> \mathcal L^1(\mu)^+ </math> notiert.

=== Für allgemeine Maße ===
Eine Familie <math> \mathcal F </math> von messbaren Funktionen auf <math> \Omega </math> heißt ''gleichgradig integrierbar'' bezüglich <math> \mu </math>, wenn sie eine der folgenden vier äquivalenten Bedingungen erfüllt:<ref>{{Literatur |Autor=Norbert Kusolitsch |Titel=Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie |TitelErg=Eine Einführung |Auflage=2., überarbeitete und erweiterte |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=2014 |ISBN=978-3-642-45386-1 |DOI=10.1007/978-3-642-45387-8}} Definition 13.29, Satz 13.31.</ref>
* Es sind die folgenden beiden Bedingungen erfüllt:
# Es ist <math>\inf_{c \in [0, \infty)} \sup_{f \in \mathcal F} \int_{\{|f| \geq c \}} |f| \mathrm d\mu =0 </math>.
# Für jedes <math> \varepsilon > 0 </math> existiert ein <math> A \in \mathcal A </math> mit <math> \mu(A) < \infty </math> und
::<math>\sup_{f \in \mathcal F} \int_{\Omega \backslash A} |f| \mathrm d\mu \leq \varepsilon </math>.
* Es ist
::<math>\inf_{g \in \mathcal L^1(\mu)^+} \sup_{f \in \mathcal F} \int_\Omega (|f| - g)^+ \mathrm d\mu = 0 </math>.
* Es ist
::<math>\inf_{g \in \mathcal L^1(\mu)^+} \sup_{f \in \mathcal F} \int_{\{|f| \geq g\}} |f| \mathrm d\mu = 0 </math>.
* Es sind die folgenden beiden Bedingungen erfüllt:
# Es ist <math> \sup_{f \in \mathcal F} \int \vert f \vert \mathrm d\mu < \infty </math>
# Für jedes <math> \varepsilon > 0 </math> existieren ein <math> g \in \mathcal L^1(\mu)^+ </math> und ein <math> \delta > 0 </math> derart, dass die Implikation
::: <math> \int_A g \; \mathrm d\mu \leq \delta \Longrightarrow \sup_{f \in \mathcal F} \int_A |f| \;\mathrm d\mu \leq \varepsilon </math>
:: für alle <math> A \in \mathcal A </math> gültig ist.

Insbesondere ist also jedes Element gleichgradig integrierbarer Familien selbst eine integrierbare Funktion.

=== Für endliche Maße ===
Ist das Maß endlich, ist also <math> \mu(\Omega) < \infty </math>, so existieren vereinfachte Charakterisierungen: Die gleichgradige Integrierbarkeit bezüglich <math> \mu </math> einer Familie <math> \mathcal F </math> messbarer Funktionen auf <math> \Omega </math> ist dann äquivalent zu jeder der vier folgenden Aussagen:<ref>{{Literatur |Autor=Norbert Kusolitsch |Titel=Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie |TitelErg=Eine Einführung |Auflage=2., überarbeitete und erweiterte |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=2014 |ISBN=978-3-642-45386-1 |DOI=10.1007/978-3-642-45387-8}} Satz 13.32.</ref><ref>{{Literatur |Autor=[[Achim Klenke]] |Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie |Auflage=3. |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=2013 |ISBN=978-3-642-36017-6 |DOI=10.1007/978-3-642-36018-3}} Satz 6.17, Satz 6.24.</ref>
* Es ist
::<math>\inf_{c \in [0, \infty)} \sup_{f \in \mathcal F} \int (|f| - c)^+ \mathrm d\mu = 0 </math>.
* Es ist
::<math>\inf_{c \in [0, \infty)} \sup_{f \in \mathcal F} \int_{\{|f| \geq c\}} |f| \mathrm d\mu = 0 </math>.
* Es sind die folgenden beiden Bedingungen erfüllt:
# Es ist <math> \sup_{f \in \mathcal F} \int \vert f \vert \mathrm d\mu < \infty </math>.
# Für jedes <math> \varepsilon > 0 </math> existiert ein <math> \delta > 0 </math> derart, dass die Implikation
:::<math> \mu(A) \leq \delta \Longrightarrow \sup_{f \in \mathcal F} \int_A |f| \;\mathrm d\mu \leq \varepsilon </math>
::für alle <math> A \in \mathcal A </math> gültig ist.
* Es existiert eine Funktion <math>H\colon [0, \infty) \to [0, \infty)</math> mit <math>\lim_{x\to \infty} H(x)/x = \infty</math> und
:::<math>\sup_{f \in \mathcal F} \int H(|f|) d\mu < \infty</math>.
Die letzte Bedingung wird manchmal auch De-La-Vallée-Poussin-Kriterium (für gleichgradige Integrierbarkeit) genannt.

=== Gleichgradig integrierbar im ''p''-ten Mittel ===
Eine Familie von Funktionen <math> (f_i)_{i \in I} </math> heißt „gleichgradig integrierbar im ''p''-ten Mittel“, wenn die Familie <math> (|f_i|^p)_{i \in I} </math> gleichgradig integrierbar ist. Im Falle eines endlichen Maßraums ist dies für <math>p > 1</math> insbesondere der Fall, wenn <math>\sup_{f \in \mathcal F}\int|f|^pd\mu < \infty</math>.

== Eigenschaften ==
* Jede endliche Menge <math>\mathcal{F} \subset \mathcal{L}^1(\mu)</math> ist gleichgradig integrierbar.
* Seien <math> \mathcal F, \mathcal G </math> Familien von Funktionen und sei <math> \mathcal F </math> gleichgradig integrierbar. Existiert zu jedem <math> g \in \mathcal G </math> ein <math> f \in \mathcal F </math>, sodass <math> \vert g \vert \leq \vert f \vert </math>, so ist auch <math> \mathcal G </math> gleichgradig integrierbar.
* Existiert ein <math>g \in L^1(\mu)</math>, sodass <math>|f| \le |g|</math> für alle <math>f \in \mathcal{F}</math>, so ist <math>\mathcal{F}</math> gleichgradig integrierbar. Dies ist ein direkter Spezialfall der beiden obigen Eigenschaften.
* Eine Folge <math>f_n</math> [[Messbare Funktion|messbarer Funktionen]] konvergiert genau dann [[Konvergenz im Mittel|im Mittel]], d. h. bezüglich der <math>L^1</math>-Norm, gegen eine Funktion <math>f</math>, wenn sie [[Konvergenz nach Maß|dem Maße nach]] konvergiert und gleichgradig integrierbar ist. Dies folgt aus dem [[Konvergenzsatz von Vitali]]. Diese Aussage kann als eine Erweiterung des [[Satz von der majorisierten Konvergenz|Satzes der majorisierten Konvergenz]] verstanden werden, da durch die gleichgrade Integrierbarkeit die Anforderung an die Konvergenz der Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> abgeschwächt wird.
* Allgemeiner konvergiert eine Folge <math>f_n</math> [[Messbare Funktion|messbarer Funktionen]] genau dann [[Konvergenz im p-ten Mittel|im ''p''-ten Mittel]], also bezüglich der <math>L^p</math>-Norm, gegen eine Funktion <math>f</math>, wenn sie [[Konvergenz nach Maß|dem Maße nach]] konvergiert und im ''p''-ten Mittel gleichgradig integrierbar ist. Diese Aussage folgt ebenfalls aus dem Konvergenzsatz von Vitali.
* Sind <math> \mathcal F, \mathcal G </math> gleichgradig integrierbare Familien, so sind auch <math> \alpha \mathcal F + \beta \mathcal G </math> für <math> \alpha, \beta \in \mathbb R </math>, <math> \mathcal F \cup \mathcal G </math>, <math> \mathcal F \cap \mathcal G </math> und <math> \vert \mathcal F \vert </math> gleichgradig integrierbare Familien. Die Operationen sind dabei elementweise zu verstehen.

== Anwendungen ==
Die gleichgradige Integrierbarkeit spielt eine wichtige Rolle in der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]] im Zusammenhang mit [[Martingal|Martingalen]]. Wichtige Aussagen sind<ref>{{Literatur |Autor=Philip Protter |Titel=Stochastic Integration and Differential Equations |Auflage=2 |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=2013 |ISBN=978-3-662-02619-9 |DOI=10.1007/978-3-662-02619-9 |Seiten=9, 11, 12}}</ref>:

* Ist <math>(X_t)_{t\geq 0}</math> ein rechtsstetiges Martingal, dann ist <math>(X_t)_{t\geq 0}</math> genau dann gleichgradig integrierbar, wenn <math>Y\in L^1</math> existiert, sodass <math>Y=\lim_{t\to \infty}X_t</math> fast sicher und <math>X_t=\mathbb{E}[Y|\mathcal{F}_t]</math> für alle <math>\forall t\geq0</math>.
* Ist <math>(X_t)_{t\geq 0}</math> ein gleichgradig integrierbares rechtsstetiges Martingal und <math>T</math> eine [[Stoppzeit]], dann ist der [[Gestoppter Prozess|gestoppte Prozess]] auch ein gleichgradig integrierbares rechtsstetiges Martingal.
* Ist <math>(X_t)_{t\geq 0}</math> ein adaptierter Prozess mit [[Càdlàg-Funktion|càdlàg]] Pfaden und <math>\mathbb{E}[|X_t|]<\infty</math> und <math>\mathbb{E}[X_T]=0</math> für jede beliebige Stoppzeit <math>T</math>, dann ist <math>(X_t)_{t\geq 0}</math> gleichgradig integrierbar.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Jürgen Elstrodt]]
|Titel=Maß- und Integrationstheorie
|Auflage=6., korrigierte
|Verlag=Springer-Verlag
|Ort=Berlin/Heidelberg
|Datum=2009
|ISBN=978-3-540-89727-9
|DOI=10.1007/978-3-540-89728-6}}
* {{Literatur
|Autor=[[Achim Klenke]]
|Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie
|Auflage=3.
|Verlag=Springer-Verlag
|Ort=Berlin/Heidelberg
|Datum=2013
|ISBN=978-3-642-36017-6
|DOI=10.1007/978-3-642-36018-3}}
* {{Literatur
|Autor=Norbert Kusolitsch
|Titel=Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie
|TitelErg=Eine Einführung
|Auflage=2., überarbeitete und erweiterte
|Verlag=Springer-Verlag
|Ort=Berlin/Heidelberg
|Datum=2014
|ISBN=978-3-642-45386-1
|DOI=10.1007/978-3-642-45387-8}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Integralrechnung]]
[[Kategorie:Maßtheorie]]

Gleichgradige Integrierbarkeit - Versionsgeschichte

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