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2025-01-08T13:33:39Z

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{{Weiterleitungshinweis|Glattheit|Für den Begriff der Zahlentheorie siehe [[Glatte Zahl]].}}
Eine '''glatte Funktion''' ist eine mathematische [[Funktion (Mathematik)|Funktion]], die beliebig oft [[Differenzierbarkeit|differenzierbar]] ist. Die Bezeichnung „glatt“ ist durch die Anschauung motiviert: Der [[Funktionsgraph|Graph]] einer glatten Funktion hat keine „Ecken“, also Stellen, an denen sie nicht differenzierbar ist. Damit wirkt der Graph überall „besonders glatt“. Zum Beispiel ist jede [[holomorphe Funktion]] auch eine glatte Funktion. Außerdem werden glatte Funktionen als Abschneidefunktionen oder als [[Testfunktion]]en für [[Distribution (Mathematik)|Distributionen]] verwendet.

== Definition ==
=== Konventionen ===
Für eine nichtleere, [[Offene Menge|offene]] [[Teilmenge]] <math>D \subset \mathbb R</math> bezeichnet man die Menge der Funktionen <math>f:D\to \mathbb{R}</math>, die auf ganz <math>D</math> [[Stetige Abbildung|stetig]] sind, mit <math>C(D)</math>, <math>C^0(D)</math> oder <math>C^0(D,\mathbb R)</math>.
Entsprechend wird die Menge der einmal [[stetig differenzierbar]]en Funktionen mit <math>C^1(D)</math> bezeichnet und für jede natürliche Zahl <math>n</math> wird die Menge der <math>n</math>-mal stetig differenzierbaren Funktionen mit <math>C^n(D)</math> bezeichnet.

Die Menge der <math>n</math>-mal stetig differenzierbaren Funktion wird rekursiv durch

:<math>f \in C^n(D) \Leftrightarrow f\in C^1(D) \text{ und } f' \in C^{n-1}(D)</math>

definiert. Es gilt stets
:<math>C^n(D)\subset C^{n-1}(D) \subset \dotsb \subset C^1(D) \subset C^0(D)</math>.

=== Glatte Funktionen ===
Eine Funktion <math>f\colon D \to \mathbb R</math> heißt ''unendlich oft (stetig) differenzierbar'' oder ''glatt,'' wenn <math>f \in C^n(D)</math> für alle <math>n \in \mathbb N</math> gilt. Die Menge aller glatten Funktionen auf <math>D</math> wird mit <math>C^\infty(D)</math> notiert und es gilt
:<math>C^\infty(D) := \bigcap_{n \in \mathbb N} C^n(D).</math>
Diese Beschreibung ist insbesondere für [[Topologie (Mathematik)|topologische]] Betrachtungen nützlich.

=== Verallgemeinerungen ===
Ohne Schwierigkeiten lässt sich der Begriff der ''glatten Funktion'' auf allgemeinere Fälle übertragen. Es heißt, eine Funktion <math>f\colon \mathbb R^m \supset D \to \mathbb R^n</math> ist ''unendlich oft differenzierbar'' beziehungsweise ''glatt,'' wenn alle [[Partielle Ableitung|partiellen Ableitungen]] unendlich oft differenzierbar sind. Auch werden glatte Funktionen zwischen [[Glatte Mannigfaltigkeit|glatten Mannigfaltigkeiten]] definiert und untersucht.

== Eigenschaften ==
* Notwendigerweise sind sämtliche differenzierbaren Ableitungen stetig, da Differenzierbarkeit Stetigkeit impliziert.
* Häufig findet man in mathematischen Betrachtungen den Begriff „hinreichend glatt“. Hiermit ist gemeint, dass die Funktion für ein hinreichend großes <math>n</math> in <math>C^n(D)</math> liegt, also gerade so oft differenzierbar ist, um den aktuellen Gedankengang durchzuführen. Dies wird so formuliert, um eine zu starke (und nicht sinnvolle) Einschränkung durch „unendlich oft differenzierbar“ zu vermeiden, und zum anderen nicht alle Voraussetzungen durchgehen zu müssen, die in den üblicherweise betrachteten Fällen ohnehin erfüllt sind, oder aber, wenn die genaue Einschränkung aus anderen Gründen keine Rolle spielt: Als theoretisches Argument lässt sich anführen, dass für alle <math> n \in \mathbb N</math> die <math>n</math>-fach differenzierbaren und auch die unendlich oft differenzierbaren Funktionen und die analytischen Funktionen bezüglich vieler gängiger [[Metrischer Raum|Metriken]] [[Dichte Teilmenge|dicht]] in den stetigen liegen. Liegt etwa ein physikalisches Problem vor, in dem kleine Änderungen nicht von Bedeutung sind, gibt es zu einer betrachteten stetigen Funktion beliebig „nahe gelegene“ Funktionen, die die gestellten mathematischen Bedingungen erfüllen; eventuell lässt sich sogar zeigen, dass sich die für bestimmte Funktionen bewiesene Eigenschaft auf einen größeren Raum, in dem sie dicht liegen, überträgt. Ist aus dem Kontext erkennbar, dass nur hinreichend glatte Funktionen betrachtet werden (z. B. durch Angabe des Grades der Differenzierbarkeit), wird auf den Zusatz „hinreichend“ gelegentlich auch verzichtet.
* Zusätzlich bezeichnet man noch mit <math>C^\omega(D)</math> die Menge aller [[Analytische Funktion|analytischen Funktionen]], das sind die unendlich oft differenzierbaren Funktionen, deren [[Taylor-Entwicklung]] um jeden beliebigen Punkt in einer Umgebung gegen die gegebene Funktion konvergiert. Beachtenswert ist dann, dass jede der folgenden Inklusionen <math>C^0(D) \supset \dotsb \supset C^n(D)\supset C^{n+1}(D)\supset \dotsb \supset C^\infty(D)\supset C^\omega(D)</math> im reellwertigen Fall echt ist. Im Falle [[Komplexe Zahlen|komplexwertiger]] und komplex differenzierbarer, besser gesagt [[Holomorphe Funktion|holomorpher Funktionen]], ist jede auf einer offenen Menge komplex differenzierbare Funktion gleich unendlich oft differenzierbar und sogar analytisch. Deswegen bezieht sich die Differenzierbarkeit bei <math>C^n(D)</math> meist auf Funktionen, deren Definitions- und [[Zielmenge]] die [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]], Vektorräume oder Mannigfaltigkeiten über den reellen Zahlen oder Ähnliches sind.
* Jeder <math>C^n(D)</math> und auch <math>C^\infty(D)</math> (sowie <math>C^\omega(D)</math>) ist ein (unendlichdimensionaler) [[Vektorraum]].

== Beispiele ==
* Alle Polynomfunktionen sind unendlich oft differenzierbar und sogar analytisch.
* Sei <math>n\in\N_0</math>. Die durch
::<math>f\colon\mathbb R \to \mathbb R,\;\;\;
x\mapsto
\begin{cases}
x^{n+1} & \mathrm{f\ddot ur} \quad x \ge 0 \\
-x^{n+1} & \mathrm{f\ddot ur} \quad x < 0
\end{cases}</math>
:definierte Funktion erfüllt <math>f \in C^n(\R)</math>, ist also <math>n</math>-mal stetig differenzierbar. Ihre <math>n</math>-te Ableitung <math>f^{(n)}(x) = (n+1)! \, \left| x \right|</math> ist jedoch an der Stelle <math>x = 0</math> nicht stetig differenzierbar, also <math>f \notin C^{n+1}(\R)</math>.

* Die Funktion
::<math>
g\colon\mathbb R \to \mathbb R,\;\;\;
x\mapsto
\begin{cases}
\mathrm e^{-\frac{1}{x^2}} & \mathrm{f\ddot ur} \quad x\neq 0 \\
0 & \mathrm{f\ddot ur} \quad x=0
\end{cases}</math>
:ist eine unendlich oft differenzierbare Funktion, aber keine analytische Funktion, denn die [[Taylorreihe]] um den Nullpunkt stimmt in keiner Umgebung um 0 mit der Funktion überein, da alle Ableitungen bei 0 den Wert 0 annehmen.

* Ebenso ist aber auch
::<math>
h\colon\mathbb R \to \mathbb R,\;\;\;
x\mapsto
\begin{cases}
\mathrm e^{-\frac{1}{x^2}} & \mathrm{f\ddot ur} \quad x>0 \\
0 & \mathrm{f\ddot ur} \quad x\leq 0
\end{cases}
</math>
:unendlich oft differenzierbar. Aus lokaler Kenntnis einer unendlich oft differenzierbaren Funktion kann man also offensichtlich keine globalen Aussagen herleiten (hier gilt etwa <math>g(x)=h(x)</math> für alle positiven <math>x</math>, aber dennoch <math>g\neq h</math>).

* Der [[Schwartz-Raum]] enthält nur glatte Funktionen und ist eine echte Teilmenge der unendlich oft differenzierbaren Funktionen.

=== Anwendung ===
Diese beiden letzten Beispiele sind wichtige Hilfsmittel zur Konstruktion von Beispielen von glatten Funktionen mit besonderen Eigenschaften. Auf folgende Weise kann man eine glatte [[Zerlegung der Eins]] (hier: von <math>\mathbb R</math>) konstruieren:

* Die Funktion <math>j\colon\mathbb R \to \mathbb R,\; x\mapsto h(1+x)\cdot h(1-x)</math> ist unendlich oft differenzierbar mit kompaktem Träger <math>[-1,1]</math>.

* Die Funktion
::<math>k\colon\mathbb R \to \mathbb R,\; x\mapsto \frac{h(1+x)}{h(1+x) + h(1-x)}</math>
:ist unendlich oft differenzierbar und es gilt:
::<math>
\begin{array}{ccc}
k(x)=0 & \mathrm{f\ddot ur} & x\leq -1 \\
0<k(x)<1 & \mathrm{f\ddot ur} & -1<x<1 \\
k(x)=1 & \mathrm{f\ddot ur} & x\geq 1
\end{array}
</math>

== Topologisierung ==
Sei <math>D \subset \R^n</math> eine [[Offene Menge|offene Teilmenge]]. Auf dem Raum der glatten Funktionen <math>f\colon D \to \R</math> wird insbesondere in der [[Distributionentheorie]] eine [[Topologischer Raum|Topologie]] erklärt. Die Familie von [[Halbnorm]]en
:<math>
f \in C^\infty(D) \mapsto \sum_{|\alpha| = m} \sup_{x\in K} \left| \frac{\partial^\alpha}{\partial x^\alpha} f(x) \right|
</math>
mit <math>m \in \mathbb{N}</math> und <math>K \subset D</math> durchläuft alle Kompakta, macht den Raum der glatten Funktionen zu einem [[Lokalkonvexer Raum|lokal-konvexen Raum]]. Dieser ist [[Vollständiger Raum|vollständig]] und damit ein [[Fréchet-Raum]]. Da außerdem jede [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossene]] und [[beschränkte Menge]] [[Kompakter Raum|kompakt]] ist, ist dies sogar ein [[Montel-Raum]]. Der Raum der glatten Funktionen <math>C^\infty(D)</math> zusammen mit dieser lokal-konvexen Topologie wird meist mit <math>\mathcal{E}(D)</math> bezeichnet.

== Siehe auch ==
* [[Differentiationsklasse]]

== Literatur ==
* Otto Forster: ''Analysis 2. Differentialrechnung im R<sup>n</sup>. Gewöhnliche Differentialgleichungen.'' Vieweg-Verlag, 7. Aufl. 2006, ISBN 3-528-47231-6.

[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Mathematische Funktion]]

Glatte Funktion - Versionsgeschichte

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