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{{Dieser Artikel| behandelt physikalische Rechenmodelle im allgemeinen Sinn. Für Gittermodelle im Sinne von Moleküldarstellungen siehe [[Stäbchenmodell]].}}

'''Gittermodelle''' sind im Allgemeinen [[Mathematisches Modell|mathematische Modelle]], bei denen die [[Freiheitsgrad]]e des Systems den Elementen eines [[Gitter (Mathematik)|Gitters]], d. h. einer abzählbaren Menge von Punkten, zugeordnet sind.<ref>{{Internetquelle |url=https://www.spektrum.de/lexikon/physik/gittermodelle/5883 |titel=Lexikon der Physik: Gittermodelle |abruf=2020-01-06 |sprache=de}}</ref> Das unterscheidet sie von [[Kontinuum (Physik)|Kontinuums]]<nowiki />modellen, bei denen jedem Wert eines [[Intervall (Mathematik)|Intervalls]] Freiheitsgrade zugeordnet sind. Typische Beispiele sind die Beschreibung der [[Magnetisierung]] eines [[Festkörperphysik|Festkörpers]] durch an den als fix und periodisch angenommenen Orten der [[Atomkern]]e lokalisierte [[Spin]]s (z. B. [[Ising-Modell]]) oder der Bewegung der [[Leitungselektron]]en durch das Springen zwischen an den Orten der Atomkerne lokalisierten [[Atomorbital|Orbitalen]] ([[Hubbard-Modell]]). Das Modell dient zur [[Näherung|näherungsweisen Beschreibung]] des physikalischen Systems.

Gittermodelle kommen beispielsweise zum Einsatz, wenn Wechselwirkungen zwischen Körpern beschrieben werden, deren räumliche Freiheitsgrade derart eingeschränkt sind, dass sie sich nur an den Gitterpunkten aufhalten können, bzw. dass die darüber hinaus verbleibende Variabilität nicht zu relevanten Änderungen des zu simulierenden Systems führt.
Die Darstellung als Gittermodell kann zu einer erheblichen Vereinfachung der notwendigen Berechnungen führen.<ref>{{Literatur| Autor=G.H. Findenegg, T.Hellweg| Jahr=2015| Titel=Gittermodelle von Mischungen| Sammelwerk=Statistische Thermodynamik| Verlag=Springer Spektrum| Ort=Berlin, Heidelberg| Seiten=165-195| Online=https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-642-37872-0_9| Abruf=2020-01-10| DOI=10.1007/978-3-642-37872-0_9| ISBN=978-3-642-37871-3}}</ref>

[[Datei:LatticemodelAB.png|mini|Ein dreidimensionales Gitter, dessen Gitterplätze mit Kugeln der Sorte A oder B besetzt sind. Solch eine Situation liegt beispielsweise im [[Flory-Huggins-Modell]] vor.]]

== Beispiel ==
Zur Berechnung der [[Bandstruktur]] eines [[Kristall|kristallinen]] [[Festkörper]]s ist es notwendig, die [[Schrödingergleichung]] für den Grundzustand zu lösen. Dies ist näherungsweise unter Ausnutzung des [[Hohenberg-Kohn-Theorem]]s mit Hilfe der [[Dichtefunktionaltheorie (Quantenphysik)|Dichtefunktionaltheorie]] möglich. Dabei wird die Wellenfunktion jeweils eines 1-Elektronenzustands <math>\varphi_j(\vec{r})</math> mit der Energie <math>\epsilon_j</math> in Abhängigkeit von einem effektiven Potential <math>v_\mathrm{eff}(\vec{r})</math> durch die folgende [[Differentialgleichung]] dargestellt:
:<math>\left(-\frac{1}{2}\nabla^2+v_\mathrm{eff}(\vec{r})-\epsilon_j\right)\varphi_j(\vec{r}) = 0</math>
Diese Gleichung enthält die ortsabhängigen Größen <math>\varphi_j(\vec{r})</math> und <math>v_\mathrm{eff}(\vec{r})</math>. Zur Modellierung der gesamten Bandstruktur muss sie für alle Elektronenzustände gelöst werden. Dies erfordert ein iteratives Vorgehen, da <math>v_\mathrm{eff}(\vec{r})</math> ein [[Funktional]] der [[Spin]]- bzw. [[Ladungsdichte]] ist, welche sich wiederum aus den 1-Elektronenzuständen <math>\varphi_j(\vec{r})</math> und deren Besetzungswarscheinlichkeit, meist gemäß der [[Fermi-Verteilung]], ergibt.

Zur Betrachtung der elektronischen Struktur desselben Festkörpers in einem Gittermodell nutzt man, bspw. der [[Tight-Binding-Methode]] folgend, eine nicht exakt bestimmte [[Basis (Vektorraum)|Basis]] aus Zuständen <math>\left|\Psi_i\right\rangle</math>, die um die Gitterpositionen der Atomrümpfe lokalisiert sind und formuliert den [[Hamilton-Operator]] <math>\mathcal H</math> als Menge von Parametern <math>p_{i,j}</math>, die die Wechselwirkung zwischen den Basiszuständen <math>i</math> und <math>j</math> beschreiben:
:<math>\mathcal H:(M\subset\N)^2\mapsto\R, (i,j) \mapsto p_{i,j}</math>.
Bei dieser Betrachtung gibt es keine unmittelbar ortsabhängigen Parameter, die <math>p_{i,j}</math> sind bei genauer Betrachtung allerdings von den Basiszuständen <math>\Psi_i(\vec{r})</math> und der ortsabhängigen Elektronendichte abhängig. Für bestimmte Betrachtungen im Rahmen der [[Störungsrechnung]], wie bspw. die Berechnung von [[Phonon]]enenergien, die Beurteilung des Einflusses von [[Dotierung]]en oder [[Störstelle]]n ist das Gittermodell hinreichend genau.

Durch weitere Vereinfachung des Gittermodells auf die relevanten Parameter oder Basiszustände und analytische Untersuchungen bzgl. der Parameter lassen sich dann bestimmte Eigenschaften unabhängig vom genauen Material untersuchen.

== Weitere Gittermodelle ==
* [[Zelluläre Automaten]]
* [[Lattice-Boltzmann-Methode]]
* [[Flory-Huggins-Modell]]
* [[Isingmodell]]
* [[Potts-Modell]]
* [[Gittereichtheorie]]n
* [[Hubbard-Modell]]

== Literatur ==
* {{Literatur| Autor=H. Römer, T. Filk| Titel=Statistische Mechanik | Kapitel=8.2 Allgemeine Definitionen zu Gittermodellen| Seiten=217 ff.| Jahr=2012| JahrEA=1994| VerlagEA=VCH| OrtEA=Weinheim| Herausgeber=Universität Freiburg| Ort=Freiburg| Online=http://www.mathphys.uni-freiburg.de/physik/filk/public_html/Skripte/Texte/StatMech.pdf| ISBN=3-527-29228-4| Sprache=de| Umfang=288| Abruf=2020-01-10| Kommentar=Onlinequelle enthält redigierte Fassung}}
* {{Literatur| Autor=D. Vollhardt| Titel=Korrelierte Elektronen im Festkörper| Sammelwerk=Physik Journal| Online=http://www.physik.uni-augsburg.de/theo3/vollhardt/forschungsgebiete/downloads/2010-09-p037-vollhardt.pdf| Abruf=2020-01-10| Jahr=2010| Verlag=Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA| Ort=Weinheim| Seiten=31 ff.| Band=9| Nummer=8| Kommentar=Artikel zur Verleihung der [[Max-Planck-Medaille]]}}
== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4226961-1}}

[[Kategorie:Physik]]

Gittermodell - Versionsgeschichte

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