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2024-08-17T07:18:44Z

Einzelnachweise

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{{Quellen fehlen|1=Der Artikel ist leider derzeit komplett ohne Literaturverweise oder Quellen. --[[Benutzer:Cepheiden|Cepheiden]] ([[Benutzer Diskussion:Cepheiden|Diskussion]]) 10:48, 6. Feb. 2022 (CET)}}
[[Datei:Miller Indices Felix Kling.svg|mini|Auswahl von Gitterebenen in einem [[Würfel (Geometrie)|Würfel]]]]
Als '''Gitter-''' oder '''Netzebene''' bezeichnet man in der [[Kristallographie]] eine [[Ebene (Mathematik)|Ebene]], die durch Punkte des [[Kristallgitter]]s aufgespannt wird. Ihre Lage im Raum wird durch die [[Millersche Indizes|millerschen Indizes]] (''hkl'') beschrieben.

== Beschreibung ==
Ein Kristallgitter lässt sich beschreiben als ganzzahlige [[Linearkombination]] der [[Basisvektor]]en <math>\vec{a}_1</math>, <math>\vec{a}_2</math> und <math>\vec{a}_3</math> (Richtungen der [[Kristallachsen]] des jeweiligen [[Kristallsystem]]s). Eine Ebene diese Gitters ist festgelegt durch ihre drei Schnittpunkte mit den Kristallachsen.<ref>{{Literatur |Autor=Walter Borchardt-Ott |Titel=Kristallographie |Auflage=3 |Verlag=Springer |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=1990 |ISBN=3-540-52931-4 |Seiten=12}}</ref>

Die millerschen Indizes (''hkl'') bezeichnen die Ebene, die an den Punkten <math>\tfrac{1}{h} \vec{a}_1</math>, <math>\tfrac{1}{k} \vec{a}_2</math> und <math>\tfrac{1}{l} \vec{a}_3</math> von den Kristallachsen geschnitten wird, d. h. gerade an den [[Kehrwert]]en der einzelnen Indizes (in der Abb. besonders gut zu sehen z. B. am Fall (102) unten: Schnittpunkte (1|0|0) und (0|0|½)). Ein Index von Null bezeichnet dabei einen Schnittpunkt im Unendlichen bzw. einen effektiv nicht vorhandenen Schnittpunkt, d. h. der zugehörige Basisvektor ist [[Parallel (Geometrie)|parallel]] zur Ebene.

Senkrecht auf der durch die millerschen Indizes (''hkl'') definierten Gitterebene steht der [[Gittervektor]] <math>\vec{G} = h \vec{g}_1 + k \vec{g}_2 + l \vec{g}_3</math> des [[Reziprokes Gitter|reziproken Gitters]] mit den Basisvektoren <math>\vec{g}_1</math>, <math>\vec{g}_2</math> und <math>\vec{g}_3</math> .

=== Gitterebenenabstand ===
Eine Schar von Gitterebenen besteht aus allen parallel verlaufenden Gitterebenen mit jeweils dem Gitterebenenabstand <math>d_{\mathrm{hkl}}</math>. Dieser kann aus den millerschen Indizes und den reziproken Gittervektoren berechnet werden:

:<math>d_{\mathrm{hkl}} = \frac{2\pi}{|h \, \vec{g}_{1}
+ k \, \vec{g}_{2}
+ l \, \vec{g}_{3}|}</math>

Für Kristallsysteme mit rechtwinkligen Achsen, also [[Orthorhombisches Kristallsystem|orthorhombische]] und höher [[Symmetrie (Geometrie)|symmetrische]] Gitter ([[Tetragonales Kristallsystem|tetragonale]] und [[Kubisches Kristallsystem|kubische]] Systeme), gilt mit den [[Gitterkonstante]]n <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>:

:<math>d_{\mathrm{hkl}} = \frac{1}{\sqrt{\left(\frac{h}{a}\right)^{2}
+ \left(\frac{k}{b}\right)^{2}
+ \left(\frac{l}{c}\right)^{2}}} </math>

Dies vereinfacht sich z. B. für kubische Systeme durch Gleichsetzen von <math>a=b=c</math> weiter:

:<math>d_{\mathrm{hkl}} = \frac{a}{\sqrt{h^{2} + k^{2} + l^{2}}}</math>

== Herleitungen ==
Eine [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] (''hkl'') ist eindeutig definiert durch drei nicht auf einer Gerade liegende Punkte. Dies sind hier die Schnittpunkte mit den Kristallachsen: <math>\vec{P}_{1} = \frac{1}{h} \vec{a}_1</math>, <math>\vec{P}_{2} = \frac{1}{k} \vec{a}_2</math> und <math>\vec{P}_{3} = \frac{1}{l} \vec{a}_3</math>. Die Vorfaktoren <math>\frac{1}{h}</math>, <math>\frac{1}{k}</math>, <math>\frac{1}{l}</math> ergeben sich aus den Kehrwerten der millerschen Indizes.

Die Punkte auf der Ebene lassen sich beschreiben durch die [[Parameterform]] <math>\vec r = \vec r_0 + \lambda \vec u + \mu \vec v</math> (mit Aufpunkt und zwei Richtungsvektoren, die in der Ebene liegen und nicht [[kollinear]] sind). Liegen zwei Punkte in der Ebene, so liegt deren Verbindungsvektor ebenfalls in der Ebene. Hierüber lassen sich die Richtungsvektoren konstruieren (<math>\vec u = \vec P_1-\vec P_2</math> und <math>\vec v = \vec P_2-\vec P_3</math>). Als Aufpunkt wähle irgendeinen in der Ebene liegenden Punkt (hier <math>\vec P_1</math>):
:<math>\vec{r}=\frac{1}{h}\vec{a}_1+\lambda \left(\frac{1}{h}\vec{a}_1 - \frac{1}{k}\vec{a}_2\right) + \mu \left(\frac{1}{k}\vec{a}_2 - \frac{1}{l}\vec{a}_3\right)</math>

Bildet man das [[Skalarprodukt]] zwischen dem reziproken Gittervektor <math>\vec{G}=h\vec{g}_1 + k\vec{g}_2 + l\vec{g}_3</math> und <math>\vec{r}</math> unter Ausnutzung der Relation <math>\vec{g}_{i}\cdot\vec{a}_{j}=2\pi \delta_{ij}</math>, so ergibt sich:

:<math>\vec{G}\cdot\vec{r}=\underbrace{\frac{1}{h}\underbrace{\vec{G}\cdot\vec{a}_{1}}_{2\pi\, h}}_{=2\pi}+\lambda\underbrace{\left(\frac{1}{h}\underbrace{\vec{G}\cdot\vec{a}_{1}}_{2\pi\, h}-\frac{1}{k}\underbrace{\vec{G}\cdot\vec{a}_{2}}_{2\pi\, k}\right)}_{=0}+\mu\underbrace{\left(\frac{1}{k}\underbrace{\vec{G}\cdot\vec{a}_{2}}_{2\pi\, k}-\frac{1}{l}\underbrace{\vec{G}\cdot\vec{a}_{3}}_{2\pi\, l}\right)}_{=0}=2\pi</math>

Für einen [[Normalenvektor]] der Ebene <math>\vec{n}</math> sind die Skalarprodukte mit den Richtungsvektoren gleich Null (<math>\vec{n}\cdot\vec{u}=0</math> und <math>\vec{n}\cdot\vec{v}=0</math>). Genau das trifft auf <math>\vec{G}=h\vec{g}_1 + k\vec{g}_2 + l\vec{g}_3</math> zu, dieser steht also auf der Ebene (''hkl'') senkrecht.

Durch den Gitterpunkt am Koordinatenursprung verläuft parallel zur gerade betrachteten Ebene durch <math>P_1</math> auch eine Ebene mit den Indizes (''hkl''). Deren Abstand ist die [[Projektion (lineare Algebra)|Projektion]] eines Verbindungsvektors beider Ebenen (<math>\vec{r}-\vec{0}=\vec{r}</math>) auf den normierten Normalenvektor (<math>\vec{G}/G</math>). Dies ergibt zusammen mit obiger Rechnung den Gitterebenenabstand:

:<math>\frac{\vec{G}}{G}\cdot\vec{r}=\frac{2\pi}{|h \vec{g}_1 + k \vec{g}_2 + l \vec{g}_3|}\equiv d_{\mathrm{hkl}}</math>

Im Nenner treten bei der Betragsbildung sowohl die Längen der reziproken Gittervektoren auf (<math>\vec{g}_{i}^{\,2}=|\vec{g}_{i}|^{2}</math>) als auch die Projektionen der Gittervektoren aufeinander (<math>\vec{g}_{i}\cdot\vec{g}_{j}</math> mit <math>i\neq j</math>). Letztere sind bei nicht-orthogonalen Kristallsystemen ungleich Null:

:<math>d_{\mathrm{hkl}}=\frac{2\pi}{|h\vec{g}_{1}+k\vec{g}_{2}+l\vec{g}_{3}|}=\frac{2\pi}{\sqrt{h^{2}\vec{g}_{1}^{\,2}+k^{2}\vec{g}_{2}^{\,2}+l^{2}\vec{g}_{3}^{\,2}+2hk\,\vec{g}_{1}\cdot\vec{g}_{2}+2hl\,\vec{g}_{1}\cdot\vec{g}_{3}+2kl\,\vec{g}_{2}\cdot\vec{g}_{3}}}</math>

Ein [[orthorhombisches Kristallsystem]] ist ein rechtwinkliges Kristallsystem mit drei 90°-Winkeln, jedoch ohne gleich lange Achsen. Die Gittervektoren lauten hier ausgedrückt bzgl. der [[Basis (Vektorraum)|kanonischen Einheitsbasis]]:
:<math>\vec{a}_1=a\,\hat{e}_x</math>
:<math>\vec{a}_2=b\,\hat{e}_y</math>
:<math>\vec{a}_3=c\,\hat{e}_z</math>

Und die dazugehörigen [[Reziprokes Gitter|reziproken Gittervektoren]] sind ebenfalls orthogonal (<math>\vec{g}_{i}\cdot\vec{g}_{j}=0</math> für <math>i\neq j</math>):
:<math>\vec{g}_1=\frac{2\pi}{a}\,\hat{e}_x</math>
:<math>\vec{g}_2=\frac{2\pi}{b}\,\hat{e}_y</math>
:<math>\vec{g}_3=\frac{2\pi}{c}\,\hat{e}_z</math>

Setze diese in obige allgemeine Formel für den Gitterebenenabstand ein:
:<math>d_{\mathrm{hkl}}=\frac{2\pi}{\left|h\frac{2\pi}{a}\,\hat{e}_x + k\frac{2\pi}{b}\,\hat{e}_y + l\frac{2\pi}{c}\,\hat{e}_z\right|} = \frac{1}{\sqrt{\left(\frac{h}{a}\right)^{2}+\left(\frac{k}{b}\right)^{2}+\left(\frac{l}{c}\right)^{2}}} </math>

Das kubische Kristallsystem ist ebenfalls rechtwinklig, aber zusätzlich sind die Gitterkonstanten bezüglich jeder Kristallachse gleich <math>a=b=c</math> und die Formel vereinfacht sich weiter zu:
:<math>d_{\mathrm{hkl}}=\frac{a}{\sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}}}</math>

== Siehe auch ==

* [[Raumgitter]]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Kristallographie]]

Gitterebene - Versionsgeschichte

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