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2026-03-09T10:05:05Z

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{{Belege}}
[[Datei:Gimbal Lock Plane.gif|mini|200x200px|Gimbal lock: Wenn der Nickwinkel (grün) 90° beträgt, die Nase des Flugzeuges also nach oben weist, haben Drehungen um die Roll- (blau) und die Gierachse (violett) denselben Effekt. Eine Rotation um die Rollachse des ursprünglichen Koordinatensystems ist nicht mehr möglich.]]
'''Gimbal Lock''' ist in der [[Mechanik]] ein [[Kritischer Punkt (Mathematik)|kritischer Zustand]] einer [[Kardanische Lagerung|kardanischen Lagerung]] ({{enS|Gimbal}}). In diesem Zustand liegen zwei der möglichen drei [[Drehachse]]n parallel zueinander und das System hat dadurch einen Freiheitsgrad weniger.<ref>{{cite web|url= https://www.madsci.org/posts/archives/aug98/896993617.Eg.r.html |title= Re: What is meant by the term gimbal lock? |author= Adrian Popa |date= 1998-06-04}}</ref> Die Bezeichnung wird ebenfalls für ein [[mathematisch]]es Problem in der [[dreidimensional]]en [[Simulation]] benutzt, bei dem Drehungen bezüglich bestimmter Achsen nicht mehr mit Hilfe von Drehoperatoren für vorher festgelegte Achsen zu realisieren sind.

== Mechanische Blockade einer kardanischen Lagerung ==
Bei einer kardanischen Aufhängung wird der zu lagernde Gegenstand von drei unabhängig beweglichen Lagern gehalten, die jeweils eine Rotation um eine Achse ermöglichen. Die erste der Achsen ist raumfest, die zweite Achse ist senkrecht dazu angeordnet und kann frei um die erste Achse rotieren. Die dritte Achse ist senkrecht zur zweiten Achse angeordnet und kann frei um diese rotieren. Der zu lagernde Gegenstand kann frei um die dritte Achse rotieren.

Durch geeignete Rotation der dritten Achse um die zweite Achse lässt sich erreichen, dass die dritte und die erste Achse parallel zueinander stehen. Damit ist eine Rotation des Gegenstands um eine Achse, die senkrecht sowohl auf der ersten als auch auf der zweiten Achse steht, nicht mehr möglich. Drehungen um diese Achse sind somit ''blockiert''.

Bei mechanischen Systemen, wie der kardanischen Lagerung, ist bereits bei der Annäherung an diesen Zustand eine Einschränkung der Bewegungsfreiheit zu beobachten, da schon kleine Drehungen um die ''blockierte'' Achse erheblich größere Drehungen um die freien Achsen erfordern. Des Weiteren kommt es vor, dass eine ungenaue Positionierung bezüglich einer der beiden nahezu parallelen Achsen irrtümlich durch eine Rotation bezüglich der anderen Achse korrigiert wird. Das führt zu Ungenauigkeiten bei der Positionierung.

== Eingeschränkte Freiheitsgrade in der Navigation ==
Bei einem Flugzeug definiert man die Lage des Flugzeugs im Raum durch die [[Roll-Nick-Gier-Winkel|Roll-, Nick- und Gierwinkel]], die Drehungen des Flugzeugs durch Rotationen um die [[Längsachse|Längs-]], [[Querachse|Quer-]] und [[Gierachse|Hochachse]] kennzeichnen. In jeder Lage des Flugzeugs sind theoretisch Rotationen um alle drei Achsen möglich, das Flugzeug hat also drei unabhängige Freiheitsgrade.

Nach der Festlegung einer Referenzposition, beispielsweise als „Längs und Querachse parallel zur Horizontebene, Längsachse in Richtung Norden“, lässt sich die Lage des Flugzeugs ebenfalls durch drei voneinander unabhängiger Winkel bezüglich dieser Referenzposition eindeutig angeben:
# die Flugrichtung als der Winkel zwischen der Projektion der Längsachse des Flugzeugs auf die Horizontebene und einer Referenzrichtung in dieser Ebene
# der Steigwinkel als der Winkel zwischen der Längsachse des Flugzeugs und ihrer Projektion auf die Horizontebene
# der Rollwinkel als der Winkel zwischen der Querachse des Flugzeugs und ihrer Projektion auf die Horizontebene

Ein Gimbal Lock tritt dann auf, wenn die Projektion der Längsachse auf die Horizontebene verschwindet: Beim Flug senkrecht nach oben oder unten (Steigwinkel 90°) kann die Flugrichtung nicht beeinflusst werden, der Rollwinkel verändert sich durch Gierbewegungen (Drehungen um die Hochachse). Rollbewegungen (Drehungen um die Längsachse) wirken sich nicht auf einen der drei genannten Winkel aus. Sie verändern zwar den Winkel zwischen der Querachse des Flugzeugs und einer Referenzrichtung in der Horizontebene, dieser ist aber keiner der genannten Winkel und aus diesen auch nicht ableitbar.

== Ursache ==
Die Ursache für einen Gimbal Lock liegt darin, dass die Lage einer Drehachse von den Drehungen bezüglich der anderen beiden Drehachsen abhängig ist.

=== Mathematische Beschreibung ===
Eine Drehung in drei Dimensionen um die [[Eulerwinkel|Kardanwinkel]] <math>(\alpha, \beta, \gamma)</math> lässt sich durch die [[Drehmatrix]] <math>\mathbf R</math> darstellen. Sie lässt sich durch das Matrixprodukt von drei Matrizen darstellen, die jeweils nur von einem der Winkel abhängen.

:<math>
{\mathbf R} = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos \alpha & -\sin \alpha \\
0 & \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
\cos \beta & 0 & \sin \beta \\
0 & 1 & 0 \\
-\sin \beta & 0 & \cos \beta \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
\cos \gamma & -\sin \gamma & 0 \\
\sin \gamma & \cos \gamma & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
</math>

Ein Gimbal Lock tritt auf, wenn <math>\beta =\tfrac{\pi}{2}</math> und somit <math>\cos \beta = 0</math> und <math>\sin \beta = 1</math> werden. Dann wird <math>{\mathbf R}</math> zu:
:<math>
\begin{align}
{\mathbf R} &= \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos \alpha & -\sin \alpha \\
0 & \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
\cos \gamma & -\sin \gamma & 0 \\
\sin \gamma & \cos \gamma & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\
&= \begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 \\
\sin \alpha \cos \gamma + \cos \alpha \sin \gamma & -\sin \alpha \sin \gamma + \cos \alpha \cos \gamma & 0 \\
-\cos \alpha \cos \gamma + \sin \alpha \sin \gamma & \cos \alpha \sin \gamma + \sin \alpha \cos \gamma & 0 \end{bmatrix}\\
&= \begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 \\
\sin ( \alpha + \gamma ) & \cos (\alpha + \gamma) & 0 \\
-\cos ( \alpha + \gamma ) & \sin (\alpha + \gamma) & 0 \end{bmatrix}
\end{align}
</math>
In dieser Matrix taucht nur noch die Kombination <math>\alpha + \gamma</math> auf. Das bedeutet, dass die zwei unabhängig gewählten Winkel <math>\alpha</math> und <math>\gamma</math> zu einer Transformation führen, die nur einen Parameter hat. Die Parameter sind nicht länger unabhängig voneinander. Dadurch ist einer der Freiheitsgrade verloren gegangen.

== Problemfelder ==
In der Praxis tritt ein Gimbal Lock bei der [[Navigation]] von Schiffen (besonders [[U-Boot]]en und [[Remotely Operated Vehicle|ROVs]]), der [[Luftfahrt]] und speziell der [[Raumfahrt]] auf, sowie in allen Anwendungen von [[Kardanische Aufhängung|kardanisch aufgehängten]] Kreiseln, hauptsächlich also bei [[Kreiselkompass]]en und [[Drallrad|Stabilisierungskreiseln]] (in [[Raumfahrzeug]]en).

Dabei ist es möglich, dass beide Achsen in der gleichen Orientierung folgen oder die Achsen in der Orientierung der jeweils anderen Achse weiterlaufen. Beide Fälle liefern eine falsch dargestellte [[Fluglage]] und einen falsch dargestellten [[Kurs (Navigation)|Kurs]], was zur Folge hat, dass die nachgeschalteten Steuerungen falsch reagieren und damit zu einer Verschlechterung der Lage führen. Dies schaukelt sich in der Raumfahrt zum unkontrollierten Taumeln auf. Beim [[Gemini-Programm]] wurde beispielsweise mit einem Kreiselkompass gearbeitet, der eine vierte Achse zum Gegensteuern hatte. Beim Kompass für [[Apollo (Raumschiff)|Apollo-Raumschiffe]] wurde darauf verzichtet, im [[Space Shuttle]] ist die vierte Achse wieder eingebaut worden.<ref>{{cite web|url=https://science.howstuffworks.com/gimbal.htm|title=What is a gimbal -- and what does it have to do with NASA?|author=Jonathan Strickland|year=2008}}</ref>

Der ''[[Apollo Guidance Computer]]'', der gegenüber dem [[Gemini Digital Computer|''Gemini Guidance Computer'']] wesentlich verbessert wurde, hatte im Anzeige- und Bedienteil eine Warnlampe für einen drohenden Gimbal Lock ab einer um 70° veränderten Achslage.

== Auflösung ==
* Bei mechanischen Lagerungen lässt sich das Problem durch Hinzufügen eines weiteren Lagers lösen. Im unkritischen Zustand ist die Bewegungsfreiheit bezüglich dieses Lagers redundant zu der bezüglich der drei bereits vorhandenen Lagerungen.
* Alternativ kann man das Problem abmildern, indem die Lage der Achsen bei Annäherung an den ''blockierten'' Zustand durch [[Stellmotor]]en verändert und somit die Blockade vermieden wird.
* [[Trägheitsnavigationssystem|Trägheitsnavigationssensoren]] verwenden drei voneinander unabhängige Lagesensoren (und drei Drehratensensoren), damit dieses Problem nicht auftritt. Die Daten werden dann elektronisch verrechnet.<ref>{{cite web|url=http://xenia.media.mit.edu/~verp/projects/smartpen/node8.html#SECTION00322000000000000000|title=Overview of Pen Design and Navigation Background|author=Chris Verplaetse|year=1995|url-status=dead|archiveurl=https://web.archive.org/web/20090214023126/http://xenia.media.mit.edu/~verp/projects/smartpen/node8.html#SECTION00322000000000000000|archivedate=2009-02-14|df=}}</ref>
* In [[Computermodell]]en, beispielsweise bei [[dreidimensional]]en [[Simulation]]en oder einigen [[Computerspiel]]en, lässt sich das Problem durch die Verwendung von [[Quaternion]]en umgehen. Eine weitere Lösung kann durch Umrechnung der globalen Orientierungen in lokale Koordinatensysteme erfolgen, gerade wenn Quaternionen nicht hilfreich sind.

== Weblinks ==
* [https://www.hq.nasa.gov/office/pao/History/alsj/gimbals.html NASA-Seite]
* {{Internetquelle|url=http://www.grundstudium.info/animation/node16.php#SECTION00046300000000000000 |titel=Gimbal Lock|archiv-url=https://web.archive.org/web/20150511001458/http://www.grundstudium.info/animation/node16.php#SECTION00046300000000000000|abruf=2026-03-09|abruf-verborgen=ja}}
* [https://www.youtube.com/watch?v=zc8b2Jo7mno Erläuterung zum Gimbal Lock bei Youtube] (Video, engl.)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Technische Mechanik]]
[[Kategorie:Luftfahrttechnik]]
[[Kategorie:Raumfahrttechnik]]
[[Kategorie:Navigation]]

Gimbal Lock - Versionsgeschichte

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