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2024-12-06T12:07:20Z

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'''Gibbs-Sampling''', auch ''Gibbs-Stichprobenentnahme'', ist ein [[Markov Chain Monte Carlo|Markov-Chain-Monte-Carlo]]-[[Algorithmus]], um eine Folge von [[Stichprobe]]n der gemeinsamen [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] zweier oder mehrerer [[Zufallsvariable]]n zu erzeugen. Das Ziel ist es dabei, die unbekannte [[Gemeinsame Verteilung von Zufallsvariablen|gemeinsame Verteilung]] zu approximieren. Der Algorithmus ist aufgrund der Ähnlichkeit des Sampling-Verfahrens mit Methoden der [[Statistische Physik|statistischen Physik]] nach dem [[Physik]]er [[Josiah Willard Gibbs]] benannt. Entwickelt wurde er von [[Stuart Geman]] und [[Donald Geman]] (siehe Literaturhinweis). Gibbs-Sampling ist ein Spezialfall des [[Metropolisalgorithmus|Metropolis-Hastings-Algorithmus]].

== Definition ==
Gibbs-Sampling eignet sich besonders dann, wenn die gemeinsame Verteilung eines [[Zufallsvektor]]s unbekannt, jedoch die [[bedingte Verteilung]] einer jeden [[Zufallsvariable]] bekannt ist. Das Grundprinzip besteht darin, wiederholend eine Variable auszuwählen und gemäß ihrer bedingten Verteilung einen Wert in Abhängigkeit von den Werten der anderen Variablen zu erzeugen. Die Werte der anderen Variablen bleiben in diesem [[Iteration]]sschritt unverändert. Aus der entstehenden Folge von Stichprobenvektoren lässt sich eine [[Markow-Kette]] herleiten. Es kann gezeigt werden, dass die [[stationäre Verteilung]] dieser Markow-Kette gerade die gesuchte gemeinsame Verteilung des Zufallsvektors ist.

== Anwendung ==
Ein besonders günstiger Anwendungsfall ergibt sich im Zusammenhang mit [[Bayessches Netz|Bayes’schen Netzen]], insbesondere beim Schätzen der [[A-posteriori-Verteilung]], da die übliche Repräsentation eines Bayes’schen Netzes ein System von bedingten Verteilungen ist.

== Literatur ==
* Stuart Geman und Donald Geman: ''Stochastic Relaxation, Gibbs Distributions, and the Bayesian Restoration of Images.'' In: ''IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence'', 6:721-741, 1984.
* C.P. Robert and G. Casella: ''Monte Carlo Statistical Methods.'' Springer, New York 2004.
* Michael S. Johannes und Nick Polson: ''MCMC Methods for Continuous-Time Financial Econometrics.'' (December 22, 2003). Available at SSRN: [http://ssrn.com/abstract=480461 http://ssrn.com/abstract=480461]

== Weblinks ==
* [http://www.mathematik.uni-ulm.de/stochastik/lehre/ss03/markov/skript/node35.html Vorlesungsskript der Universität Ulm zum Gibbs-Sampler]

[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:Algorithmus]]
[[Kategorie:Stichprobentheorie]]
[[Kategorie:Josiah Willard Gibbs als Namensgeber]]

Gibbs-Sampling - Versionsgeschichte

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