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2023-01-16T19:35:28Z

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[[Datei:StretchedExponentialFunction.png|miniatur|Gestreckte Exponentialfunktion <math>\beta=\mbox{2/5}=0{,}4</math> (blau); gewöhnliche Exponentialfunktion mit <math>\beta=1</math> (schwarz); gestauchte Exponentialfunktion mit <math>\beta=\mbox{5/2}=2{,}5</math> (rot).]]
Die als '''gestreckte Exponentialfunktion''' bezeichnete [[Mathematik|mathematische]] [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] ist eine Verallgemeinerung der [[Exponentialfunktion]] mit einem zusätzlichen [[Parameter (Mathematik)|Parameter]] <math>\beta>0</math> im [[Potenz (Mathematik)|Exponent]]en:

:<math>\phi(t) = e^{-\left( t /\tau \right)^\beta }</math>

oder, mit <math>\alpha=\tau^{-\beta}</math>:

:<math>\phi(t) = e^{-\alpha\,t^\beta }</math>.

In den meisten Anwendungen ist <math>\beta<1</math>, was mit der namensgebenden Streckung einhergeht: Die Funktion fällt langsamer ab als die gewöhnliche Exponentialfunktion mit <math>\beta=1</math>. Für <math>\beta>1</math> erhält man die ''gestauchte Exponentialfunktion'', für <math>\beta=2</math> die [[Gaußfunktion]]. Anwendung ist unter anderem die [[Weibull-Verteilung]].

Die gestreckte Exponentialfunktion wurde 1854 von [[Rudolf Kohlrausch]] eingeführt, um die [[Relaxation (Naturwissenschaft)|Relaxation]] der elektrischen [[Polarisation (Elektrizität)|Polarisation]] eines Kondensators mit Glas[[dielektrikum]] zu beschreiben.<ref>R. Kohlrausch: ''Theorie des elektrischen Rückstandes in der Leidner Flasche.'' In: ''Annalen der Physik und Chemie'' Bd. 91, 1854, S. 56–82, 179–214; [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k15176w.image.f68.pagination online (S. 56–82)] [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k15176w.image.f195.pagination online (S. 179–214)].</ref>

Die gestreckte Exponentialfunktion wird auch als ''Kohlrausch-Funktion'' oder ''Kohlrausch-Williams-Watts-Funktion'', nach [[Graham Williams]] und [[David C. Watts]] bezeichnet, die diese 1970 wieder entdeckten.<ref name=":0">G. Williams, D. C. Watts: ''Non-Symmetrical Dielectric Relaxation Behaviour Arising from a Simple Empirical Decay Function.'' In: ''Transactions of the Faraday Society'' Bd. 66, 1970, S. 80–85; {{DOI|10.1039/TF9706600080}}</ref>

In der [[Physik]] wird die gestreckte Exponentialfunktion oft zur Beschreibung von [[Relaxation (Naturwissenschaft)|Relaxationsprozessen]] in ungeordneten Materialien (z. B. [[glas]]<nowiki/>bildende Flüssigkeiten und [[Amorphes Material|amorphe]] [[Polymer]]e) benutzt.<ref name=":0" /><ref>{{Literatur |Autor=Peter Lunkenheimer, Ulrich Schneider, Robert Brand, Alois Loidl |Titel=Glassy dynamics |Sammelwerk=Contemporary Physics |Band=41 |Nummer=1 |Datum=2000 |DOI=10.1080/001075100181259 |Seiten=15-36}}</ref>

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Mathematische Funktion]]

Gestreckte Exponentialfunktion - Versionsgeschichte

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