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2022-11-09T13:59:14Z

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Ein '''gestoppter Prozess''' ist in der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]] ein spezieller [[stochastischer Prozess]], der zu einem gewissen zufälligen Zeitpunkt angehalten wird. Formal geschieht dies durch eine [[Stoppzeit]]. Gestoppte Prozesse werden beispielsweise bei der Untersuchung von Spielabbruchstrategien verwendet. Dort entspricht das Stoppen des Prozesses dem Spielabbruch. Eine theoretischere Anwendung finden gestoppte Prozesse bei der [[Lokalisierung (Stochastik)|Lokalisierung]] von Prozessklassen, durch die beispielsweise die [[Martingale]] um die [[Lokales Martingal|lokalen Martingale]] erweitert werden.

== Definition ==
Gegeben sei ein stochastischer Prozess <math> X=(X_t)_{t \in T} </math> mit höchstens abzählbarer Indexmenge <math> T </math> und eine [[Stoppzeit]] <math> \tau </math> mit Werten in <math> T </math>. Dann heißt der Prozess
:<math> X^\tau:=(X_{t \wedge \tau})_{t \in T}= (X_{\min(t, \tau )})_{t \in T} </math>

der gestoppte Prozess bezüglich <math> \tau </math>. Dabei ist
:<math> X_{\min(t, \tau)} \colon \omega \mapsto X_{\min(t, \tau(\omega))}(\omega) =\begin{cases}X_t(\omega) & \text{wenn }\tau(\omega) > t,\\
X_{\tau(\omega)}(\omega) & \text{wenn } \tau(\omega) \leq t. \end{cases}</math>

Rein formell wird der Prozess also nicht angehalten, sondern er verändert seinen Wert nach dem Zeitpunkt <math> \tau </math> nicht mehr.

== Erläuterung ==
Ist ein stochastischer Prozess <math> (X_n)_{n \in \N} </math> gegeben, so entsteht der gestoppte Prozess wie folgt:
* Es ist <math> X_0=X_0^\tau </math>, da im nullten Zeitschritt ein Anhalten des Prozesses keinen Unterschied macht.
* Im ersten Zeitschritt bleibt der Prozess auf der Menge <math> \{\tau=0\} </math> angehalten, verhält sich ansonsten aber wie der ursprüngliche Prozess, es ist also
:<math> X^\tau_1= X_1 \mathbf 1_{\{\tau\geq 1\}} + X_0 \mathbf 1_{\{\tau=0\}} </math>.
* Im zweiten Zeitschritt bleibt der gestoppte Prozess auf der Menge <math> \{\tau=0\} </math> weiterhin unverändert, wird aber zusätzlich noch auf der Menge <math> \{\tau=1\} </math> angehalten. Somit ist
:<math> X^\tau_2= X_2 \mathbf 1_{\{\tau\geq 2\}} +X_1 \mathbf 1_{\{\tau=1\}}+ X_0 \mathbf 1_{\{\tau=0\}} </math>.
* Somit ist die n-te Zufallsvariable im gestoppten Prozess gegeben durch
:<math> X^\tau_n= X_n \mathbf 1_{\{\tau\geq n\}} +\sum_{i=0}^{n-1} X_i \mathbf 1_{\{\tau=i\}}</math>.

Betrachtet man einen gestoppten Prozess nur auf der Menge <math>\{ \tau = k \}</math> für ein <math> k \in \N </math>, so verhält er sich auf dieser Menge bis zum k-ten Schritt wie der eigentliche Prozess und verändert danach seine Werte nicht mehr.

== Bemerkung ==
Der gestoppte Prozess <math> X^\tau </math> sollte nicht mit der „gesampelten“ Zufallsvariable
:<math> X_\tau = \sum_{n=0}^\infty \mathbf 1_{ \{ \tau = n \}} X_{n} </math>

eines stochastischen Prozesses <math> (X_n)_{n \in \N} </math> verwechselt werden, insbesondere da die Notation in der Literatur nicht eindeutig ist.

== Aussagen über gestoppte Prozesse ==
Zu den wichtigsten Aussagen über gestoppte Prozesse gehören das [[Optional Stopping Theorem]] und das [[Optional Sampling Theorem]]. Sie untersuchen, wie sich gestoppte (Sub-/Super-)[[Martingal]]e verhalten und welche Aussagen man über die Erwartungswerte der gestoppten Prozesse treffen kann.

== Literatur ==
*{{Literatur|Autor=Achim Klenke|Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie|Auflage=3.|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2013|ISBN=978-3-642-36017-6 |DOI=10.1007/978-3-642-36018-3}}
*{{Literatur|Autor=David Meintrup, Stefan Schäffler|Titel=Stochastik|TitelErg=Theorie und Anwendungen|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg New York|Jahr=2005|ISBN=978-3-540-21676-6|DOI=10.1007/b137972}}
*{{Literatur|Autor=Norbert Kusolitsch|Titel=Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie|TitelErg=Eine Einführung|Auflage=2., überarbeitete und erweiterte|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2014|ISBN=978-3-642-45386-1|DOI=10.1007/978-3-642-45387-8}}

[[Kategorie:Stochastischer Prozess]]

Gestoppter Prozess - Versionsgeschichte

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