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2026-03-19T05:55:49Z

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Als '''Gesetz der Nachfrage''' ({{enS|''law of demand''}}) bezeichnet man in der [[Volkswirtschaftslehre]] ein häufig benutztes [[Theorem]], das in der einfachsten Version besagt, dass die [[Nachfrage]] nach einem [[Normales Gut|normalen Gut]] abnimmt, wenn sich sein [[Preis (Wirtschaft)|Preis]] erhöht. Dabei bezeichnet man ein Gut als „normal“, wenn eine Erhöhung des [[Einkommen]]s dazu führt, dass mehr von dem Gut nachgefragt wird. Pendant ist das [[Gesetz des Angebots]].

== Allgemeines ==
Außerhalb der [[Rechtswissenschaft]] (formales [[Gesetz]]) spricht man in den [[Wissenschaft]]en von einem Gesetz, wenn aus einer [[Theorie]] orts- und zeitunabhängig allgemeingültige Aussagen abgeleitet werden, die weltweit gelten (''Gesetzmäßigkeiten''). Das Gesetz der Nachfrage wurde aus [[empirisch]]en [[Beobachtung]]en und logischen Ableitungen entwickelt und mündet in dem [[Grundsatz]], dass im Regelfall bei einem niedrigen Preis eines Gutes unter sonst gleichen Bedingungen eine größere und bei einem hohen Preis eine kleinere Menge nachgefragt wird.<ref>[https://www.google.de/books/edition/Management/XQMCy2USTlsC?hl=de&gbpv=1&dq=Gesetz+der+Nachfrage&pg=PA224&printsec=frontcover Wolfgang J. Koschnick, ''Management'', 1996, S. 224]</ref> Dabei ist es ohne Bedeutung, ob das [[Konsumverhalten]] der [[Verbraucher]] [[Rationalität|rationalen]] oder [[irrational]]en Überlegungen folgt, weil das für die Nachfrage verfügbare [[Einkommen]] begrenzt ist.

== Formale Definition und Herleitung ==
=== Theorem ===
Sei <math>x_{i}(\mathbf{p},y)</math> die [[Marshallsche Nachfrage]] nach einem Gut <math>i</math> in Abhängigkeit von einem Preisvektor <math>\mathbf{p}=(p_1,\ldots,p_n)</math> und dem individuellen Einkommen <math>y</math>. (Die marshallsche Nachfrage resultiert aus dem Nutzenmaximierungsproblem des Haushalts und gibt die Gütermenge – in Abhängigkeit von den Güterpreisen – an, die erforderlich ist, um mit einem gegebenen Einkommen <math>y</math> ein möglichst hohes Nutzenniveau zu erreichen.)

{{Kasten|''Gesetz der Nachfrage<ref>Hal Varian, ''Intermediate Microeconomics. A Modern Approach''. 8. Aufl., 2010, S. 147; Geoffrey A. Jehle/Philip J. Reny, ''Advanced Microeconomic Theory''. 3. Aufl., 2011, S. 56.</ref>:'' Sei ''i'' ein normales Gut, das heißt sei <math>\partial x_{i}(\mathbf{p},y)/\partial y>0</math>, dann gilt:
:<math>\frac{\partial x_{i}(\mathbf{p},y)}{\partial p_{i}}<0</math>
}}

=== Beweis ===
Das Theorem folgt direkt aus der Slutsky-Gleichung, wonach
:<math>\underbrace{\frac{\partial x_{i}(\mathbf{p},y)}{\partial p_{j}}}_{\mathrm{Gesamteffekt}}=\underbrace{\frac{\partial x_{i}^{h}(\mathbf{p},\overline{u})}{\partial p_{j}}}_{\mathrm{Substitutionseffekt}}\underbrace{-x_{j}(\mathbf{p},y)\frac{\partial x_{i}(\mathbf{p},y)}{\partial y}}_{\mathrm{Einkommenseffekt}}</math>

(Für eine Erläuterung wird auf den Artikel ''[[Slutsky-Gleichung]]'' verwiesen.) Im Eigenpreisfall ''i=j'' geht aus dieser unmittelbar hervor, dass der [[Einkommenseffekt]] negativ ist (gemäß der Annahme von Normalität). Der [[Substitutionseffekt]] ist jedoch ebenfalls negativ, da die [[Hicks’sche Nachfragefunktion|Hicks’sche Nachfrage]] nach einem Gut stets im Preis dieses Gutes fällt. Dies folgt aus [[Shephards Lemma]]<ref>Vgl. nur Geoffrey A. Jehle/Philip J. Reny, ''Advanced Microeconomic Theory''. 3. Aufl., 2011, S. 53–56.</ref>: Wegen <math>x_{i}^{h}(\mathbf{p},\overline{u})=\partial e(\mathbf{p},\overline{u})/\partial p_{i}</math> auch <math>\partial x_{i}^{h}(\mathbf{p},\overline{u})/\partial p_{i}=\partial^{2}e(\mathbf{p},\overline{u})/\partial p_{i}^{2}</math>. Da die [[Ausgabenfunktion]] <math>e</math> aber konkav ist, ist diese partielle Ableitung <math>\leq0</math>.

Folglich ist der Gesamteffekt ebenfalls negativ, was zu zeigen war.

== Gesetz der kompensierten Nachfrage ==
=== Definition ===
{{Kasten|''Gesetz der kompensierten Nachfrage<ref>Richard Cornes, ''Duality and modern economics'', 1992, S. 64 f.; Andreu Mas-Colell/Michael Whinston/Jerry Green, ''Microeconomic Theory'', 1995, S. 28–30.</ref>:'' Betrachte zwei beliebige Preistupel <math>\mathbf{p}^{0}=\left(p_{1}^{0},\ldots,p_{n}^{0}\right)</math> und <math>\mathbf{p}^{1}=\left(p_{1}^{1},\ldots,p_{n}^{1}\right)</math>, wobei <math>\mathbf{p}^{1}</math> aus <math>\mathbf{p}^{0}</math> durch eine Slutsky-kompensierte Preisänderung hervorgegangen ist. Dann erfüllt die marshallsche Nachfragefunktion <math>\mathbf{x}(\mathbf{p},y)</math> das Gesetz der kompensierten Nachfrage genau dann, wenn gilt:
:<math>\left(\mathbf{p}^{1}-\mathbf{p}^{0}\right)\cdot\left(\mathbf{x}^{1}-\mathbf{x}^{0}\right)\leq0</math>.}}

=== Zusammenhang zur Theorie offenbarter Präferenzen ===
==== Vorüberlegung ====
Man überlege sich, dass in der Ausgangssituation ein Nachfrager gegeben die Güterpreise <math>\mathbf{p}^{0}=\left(p_{1}^{0},\ldots,p_{n}^{0}\right)</math> und das Haushaltseinkommen <math>y^0</math> ein optimales Güterbündel <math>\mathbf{q}^{0}=\left(q_{1}^{0},\ldots,q_{n}^{0}\right)</math> wählt. Nun falle der Preis von Gut ''i'' von <math>p_{i}^{0}</math> auf <math>p_{i}^{1}</math>, woraus ein neues Preistupel <math>\mathbf{p}^{1}</math> resultiert. Zur gleichen Zeit modifiziert ein allwissender Planer das Haushaltseinkommen so, dass für den Haushalt das beste vor der Preisänderung erreichbare Güterbündel, <math>\mathbf{q}^{0}</math>, auch nach der Preissenkung gerade noch so bezahlbar ist (Slutsky-Kompensation).

Annahmegemäß ist der Nutzen aus <math>\mathbf{q}^{0}</math> also gleich dem aus <math>\mathbf{q}^{1}</math>. Da der Haushalt beim Preissystem <math>\mathbf{p}^{0}</math> das Güterbündel <math>\mathbf{q}^{0}</math> und nicht <math>\mathbf{q}^{1}</math> gewählt hat, muss bei Gültigkeit des schwachen Axioms offenbarter Präferenzen ''(weak axiom of revealed preferences – WARP)'' das Güterbündel <math>\mathbf{q}^{1}</math> zu Preisen <math>\mathbf{p}^{0}</math> mindestens so teuer gewesen sein als <math>\mathbf{q}^{0}</math>, da es für den Haushalt sonst schon im Zeitpunkt 0 strikt besser gewesen wäre, <math>\mathbf{q}^{1}</math> zu wählen.<ref>Die nachfolgende Darstellung der Herleitung folgt Cornes 1992, S. 64.</ref> Formal:
:1) <math>\mathbf{p}^{0}\cdot\mathbf{q}^{0}\leq\mathbf{p}^{0}\cdot\mathbf{q}^{1}</math>.

Umgekehrt lässt sich mittels WARP auch analog einsehen, dass beim Preissystem <math>\mathbf{p}^{1}</math> der Haushalt wenigstens einen schwachen Anreiz haben muss, das Güterbündel <math>\mathbf{q}^{1}</math> dem Bündel <math>\mathbf{q}^{0}</math> vorzuziehen – sonst hätte er nicht <math>\mathbf{q}^{1}</math> gewählt. Das Güterbündel <math>\mathbf{q}^{1}</math> kann also zu Preisen <math>\mathbf{p}^{1}</math> nicht teurer sein als das Bündel <math>\mathbf{q}^{0}</math>, das heißt
:2) <math>\mathbf{p}^{1}\cdot\mathbf{q}^{1}\leq\mathbf{p}^{1}\cdot\mathbf{q}^{0}</math>.

Addieren von 1) und 2) liefert nun sofort
:<math>\mathbf{p}^{0}\cdot\mathbf{q}^{0}+\mathbf{p}^{1}\cdot\mathbf{q}^{1}\leq\mathbf{p}^{0}\cdot\mathbf{q}^{1}+\mathbf{p}^{1}\cdot\mathbf{q}^{0}\quad\Leftrightarrow\quad\left(\mathbf{p}^{1}-\mathbf{p}^{0}\right)\cdot\left(\mathbf{q}^{1}-\mathbf{q}^{0}\right)\leq 0</math>,

was zu zeigen war.

==== Äquivalenz zu WARP ====
In der ''Vorüberlegung'' wird gezeigt, dass das schwache Axiom offenbarter Präferenzen die Gültigkeit des Gesetzes der kompensierten Nachfrage impliziert. Es lässt sich zeigen, dass hierzu auch die Rückrichtung gilt.

{{Kasten|''Äquivalenz von WARP und dem Gesetz der kompensierten Nachfrage<ref>Vgl., auch zum Beweis, Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 30 f.</ref>:'' Sei die Marshallsche Nachfragefunktion <math>\mathbf{x}(\mathbf{p},y)</math> homogen vom Grade null und genüge sie dem [[Walras-Gesetz]]. Dann genügt <math>\mathbf{x}(\mathbf{p},y)</math> dem [[Revealed Preference|schwachen Axiom offenbarter Präferenzen]] genau dann (und nur dann), wenn das Gesetz der kompensierten Nachfrage erfüllt ist.}}

== Literatur ==
* Richard Cornes: ''Duality and modern economics.'' Cambridge University Press, Cambridge u. a. 1992, ISBN 0-521-33601-5.
* Geoffrey A. Jehle und Philip J. Reny: ''Advanced Microeconomic Theory.'' 3. Aufl. Financial Times/Prentice Hall, Harlow 2011, ISBN 978-0-273-73191-7.
* Andreu Mas-Colell, Michael Whinston und Jerry Green: ''Microeconomic Theory.'' Oxford University Press, Oxford 1995, ISBN 0-195-07340-1.
* Nolan H. Miller: ''Notes on Microeconomic Theory.'' {{Webarchiv | url=http://www.hks.harvard.edu/nhm/notes2006/firsthalf.pdf | wayback=20111215223851 | text=online}} (PDF; 1 MB), S. 65, abgerufen am 2. Januar 2015. [Hier S. 23 ff.]
* [[Hal Varian]]: ''Intermediate Microeconomics.'' A Modern Approach. 8. Aufl. W. W. Norton, New York und London 2010, ISBN 978-0-393-93424-3.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Haushaltstheorie]]
[[Kategorie:Marktpsychologie]]
[[Kategorie:Volkswirtschaftslehre]]

Gesetz der Nachfrage - Versionsgeschichte

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