imported>FareVision: /* growthexperiments-addlink-summary-summary:2|0|0 */

2025-02-05T22:43:08Z

growthexperiments-addlink-summary-summary:2|0|0

Neue Seite

Das '''Geschwindigkeitspotential''' <math>\phi</math> führt man für [[wirbelfrei]]e, zwei- und dreidimensionale [[Strömungsmechanik|Strömung]]en der [[Fluiddynamik]] ein. Mit ihm vereinfachen sich die Rechnungen und man gewinnt ein tieferes mathematisch-physikalisches Verständnis. Das Geschwindigkeitspotential der Fluiddynamik entspricht ''mathematisch'' dem [[Elektrostatik #Potential und Spannung|elektrostatischen]] bzw. dem [[Gravitationspotential]].

Dieser Artikel behandelt den ''zweidimensionalen Fall'' – der dreidimensionale ist im Artikel [[Potentialströmung]] dargestellt.

Löst man die Gleichung <math>\phi (x,y)= \text{const.}</math>, so erhält man die [[Äquipotentiallinie]]n des Strömungsfeldes.

Außerdem führt man die [[Stromfunktion]] <math>\psi</math> ein, deren anschauliche Bedeutung darin besteht, dass die Lösungen der Gleichung <math>\psi(x,y) = \text{const.}</math> die [[Stromlinie]]n des Geschwindigkeitspotentiales darstellen.

Aus dem Geschwindigkeitspotential und der Stromfunktion bildet man das '''komplexe Geschwindigkeitspotential'''.

== Grundlagen ==
Für ein wirbelfreies zweidimensionales Strömungsfeld <math>\vec u(x,y)</math> gilt, dass die [[Rotation (Mathematik)|Rotation]] gleich 0 ist:

:<math>\vec \nabla \times \vec u(x,y) = 0</math>

Ähnlich wie im Fall des elektrostatischen Potentials führt man nun das Geschwindigkeitspotential <math>\phi (x,y)</math> ein. Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] dieses Potentials ist dabei gerade das [[Strömungsfeld]]:

:<math style = "border: 1px black; border-style: solid; padding: 1em">\vec u(x,y) = \vec \nabla \phi(x,y) = \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} , \frac{\partial \phi}{\partial y} \right)</math>

Wegen <math>\vec \nabla \times \vec \nabla \phi(x,y) = 0</math> ist das Strömungsfeld automatisch wirbelfrei.

Ferner gilt für das [[Geschwindigkeitsfeld]] im Falle einer [[inkompressibles Fluid|inkompressiblen Strömung]] auch die [[Kontinuitätsgleichung]]:

:<math>\vec \nabla \cdot \vec u(x,y) = 0</math>

Setzt man darin die Definition des Geschwindigkeitspotentials ein, so sieht man, dass <math>\phi (x,y)</math> die [[Laplace-Gleichung]] (als Sonderfall der [[Poisson-Gleichung]]) erfüllt:

:<math>\vec \nabla \cdot \vec u(x,y) = \vec \nabla \cdot \vec \nabla \phi(x,y) = \Delta \phi(x,y) = 0</math>

== Die Stromfunktion ==
{{Hauptartikel| Stromfunktion}}
Das Geschwindigkeitspotential <math>\phi (x,y)</math> wurde so eingeführt, dass die Wirbelfreiheit automatisch erfüllt ist. Allerdings musste die Erfüllung der Kontinuitätsgleichung bzw. der Laplace-Gleichung explizit gefordert werden.

Nun führt man die Stromfunktion <math>\psi (x,y)</math> ein, die definiert ist durch:

:<math>\vec u = \left( \frac{\partial \psi}{\partial y},- \frac{\partial \psi}{\partial x} \right)</math>

Aus dieser Definition sieht man, dass die Kontinuitätsgleichung automatisch erfüllt ist:

:<math>\vec \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial^2 \psi}{\partial x \cdot \partial y} - \frac{\partial^2 \psi}{\partial y \cdot \partial x} = 0</math>

Die Rotationsfreiheit muss allerdings explizit gefordert werden:

:<math>\frac{\partial u_y}{\partial x} - \frac{\partial u_x}{\partial y} = \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\psi}{\partial y^2} = 0</math>

Die Stromfunktion erfüllt in wirbelfreien Strömungen ebenfalls die Laplace-Gleichung.

== Komplexes Geschwindigkeitspotential ==
Mit den Definitionen von Geschwindigkeitspotential <math>\phi</math> und Stromfunktion <math>\psi</math> ergibt sich:

:<math>u_x = \frac{\partial \phi}{\partial x} = \frac{\partial \psi}{\partial y} \quad \wedge \quad u_y = \frac{\partial \phi}{\partial y} = -\frac{\partial \psi}{\partial x}</math>

Dies ist exakt von der Form der [[Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen|Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen]] für eine [[holomorphe Funktion]], mit [[Realteil]] <math>\phi</math> und [[Imaginärteil]] <math>\psi</math>. Somit führt man das '''[[komplexe Zahlen|komplexe]] Geschwindigkeitspotential''' <math>w(z)</math> ein:

:<math>w(z) = \phi(z) + i \cdot \psi(z) \quad \textrm{mit} \quad z = x + i \cdot y</math>

Damit erfüllt das komplexe Geschwindigkeitspotential ebenfalls die Laplace-Gleichung:

:<math>\Delta w(z) = \Delta \phi(z) + i \cdot \Delta \psi(z) = 0</math>

== Literatur ==
* {{Literatur|Autor=Ralf Greve|Titel=Kontinuumsmechanik|Verlag=Springer|Jahr=2003|ISBN=3-540-00760-1}}
* {{Literatur|Autor=M. Bestehorn|Titel=Hydrodynamik und Strukturbildung|Verlag=Springer|Jahr=2006|ISBN=978-3-540-33796-6}}

[[Kategorie:Strömungsmechanik]]
[[Kategorie:Feldtheorie]]

Geschwindigkeitspotential - Versionsgeschichte

imported>FareVision: /* growthexperiments-addlink-summary-summary:2|0|0 */