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2025-06-07T13:54:05Z

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Ein '''geringter Raum''' ist ein Konstrukt aus den mathematischen Teilgebieten der [[Algebraische Geometrie|algebraischen Geometrie]] und der [[Funktionentheorie]]. Ein geringter Raum besteht aus einem [[Topologischer Raum|topologischen Raum]] und einer Menge [[kommutativer Ring]]e, deren Elemente man als Funktionen auf den [[Offene Menge|offenen Mengen]] des Raumes verstehen kann.

== Definition ==
[[Datei:GeringterRaum.png|250px|mini|Zur nebenstehenden Definition]]
Ein geringter Raum ist ein topologischer Raum <math>X</math> zusammen mit einer [[Garbe (Mathematik)|Garbe]] <math>\mathcal{O}</math> kommutativer Ringe auf <math>X</math>, das heißt:<ref>I. G. MacDonald: ''Algebraic Geometry, Introduction to Schemes'', W. A. Benjamin Inc. (1968), Kapitel 4: "Presheaves and Sheaves", Absatz "Ringed Spaces"</ref><ref>Ina Kersten: ''Lineare Algebraische Gruppen'', Verlag: Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek (2007), ISBN 3-940344-05-2, Kapitel 2.12: "Geringte Räme"</ref>
* Für jede offene Menge <math>U\subset X</math> ist ein Ring <math>\mathcal{O}(U)</math> gegeben, den man auch als <math>\Gamma(U,\mathcal{O})</math> schreibt.
* Sind <math>U\supset V</math> offene Teilmengen von <math>X</math>, so gibt es einen Ringhomomorphismus <math>r_{U,V}:\mathcal{O}(U)\rightarrow \mathcal{O}(V)</math>, so dass
** Für offene Mengen <math>U\supset V \supset W</math> gilt <math>r_{U,W}=r_{V,W}\circ r_{U,V}</math>,
** Für jede offene Menge <math>U\subset X</math> gilt <math>r_{U,U} = \mathrm{id}_{\mathcal{O}(U)}</math>,
* und <math>(X,\mathcal{O})</math> erfüllt die Garbenbedingungen: Für jede offene Menge <math>U\subset X</math> und jede [[offene Überdeckung]] <math>(U_i)_{i\in I}</math> von <math>U</math>, das heißt <math>U=\textstyle \bigcup_{i\in I}U_i</math>, und für Elemente <math>s_i\in \mathcal{O}(U_i)</math> mit <math>r_{U_i,U_i\cap U_j}(s_i) = r_{U_j,U_i\cap U_j}(s_j)</math> für alle <math>i,j\in I</math> gibt es genau ein <math>s \in \mathcal{O}(U)</math> mit <math>r_{U,U_i}(s) = s_i</math> für alle <math>i\in I</math>.

Die Homomorphismen <math>r_{U,V}</math> nennt man Restriktionen, da es sich in vielen Anwendungen tatsächlich um Einschränkungen von Abbildungen handelt, wie in den untenstehenden Beispielen klar werden wird. Sind die Garbenbedingungen nicht erfüllt, so liegt nur eine [[Prägarbe]] von Ringen vor.

Die Garbe <math>\mathcal{O}</math> heißt '''Strukturgarbe''' des geringten Raums. Hat man es mit mehreren geringten Räumen zu tun, so kann man zur besseren Unterscheidung <math>\mathcal{O}_X</math> schreiben, um die Zugehörigkeit zum topologischen Raum deutlich zu machen.

Man kann obige Definition auf eine [[Basis (Topologie)|topologische Basis]] einschränken, indem die Ringe <math>\mathcal{O}(U)</math> und Restriktionen <math>r_{U,V}</math> nur für offene Mengen aus der topologischen Basis erklärt und obige Bedingungen nur für Basismengen gefordert werden. Man erhält daraus einen geringten Raum im Sinne obiger Definition, indem man für beliebige offene Mengen <math>U\subset X</math> den Ring <math>\mathcal{O}(U)</math> als [[Limes (Kategorientheorie)|projektiven Limes]] der <math>\mathcal{O}(V)</math> mit <math>V\subset U</math> und <math>V</math> aus der gegebenen topologischen Basis definiert.

Sind alle auftretenden [[Halm (Mathematik)#Halme und Keime|Halme]] <math>\mathcal{O}_{X,x}</math> [[Lokaler Ring|lokal]], so spricht man von einem '''lokal geringten Raum'''. Dieser Fall ist in der algebraischen Geometrie von großer Bedeutung, wie in den Beispielen gezeigt wird.

== Beispiele ==
* Es sei <math>X</math> ein topologischer Raum und für jede offene Menge <math>U\subset X</math> sei <math>\mathcal{O}(U)</math> der Ring der stetigen Funktionen <math>U\rightarrow \mathbb{K}</math> sowie <math>r_{U,V}</math> die Einschränkungsabbildung <math>\mathcal{O}(U) \rightarrow \mathcal{O}(V),\, f\mapsto f|_V</math>. Dann ist <math>(X,\mathcal{O})</math> ein geringter Raum, man nennt ihn die Garbe der [[Keim (Mathematik)|Keime]] stetiger Funktionen.
* Ein wichtiges Beispiel aus der algebraischen Geometrie ist der wie folgt definierte lokal geringte Raum über dem [[Spektrum eines Ringes|Spektrum]] <math>\mathrm{Spec}\, R</math> eines Ringes <math>R</math>.
**Die Mengen <math>D(f):= \{\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}\, R; f\notin \mathfrak{p}\}</math> bilden eine topologische Basis von <math>\mathrm{Spec}\, R</math>, wobei <math>f</math> die nicht nilpotenten Elemente durchläuft; für [[Nilpotentes Element|nilpotente Elemente]] ist <math>D(f) = \emptyset</math>.
**<math>\mathcal{O}_{\mathrm{Spec}\, R}(D(f)) := R_f</math> sei die [[Lokalisierung (Algebra)|Lokalisierung]] nach <math>f</math>.
**Ist <math>D(f)\supset D(g)</math>, so gibt es ein <math>s\in R</math> mit <math>g^n=sf</math> für ein <math>\textstyle n\in \N^{>0}</math>. Dann ist <math>\textstyle r_{D(f),D(g)}(\frac{h}{f^m}) := \frac{hs^m}{g^{mn}}</math> wohldefiniert, und erfüllt die Bedingungen eines geringten Raumes.<ref>I. G. MacDonald: ''Algebraic Geometry, Introduction to Schemes'', W. A. Benjamin Inc. (1968), Kapitel 5: "Affine Schemes"</ref>
:Diesen geringten Raum nennt man ein affines Schema. Da die Ringe <math>\mathcal{O}_{\mathrm{Spec}\, R,\mathfrak{p}}=R_{\mathfrak{p}}</math> lokal sind, liegt ein lokal geringter Raum vor.
*Geringte Räume spielen auch in der [[Holomorphie#Holomorphie mehrerer Veränderlicher|Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher]] eine wichtige Rolle. Ist <math>X\subset \Complex^n</math> ein [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]], so definiert man <math>\mathcal{O}(U)</math> als den Ring der [[Holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>U\rightarrow \Complex</math>. Im unten angegebenen Lehrbuch<ref>R. Gunning, H. Rossi: ''Analytic functions of several complex variables''. Prentice-Hall 1965, Kapitel V, Absatz A, Definition 1</ref> verlangen die Autoren von einem geringten Raum <math>(X,\mathcal{O})</math> zusätzlich, dass <math>X</math> [[Hausdorffraum|hausdorffsch]] ist und <math>\mathcal{O}</math> in der Garbe der Keime stetiger Funktionen enthalten ist. Dort wird der Begriff des geringten Raumes also enger gefasst, ebenso in der Theorie der [[Riemannsche Fläche|riemannschen Flächen]].<ref>Klaus Lamotke: ''Riemannsche Flächen'', Springer-Verlag (2009), ISBN 3-642-01710-X, Kapitel 4.4.2: "Garben"</ref>

== Einschränkungen ==
Ist <math>(X,\mathcal{O}_X)</math> ein geringter Raum und <math>Y\subset X</math> offen, so erhält man einen geringten Raum <math>(Y,\mathcal{O}_Y)</math>, wenn man für jede offene Menge <math>U</math> (einer topologischen Basis) von <math>Y</math> festlegt, dass <math>\mathcal{O}_Y(U):= \mathcal{O}_X(U)</math>, denn <math>U</math> ist ja auch eine offene Menge von <math>X</math>. Man nennt <math>(Y,\mathcal{O}_Y)</math> die Einschränkung von <math>(X,\mathcal{O}_X)</math> auf <math>Y</math>.

== Morphismen zwischen geringten Räumen ==
[[Datei:MorphismusGeringterRäume.png|400px|mini|Zur Definition des Morphismus geringter Räume]]
Ein Morphismus zwischen geringten Räumen <math>(X,\mathcal{O}_X)</math> und <math>(Y,\mathcal{O}_Y)</math> ist ein Paar <math>(f, \varphi)</math> bestehend aus einer stetigen Abbildung <math>f:X\rightarrow Y</math> und einer Familie <math>\varphi = (\varphi_V)_V</math>, wobei jedes <math>\varphi_V: \mathcal{O}_Y(V) \rightarrow \mathcal{O}_X(f^{-1}(V))</math> ein Ringhomomorphismus ist und für offene Mengen <math>V\supset W</math> in <math>Y</math> das Diagramm

<div class="center"><math>
\begin{array}{ccc}
\mathcal{O}_Y(V) & \stackrel{\varphi_V}{\longrightarrow} & \mathcal{O}_X(f^{-1}(V))\\
\downarrow r_{V,W} & &\downarrow r_{f^{-1}(V),f^{-1}(W)} \\
\mathcal{O}_Y(W) & \stackrel{\varphi_W}{\longrightarrow} & \mathcal{O}_X(f^{-1}(W))
\end{array}
</math></div>

kommutativ ist, wobei die Restriktionen in beiden Garben mit <math>r</math> bezeichnet sind. Man sagt dafür kurz, dass die Ringhomomorphismen <math>\varphi_V</math> mit den Restriktionen verträglich sind.<ref>I. G. MacDonald: ''Algebraic Geometry, Introduction to Schemes'', W. A. Benjamin Inc. (1968), Kapitel 4: "Affine Schemes", Absatz "Ringed Spaces"</ref>

In der Kategorie der lokal geringten Räume verlangt man zusätzlich, dass die Ringhomomorphismen <math>\varphi_x\colon \mathcal{O}_{Y,f(x)}\to\mathcal{O}_{X,x}</math> lokal sind, das heißt das maximale Ideal von <math>\mathcal{O}_{Y,f(x)}</math> in das maximale Ideal von <math>\mathcal{O}_{X,x}</math> abbilden.

Mit diesen Morphismen erhalten wir die Kategorie geringter Räume. Man kann daher von isomorphen geringten Räumen sprechen. Das ist für manche Begriffsbildungen sehr wichtig. So definiert man ein ''[[Schema (algebraische Geometrie)|Schema]]'' als einen geringten Raum <math>(X,\mathcal{O}_X)</math>, in dem jeder Punkt des topologischen Raumes eine offene Umgebung besitzt, so dass die Einschränkung auf diese Umgebung isomorph zu einem affinen Schema ist.

Ganz ähnlich definiert man einen [[Analytischer Raum|analytischen Raum]] als einen geringten Raum, in dem jeder Punkt eine Umgebung besitzt, so dass die Einschränkung darauf isomorph zu einem geringten Raum holomorpher Funktionen auf einer [[Komplexe Mannigfaltigkeit|komplexen Mannigfaltigkeit]] im <math>\Complex^n</math> ist.<ref>R. Gunning, H. Rossi: ''Analytic functions of several complex variables''. Prentice-Hall 1965, Kapitel V, Absatz A, Definition 6</ref>

== Modulgarben ==
Ist <math>(X,\mathcal{O})</math> ein geringter Raum, so ist ein <math>\mathcal{O}</math>-Modul eine Garbe <math>\mathcal{F}</math> [[Abelsche Gruppe|abelscher Gruppen]] über <math>X</math>, so dass jede abelsche Gruppe <math>\mathcal{F}(U)</math> die Struktur eines <math>\mathcal{O}(U)</math>-[[Modul (Mathematik)|Moduls]] trägt und die Restriktionen <math>\rho</math> der Garbe <math>\mathcal{F}</math> Modulmorphismen sind, das heißt <math>\rho_{U,V}(ax) = r_{U,V}(a)\rho_{U,V}(x)</math> für alle offenen Mengen <math>U\supset V</math>, Ringlemente <math>a\in \mathcal{O}(U)</math> und Modulelemente <math>x\in \mathcal{F}(U)</math>. Diese Objekte, die man auch [[Modulgarbe]]n nennt, werden in der algebraischen Geometrie und Funktionentheorie untersucht, wobei die [[Kohärente Garbe|kohärenten Garben]] eine wichtige Rolle spielen.<ref>I. G. MacDonald: ''Algebraic Geometry, Introduction to Schemes'', W. A. Benjamin Inc. (1968), Kapitel 7: "Operations on Sheaves, Quasi-coherent and Coherent Sheaves"</ref>

== Topologisch geringte Räume ==

Für eine beliebige [[Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] <math>\mathcal C</math> können wir topologische Räume betrachten, die mit einer <math>\mathcal C</math>-wertigen [[Garbe (Mathematik)|Garbe]] ausgestattet sind. Analog sind Morphismen solcher Räume definiert. Ist <math>\mathcal C</math> die Kategorie kommutativer [[topologischer Ring]]e, so ergibt sich die Definition ''topologisch geringter Räume''<ref>Nlab: [https://ncatlab.org/nlab/show/topologically+ringed+space Topologically ringed space]</ref>. Ein ''lokal topologisch geringter Raum'' ist ein topologisch geringter Raum, dessen Halme (abstrakte) lokale Ringe sind. Ein ''Morphismus lokal topologisch geringter Räume'' ist ein Morphismus zwischen zwei lokal topologisch geringten Räumen, sodass die Abbildungen auf den Halmen lokale Ringhomomorphismen sind.<ref>Stacks project: [https://stacks.math.columbia.edu/tag/0AHY Tag 0AHY]</ref>

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Topologischer Raum]]
[[Kategorie:Algebraische Geometrie]]
[[Kategorie:Funktionentheorie]]

Geringter Raum - Versionsgeschichte

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