imported>Wfstb: /* Definition */ Inkreismittelpunkt unnötig

2025-01-22T08:57:30Z

Definition: Inkreismittelpunkt unnötig

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[[Datei:Triangle-gergonne-point.svg|mini|hochkant=1.5|Gergonne-Punkt G]]
Der '''Gergonne-Punkt''' eines Dreiecks (benannt nach dem französischen Mathematiker [[Joseph Gergonne|Joseph Diez Gergonne]]) ist ein [[Ausgezeichnete Punkte im Dreieck|ausgezeichneter Punkt]] im Inneren eines [[Dreieck]]s. Er hat die [[Kimberling-Nummer]] <math>X_7</math>.

== Definition ==
Der [[Inkreis]] eines Dreiecks <math>ABC</math> berühre die Seiten des Dreiecks in den Punkten <math>X</math>, <math>Y</math> und <math>Z</math>. Gergonne zeigte, dass sich die drei Verbindungsstrecken zwischen diesen Berührungspunkten und der jeweils gegenüberliegenden Ecke des Dreiecks in einem Punkt, dem '''Gergonne-Punkt''' <math>G</math>, schneiden.<ref name="Grundmann-Gergonnepunkt">{{Literatur |Titel=Dreieckgeometrie |Autor=Wolfgang Grundmann |Verlag=AVM |Ort=München |Datum=2010 |ISBN=978-3-89975-808-5 |Seiten=82}}</ref> Das Dreieck <math>XYZ</math> wird als '''Gergonne-Dreieck''' bezeichnet.

Dass sich diese drei Strecken in einem Punkt schneiden, folgt aus der Gleichheit von Tangentenabschnitten (<math>\overline{AZ} = \overline{AY}</math>, <math>\overline{BX} = \overline{BZ}</math>, <math>\overline{CY} = \overline{CX}</math>) und dem [[Satz von Ceva]].

== Eigenschaften ==
[[Datei:Gergonne mitten schwerpunkt.svg|mini|hochkant=1.5|Gemeinsame Gerade g von Gergonne-Punkt G, Mittenpunkt M und Schwerpunkt S]]
* Der Gergonne-Punkt liegt mit dem [[Geometrischer Schwerpunkt|Schwerpunkt]] und dem [[Mittenpunkt]] (in dieser Reihenfolge) auf einer Geraden.<ref name="Grundmann-Gergonnepunkt" /> Dabei gilt <math>\overline{GS} : \overline{SM} = 2 : 1</math>.<ref>{{MathWorld |id=GergonnePoint |title=Gergonne Point}}</ref>
* Gergonne-Punkt und [[Nagel-Punkt]] sind [[Isotomisch konjugierte Punkte|isotomisch konjugiert]].<ref name="ETC-X7">{{Internetquelle |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X7 |autor=Clark Kimberling |titel=Enyclopedia of Triangle Centers, X(7) |abruf=2025-01-21}}</ref>

== Koordinaten ==

Die [[Trilineare Koordinaten|trilinearen Koordinaten]] des Gergonne-Punkts (<math>X_7</math>) sind (gleichwertig)
:<math>\frac{bc}{b+c-a} \, : \, \frac{ca}{c+a-b} \, : \, \frac{ab}{a+b-c}</math> oder
:<math>\sec^2\frac{\alpha}{2} \, : \, \sec^2\frac{\beta}{2} \, : \, \sec^2\frac{\gamma}{2}.</math><ref name="ETC-X7" />

Die [[Baryzentrische Koordinaten|baryzentrischen Koordinaten]] sind (gleichwertig)
:<math>\frac{1}{b+c-a} \, : \, \frac{1}{c+a-b} \, : \, \frac{1}{a+b-c}</math> oder
:<math>\tan\frac{\alpha}{2} : \tan\frac{\beta}{2} : \tan\frac{\gamma}{2}.</math><ref name="ETC-X7" />

Dabei sind <math>a, b, c</math> die Seitenlängen des Dreiecks und <math>\alpha, \beta, \gamma</math> die Größen der Innenwinkel.

== Literatur ==
* Peter Baptist: ''Historische Anmerkungen zu Gergonne- und Nagel-Punkt.'' In: ''Sudhoffs Archiv,'' 71, 1987, 2, S. 230–233.
* Lorenz Halbeisen, [[Norbert Hungerbühler]], Juan Läuchli: ''Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie.'' Springer 2016, ISBN 978-3-662-53034-4, S. 78.

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=GergonnePoint |title=Gergonne Point}}
* [https://thema-mathematik.at/tmwiki/doku.php?id=gergonne&s Gergonne-Punkt] – Visualisierung mit [[GeoGebra]].

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Ausgezeichnete Punkte im Dreieck]]
[[fr:Cercles inscrit et exinscrits d'un triangle#Point de Gergonne]]
[[en:Gergonne Point]]

Gergonne-Punkt - Versionsgeschichte

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