2A02:8388:8A81:D480:684A:2C1E:2077:9B4A: /* Eigenschaften */

2024-11-26T05:05:05Z

Eigenschaften

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[[Datei:Parabola2.svg|mini|Die [[Normalparabel]] <math>f(x) = x^2</math> ist ein Beispiel für eine gerade Funktion.]]
[[Datei:Function x3.svg|mini|Die [[kubische Funktion]] <math>f(x) = x^3</math> ist ein Beispiel für eine ungerade Funktion.]]
'''Gerade und ungerade Funktionen''' sind in der [[Mathematik]] zwei Klassen von [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]], die bestimmte [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrieeigenschaften]] aufweisen:
* eine [[reelle Funktion]] ist genau dann gerade, wenn ihr [[Funktionsgraph]] [[Achsensymmetrie|achsensymmetrisch]] zur [[y-Achse|''y''-Achse]] ist, und
* ungerade, wenn ihr Funktionsgraph [[Symmetrie (Geometrie)#Punktsymmetrie von Funktionsgraphen|punktsymmetrisch]] zum [[Koordinatenursprung]] ist.
In der [[Schulmathematik]] gehört die Untersuchung eines Funktionsschaubildes auf diese Symmetrien hin zu den ersten Schritten einer [[Kurvendiskussion]].

== Definition ==
Eine reelle [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>f \colon D \to \R</math> mit einer bezüglich der [[Null]] symmetrischen [[Definitionsmenge]] <math>D \subseteq \R</math> heißt ''gerade'', wenn für alle Argumente <math>x \in D</math>

: <math>f(-x) = f(x)</math>

gilt, und sie heißt ''ungerade'', wenn für alle <math>x \in D</math>

: <math>f(-x) = -f(x)</math>

gilt.<ref>{{Literatur |Autor=Harro Heuser |Titel=Lehrbuch der Analysis Teil 1 |Auflage=17. |Verlag=Vieweg+Teubner |Ort=Wiesbaden |Datum=2009 |ISBN=978-3-8348-0777-9 |Seiten=117}}</ref> Anschaulich ist eine reelle Funktion genau dann gerade, wenn ihr [[Funktionsgraph]] [[Achsensymmetrie|achsensymmetrisch]] zur [[y-Achse|''y''-Achse]] ist, und ungerade, wenn ihr Funktionsgraph [[Symmetrie (Geometrie)#Punktsymmetrie von Funktionsgraphen|punktsymmetrisch]] zum [[Koordinatenursprung]] ist.

== Beispiele ==
=== Gerade Funktionen ===
* die [[konstante Funktion]] <math>f(x) = 1</math>
* die [[Betragsfunktion]] <math>f(x) = |x|</math>
* die [[Normalparabel]] <math>f(x) = x^2</math>
* die [[Kosinusfunktion]] <math>f(x) = \cos(x)</math>
* die [[Sekansfunktion]] <math>f(x) = \sec(x)</math>
* die [[Gaußsche Glockenkurve]] <math>f(x) = \exp(-x^2/2)</math>

=== Ungerade Funktionen ===
* die [[Vorzeichenfunktion]] <math>f(x) = \operatorname{sgn}(x)</math>
* die [[Identische Abbildung|identische Funktion]] <math>f(x) = x</math>
* die [[kubische Funktion]] <math>f(x) = x^3</math>
* die [[Sinusfunktion]] <math>f(x) = \sin(x)</math>
* die [[Tangensfunktion]] <math>f(x) = \tan(x)</math>
* die [[Gaußsche Fehlerfunktion]] <math>f(x) = \operatorname{erf}(x)</math>

Die einzige Funktion, die gleichzeitig gerade und ungerade ist, ist die [[Nullfunktion]] <math>f(x)=0</math>.

=== Allgemeinere Beispiele ===
* Eine [[Potenzfunktion]] <math>f(x) = a x^n</math> ist für <math>a \neq 0</math> genau dann gerade, wenn der Exponent <math>n</math> gerade ist, und genau dann ungerade, wenn der Exponent <math>n</math> ungerade ist.
* Eine [[Polynomfunktion]] <math>f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dotsb + a_n x^n</math> ist genau dann gerade, wenn alle ungeradzahligen Koeffizienten <math>a_1, a_3, a_5, \dotsc</math> gleich null sind, und genau dann ungerade, wenn alle geradzahligen Koeffizienten <math>a_0, a_2, a_4, \dotsc</math> gleich null sind.
* Ein [[trigonometrisches Polynom]] <math>a_0 + a_1 \cos(x) + b_1 \sin(x) + \dotsb + a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)</math> ist genau dann gerade, wenn alle Koeffizienten <math>b_i = 0</math> sind, und genau dann ungerade, wenn alle Koeffizienten <math>a_i = 0</math> sind.

== Zerlegung ==
Es gibt auch Funktionen, die weder gerade noch ungerade sind, zum Beispiel die Funktion <math>f(x) = x+1</math>. Jede Funktion mit einer bezüglich der Null symmetrischen Definitionsmenge <math>D \subseteq \R</math> lässt sich jedoch als Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion schreiben. Das heißt

: <math>f(x)=f_\text{g}(x)+f_\text{u}(x)</math>,

wobei

: <math>f_\text{g}(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}</math>

den geraden Anteil der Funktion und

: <math>f_\text{u}(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}</math>

den ungeraden Anteil der Funktion darstellt. Diese Zerlegung einer Funktion in gerade und ungerade Komponenten ist eindeutig, d. h., es gibt keine andere Möglichkeit, eine Funktion in gerade und ungerade Komponenten zu zerlegen. Dies folgt aus den Tatsachen, dass sowohl die Menge aller geraden Funktionen als auch die Menge aller ungeraden Funktionen jeweils einen [[Untervektorraum]] des Raums aller Funktionen bilden, und dass die einzige Funktion, die sowohl gerade als auch ungerade ist, die Nullfunktion ist. Beim Beispiel <math>f(x)=x+1</math> ist damit

: <math>f_\text{g}(x)=\frac{(x+1)+(-x+1)}{2}=1</math>

und

: <math>f_\text{u}(x)=\frac{(x+1)-(-x+1)}{2}=x</math>.

== Eigenschaften ==
=== Algebraische Eigenschaften ===
* Jedes Vielfache einer geraden bzw. ungeraden Funktion ist wieder gerade bzw. ungerade.
* Die Summe zweier gerader Funktionen ist wieder gerade.
* Die Summe zweier ungerader Funktionen ist wieder ungerade.
* Die Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion ist weder gerade noch ungerade (außer eine der beiden Funktionen ist die [[Nullfunktion]])
* Das Produkt zweier gerader Funktionen ist wieder gerade.
* Das Produkt zweier ungerader Funktionen ist gerade.
* Das Produkt einer geraden und einer ungeraden Funktion ist ungerade.
* Der Quotient zweier gerader Funktionen ist wieder gerade.
* Der Quotient zweier ungerader Funktionen ist gerade.
* Der Quotient einer geraden und einer ungeraden Funktion ist ungerade.
* Die [[Komposition (Mathematik)|Komposition]] einer beliebigen Funktion mit einer geraden Funktion ist gerade.
* Die Komposition einer ungeraden Funktion mit einer ungeraden Funktion ist ungerade.

=== Analytische Eigenschaften ===
* Im Nullpunkt hat (sofern dieser im Definitionsbereich enthalten ist) jede ungerade Funktion den Funktionswert Null.
* Die [[Differentialrechnung|Ableitung]] einer geraden [[Differenzierbare Funktion|differenzierbaren Funktion]] ist ungerade, die Ableitung einer ungeraden differenzierbaren Funktion gerade.
* Das [[Integralrechnung|bestimmte Integral]] einer ungeraden [[Stetige Funktion|stetigen Funktion]] ergibt <math>0</math>, wenn die Integrationsgrenzen symmetrisch um den Nullpunkt liegen.
* Die [[Taylor-Reihe]] mit dem Entwicklungspunkt <math>x = 0</math> einer geraden (ungeraden) Funktion enthält nur gerade (ungerade) Potenzen.
* Die [[Fourier-Reihe]] einer geraden (ungeraden) Funktion enthält nur Kosinus- (Sinus-)Terme.

== Verallgemeinerungen ==
Allgemeiner definiert man in der [[Algebra]] durch obige Definition auch gerade und ungerade Funktionen <math>f \colon X \to Y</math> zwischen zwei [[Menge (Mathematik)|Mengen]] <math>X</math> und <math>Y</math>, auf denen eine [[Verknüpfung (Mathematik)|Verknüpfung]] mit [[Additiv Inverses|additiv Inversem]] gegeben ist, beispielsweise (additive) [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]], [[Ring (Algebra)|Ringe]], [[Körper (Algebra)|Körper]] oder [[Vektorraum|Vektorräume]]. Auf diese Weise lassen sich beispielsweise auch gerade und ungerade [[komplexe Funktion]]en oder gerade und ungerade [[vektorwertige Funktion]]en definieren.

In der [[Mathematische Physik|mathematischen Physik]] wird das Konzept der geraden und ungeraden Funktionen durch den Begriff der [[Parität (Physik)|Parität]] verallgemeinert. Diese ist vor allem für [[Wellenfunktion]]en etwa in der [[Quantenmechanik]] von Bedeutung.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Marc Hensel
|Titel=Kurvendiskussion
|TitelErg=Lern- und Übungsbuch für die Abiturprüfung Mathematik
|Auflage=1.
|Verlag=[[Books on Demand]]
|Ort=Norderstedt
|Datum=2010
|ISBN=978-3-8391-4025-3}}
* {{Literatur |Autor=[[Harro Heuser]] |Titel=Lehrbuch der Analysis |Band=Teil 1 |Auflage=17. |Verlag=Vieweg+Teubner |Ort=Wiesbaden |Datum=2009 |ISBN=978-3-8348-0777-9}}

== Weblinks ==
* {{MathWorld|id=EvenFunction|title=Even Function}}
* {{MathWorld|id=OddFunction|title=Odd Function}}
* {{PlanetMath|id=evenandoddfunctions|title=Even and odd functions|author=yark, matte, Cam McLeman}}
* [http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/kd.htm Einfache Erläuterung der Kurvendiskussion mit Symmetrieuntersuchung für eine rationale Funktion]
* [http://www.matheplanet.com/default3.html?call=article.php?sid=966 Exemplarische Kurvendiskussion] bei ''[[Matroids Matheplanet|matheplanet.com]].''

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Mathematische Funktion]]

Gerade und ungerade Funktionen - Versionsgeschichte

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