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2026-02-20T17:56:15Z

Analytische Geometrie

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{{Dieser Artikel|behandelt die Gerade in der Geometrie; zu anderen Bedeutungen siehe [[Gerade (Begriffsklärung)]].}}

[[Datei:Straight lines.svg|300px|mini|Darstellung von Geraden im [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinatensystem]] ]]

Eine '''gerade Linie''' oder kurz '''Gerade''' ist ein Objekt der [[Geometrie]]. Anschaulich handelt es sich um eine gerade, [[Unendlichkeit|unendlich]] lange, unendlich dünne und in beide Richtungen unbegrenzte Linie. So definierte bereits Euklid in seinen [[Elemente (Euklid)|''Elementen'']] (ca. 300 v. Chr.) eine Gerade als eine „Länge ohne Breite“. Moderne [[axiom]]atische Theorien der Geometrie nehmen auf diese anschauliche Vorstellung jedoch keinen Bezug. Für sie ist eine Gerade ein Objekt ohne innere Eigenschaften, lediglich die Beziehungen zu anderen Geraden, Punkten und Ebenen sind von Bedeutung. In der [[Analytische Geometrie|analytischen Geometrie]] wird eine Gerade als eine [[Menge (Mathematik)|Menge]] von Punkten realisiert. Genauer: In einem [[Affiner Raum|affinen Raum]] ist eine Gerade ein eindimensionaler [[affiner Unterraum]].

Während [[Otto Hesse]] in seinem Buch ''Analytische Geometrie der geraden Linie, ...'' (1873) ausschließlich ''gerade Linie'' verwendet, sind in dem Buch ''Vorlesungen über Höhere Geometrie'' (1926) von [[Felix Klein (Mathematiker)|Felix Klein]] die beiden Bezeichnungen ''gerade Linie'' und ''Gerade'' zu finden. In der neueren Literatur (z. B. ''[[dtv-Atlas]] zur Mathematik'') ist ausschließlich von ''Geraden'' die Rede.

== Synthetische Geometrie ==
Eine anschauliche Vorstellung einer Geraden spielt für [[Satz (Mathematik)|Sätze]] und ihre [[Beweis (Mathematik)|Beweise]] keine Rolle. Moderne Axiomensysteme verzichten daher darauf, das „Wesen“ einer Geraden zu erklären und definieren sie allein durch ihre Beziehung zu anderen geometrischen Objekten bzw. durch ihre Eigenschaften. Ein Beispiel ist das erste Axiom aus [[Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie|Hilberts Axiomensystem]]:
: ''Zwei voneinander verschiedene Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> bestimmen stets eine Gerade <math>g</math>''.

Die Bedeutung des Begriffs ''Gerade'' ergibt sich aus der Gesamtheit der Axiome. Eine Interpretation als eine unendlich lange, unendlich dünne Linie ist nicht zwingend, sondern nur eine Anregung, was man sich anschaulich darunter vorstellen könnte.

In der [[Projektive Ebene|projektiven Ebene]] sind die Begriffe ''Punkt'' und ''Gerade'' sogar vollständig austauschbar ''(Dualität)''. Damit ist es hier möglich, sich eine Gerade als unendlich klein und einen Punkt als unendlich lang und unendlich dünn vorzustellen.

== Analytische Geometrie ==
[[Datei:Stuetzvektor Und Richtungsvektor Einer Geraden (de).png|mini|hochkant=1.5|Veranschaulichung des Stütz- und Richtungsvektors]]
In der [[Analytische Geometrie|analytischen Geometrie]] wird der geometrische Raum als <math>n</math>-dimensionaler [[Vektorraum]] über den [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] dargestellt. Eine Gerade wird dabei als eindimensionaler [[affiner Unterraum]] dieses Vektorraums definiert, d. h. als Nebenklasse eines eindimensionalen linearen Unterraumes.

In drei Dimensionen erfüllt der Geradenbegriff der analytischen Geometrie alle Bedingungen, die Hilbert in seinem Axiomensystem der Geometrie voraussetzt. In diesem Fall ist eine Gerade somit auch eine Gerade im Sinne Hilberts.

Man benötigt lediglich die Lage zweier Punkte, um eine Gerade zu beschreiben. Einer der Punkte dient dabei als „Stütze“ der Geraden, auf ihm „liegt“ sie sozusagen auf – dieser Punkt heißt daher ''Aufpunkt'' oder ''Stützpunkt'' der Geraden. Mit dem zweiten Punkt erhält man die Richtung der Geraden. Die Richtung wird dabei durch den [[Vektor]] vom Aufpunkt zum „Richtungspunkt“ angegeben.

Die Gerade <math>g</math> durch die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> enthält genau die Punkte <math>X</math>, deren Ortsvektor <math>\vec x</math> eine Darstellung
: <math>\vec x = \overrightarrow{OP} + t \,\overrightarrow{PQ}</math> mit <math>t \in \R</math>
besitzt. Die Gerade <math>g</math>
lässt sich folglich auch als Punktmenge schreiben:
: <math>g= \{X \mid \overrightarrow {OX} = \overrightarrow{OP} + t \,\overrightarrow{PQ} ; t \in \R \}.</math>
Hierbei ist <math>\overrightarrow{OP}</math> der Stützvektor, das heißt der Ortsvektor des Stützpunkts <math>P</math> und <math>\overrightarrow{PQ}</math> der Richtungsvektor.

Die [[affine Hülle]] von zwei verschiedenen Vektoren <math>\vec v</math> und <math>\vec w</math>
: <math>\{\lambda \vec v + \mu \vec w \mid \lambda, \mu \in \R, \lambda + \mu = 1\}</math>
ist ebenfalls eine Gerade.

Auch der Lösungsraum eines (inhomogenen) [[Lineares Gleichungssystem|linearen Gleichungssystems]] mit <math>n-1</math> [[Lineare Unabhängigkeit|linear unabhängigen]] Gleichungen ist ein affiner Unterraum der Dimension eins und somit eine Gerade. In zwei Dimensionen kann eine Gerade folglich durch eine [[Geradengleichung]]
: <math>\alpha x + \beta y = \gamma</math>
angegeben werden, wobei <math>\alpha, \beta, \gamma \isin \R</math> und <math>\alpha</math> oder <math>\beta</math> ungleich Null sein muss. Ist <math>\beta</math> ungleich 0, so spricht man von einer [[Lineare Funktion|linearen Funktion]] <math>y=f(x)</math>.

== Kürzester Weg ==
Im reellen [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] liegt der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten auf einer Geraden. Verallgemeinert man diese Eigenschaft der Geraden auf gekrümmten Räumen ([[Mannigfaltigkeit]]en), so gelangt man zum Begriff der geodätischen Linie, kurz [[Geodäte]].

== Gleichung einer Geraden in der Ebene ==
Die Gleichung einer Geraden in der [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] kann man auf drei verschiedenen Weisen bestimmen:

'''Punkt-Richtung-Gleichung:'''

* Gegeben sind ein Punkt <math>P_0(x_0|y_0)</math> und der Neigungswinkel (Anstiegswinkel) <math>\alpha</math>.<br /> <math>y = y_0 + \tan(\alpha)\cdot(x-x_0)</math>
* Gegeben sind ein Punkt <math>P_0(x_0|y_0)</math> und die [[Steigung]] (der Anstieg) <math>m</math>.<br /> <math>y = y_0 + m \cdot (x-x_0)</math>

'''Zwei-Punkte-Gleichung:'''

* Gegeben sind zwei Punkte <math>P_1(x_1|y_1)</math> und <math>P_2(x_2|y_2)</math> mit <math>x_1 \neq x_2</math>.<br /> <math>y = y_1 + \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \cdot (x-x_1)</math>

oder

: <math>y = y_1 \frac{x - x_2}{x_1 - x_2} + y_2 \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}</math>

== Gleichung einer Geraden im Raum ℝⁿ ==
=== Punkt-Richtungs-Gleichung ===
Für jedes Paar <math>(\vec p,\vec r)</math> aus einem Ortsvektor (d. h. Punkt) <math>\vec p \in \R^n</math> und einem Richtungsvektor <math>\vec r \in \R^n \setminus \{0\}</math> existiert eine Gerade <math>g</math>, die <math>\vec p</math> enthält und in Richtung <math>\vec r</math> verläuft, nämlich

: <math>g = \{\vec p + \lambda \vec r \mid \lambda \in \R\}</math>.

=== Zwei-Punkte-Gleichung ===
Gegeben seien zwei Ortsvektoren (d. h. Punkte) <math>\vec p_1, \vec p_2 \in \R^n</math> mit <math>\vec p_1 \neq \vec p_2</math>. Dann existiert eine eindeutig bestimmte Gerade <math>g</math>, die <math>\vec p_1</math> und <math>\vec p_2</math> enthält, nämlich

: <math>g = \{\vec p_1 + \lambda(\vec p_2 - \vec p_1) \mid \lambda \in \R\} = \{(1-\lambda)\vec p_1 + \lambda \vec p_2 \mid \lambda \in \R\}</math>.

== Lage zweier Geraden zueinander ==
<gallery caption="Lagebeziehungen zweier Geraden (rot und dunkelblau) im Raum" widths="200" heights="200" perrow="3">
Lines parallel.svg|echt parallel (links) und gleich (rechts)
Lines crossing.svg|schneidend (im schwarzen Punkt)
Lines skew.svg|windschief
</gallery>
Zwei Geraden können folgende Lagebeziehungen zueinander haben. Sie können:
* Gleich sein: Beide Geraden haben alle Punkte gemeinsam.
* Einen Schnittpunkt besitzen: Beide Geraden haben genau einen Punkt gemeinsam (speziell: senkrecht zueinander).
* Zueinander echt [[Parallelität (Geometrie)|parallel]] sein: Beide Geraden haben keinen Punkt gemeinsam und lassen sich durch eine Verschiebung ineinander überführen.
* Zueinander [[Windschiefe|windschief]] sein: Beide Geraden haben keinen Punkt gemeinsam, aber lassen sich nicht durch eine Verschiebung allein ineinander überführen (ab mindestens drei [[Dimension (Mathematik)|Dimensionen]]).
Im Sinne der Theorie der [[Relation (Mathematik)|Relationen]] spricht man auch von Parallelität, wenn beide Geraden identisch sind, insbesondere ist jede Gerade zu sich selbst parallel. Zur Präzisierung unterscheidet man dann zwischen ''echt parallel'' und ''identisch''.

== Schnittpunkt in der Ebene ==
{{Hauptartikel|Schnittpunkt}}
Häufig wird der Schnittpunkt zweier Geraden gesucht, die in [[Geradengleichung#Normalform oder Hauptform|Normalform]], [[Allgemeine Koordinatenform|allgemeiner Koordinatenform]] oder [[Parameterform]] vorliegen. Sind die Geraden in anderer Form gegeben, so bringt man sie zunächst in eine dieser Formen und wendet dann die im Folgenden beschriebenen Lösungsverfahren an.

=== Geraden in Normalform ===
Zwei (nicht senkrechte) Geraden in Normalform
:<math>y_1=m_1 x + b_1, \quad y_2=m_2 x + b_2</math>.

haben genau dann einen Schnittpunkt <math>S(x_s,y_s)</math>, wenn <math>m_1 \neq m_2</math>. Die <math>x</math>-Koordinate des Schnittpunkts erhält man dann durch Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen und Auflösen nach <math>x</math>. Einsetzen von <math>x_s</math> in eine der beiden Ausgangsgleichungen liefert die zugehörige <math>y</math>-Koordinate des Schnittpunkts.<ref>{{Literatur |Autor=Helmut Albrecht |Titel=Elementare Koordinatengeometrie |Auflage=1. |Verlag=Springer Spektrum |Datum=2020 |ISBN=978-3-662-61619-2 |Seiten=69}}</ref>

=== Geraden in allgemeiner Form ===
Sind die beiden Geraden in allgemeiner Koordinatenform gegeben,
:<math>a_1x+b_1y=c_1, \quad a_2x+b_2y=c_2 </math>,

so führt die Bestimmung der Koordinaten des Schnittpunkts auf das lineare 2×2-Gleichungssystem

:<math>\begin{align}
a_1x+b_1y=c_1 \\
a_2x+b_2y=c_2
\end{align}</math>

Falls <math>a_1b_2-a_2b_1 \neq 0</math>, so verlaufen die Geraden nicht parallel und das System hat eine eindeutige Lösung.

=== Geraden in Parameterform ===
Sind die beiden Geraden in Parameterform gegeben,

:<math>g \colon \ \vec x = \vec p + r \vec u, \quad h \colon \ \vec x = \vec q + t \vec v</math>,

so führt Gleichsetzen zur ''vektoriellen Schnittpunktgleichung''<ref>{{Literatur |Titel=dtv-Atlas Schulmathematik |Auflage=2. |Verlag=Deutscher Taschenbuch Verlag |Ort=München |Datum=2003 |ISBN=3-423-03099-2 |Seiten=213}}</ref>

:<math> \vec p + r\vec u = \vec q + t\vec v \quad </math>bzw. <math>\quad r\vec u - t\vec v = \vec q - \vec p</math>.
Legt man ein rechtwinkliges Koordinatensystem zugrunde und stellt die Vektoren mithilfe ihrer Komponenten dar, so ist die Schnittpunktgleichung äquivalent zum linearen 2×2-Gleichungssystem
:<math>
\begin{matrix}
r u_1 - t v_1 = q_1 - p_1 \\
r u_2 - t v_2 = q_2 - p_2
\end{matrix}</math>
in den Unbekannten <math>r</math> und <math>t</math>. Schneiden sich die beiden Geraden, so hat das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung <math>(r_s, t_s)</math>. Einsetzen von <math>r_s</math> bzw. <math>t_s</math> in die Geradengleichung für <math>g</math> bzw. <math>h</math> liefert die Koordinaten <math>(x_s, y_s)</math> des Schnittpunkts.

== Winkel in der Ebene ==
=== Neigungswinkel einer Gerade ===
Ist eine Gerade in der [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] mit <math>ax + by = c </math> in [[Koordinatenform]] gegeben, dann gilt für den Neigungswinkel <math>\alpha</math> dieser Geraden:

: <math>\tan \alpha = -\frac{a}{b}</math>

Das folgt aus der Definition des [[Tangens und Kotangens|Tangens]]. Anwenden der [[Umkehrfunktion]] des Tangens ([[Arkustangens und Arkuskotangens|Arkustangens]]) auf beiden Seiten der [[Gleichung]] ergibt

: <math>\alpha = \arctan \left(-\frac{a}{b}\right)</math>

Für den Spezialfall <math>b = 0</math> verläuft die Gerade senkrecht und diese [[Gleichung]]en sind nicht definiert. Die [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>\tan \alpha</math> ([[Tangens und Kotangens|Tangens]]) hat [[Polstelle]]n bei <math>\alpha = 90^\circ</math> und <math>\alpha = -90^\circ</math>.<ref>Math Open Reference: [https://www.mathopenref.com/arctan.html Inverse tangent function (arctan)]</ref>

=== Schnittwinkel zwischen zwei Geraden ===
Sind die zwei sich schneidenden Geraden <math>g_1 = \{\vec p_1 + \lambda \vec r_1 \mid \lambda \in \R\}</math> und <math>g_2 = \{\vec p_2 + \lambda \vec r_2 \mid \lambda \in \R\}</math> mit den [[Ortsvektor]]en <math>\vec p_1</math> und <math>\vec p_2</math> und den ''[[Linear unabhängig|linear unabhängigen]]'' [[Richtungsvektor]]en <math>\vec r_1</math> und <math>\vec r_2</math> gegeben, dann ist der [[Schnittwinkel (Geometrie)|Schnittwinkel]] <math>\theta</math> zwischen diesen Geraden der Winkel zwischen den Richtungsvektoren:

: <math>\theta = \arccos \frac{\vec r_1 \cdot \vec r_2}{|\vec r_1| |\vec r_2|}</math>

Die Geraden sind [[Orthogonalität|orthogonal]] zueinander, wenn der [[Schnittwinkel (Geometrie)|Schnittwinkel]] ein [[rechter Winkel]] ist, also <math>\theta = 90^\circ</math>. Das ist genau dann der Fall, wenn das [[Skalarprodukt]] der [[Richtungsvektor]]en gleich 0 ist, also <math>\vec r_1 \cdot \vec r_2 = 0</math>.

Sind zwei Geraden in der [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] mit <math>a_1x + b_1y = c_1 </math> und <math>a_2x + b_2y = c_2 </math> in [[Koordinatenform]] gegeben, dann ist der [[Schnittwinkel (Geometrie)|Schnittwinkel]] <math>\theta</math> die Differenz der Neigungswinkel <math>\alpha_1</math> und <math>\alpha_2</math> der Geraden:

: <math>\theta = \alpha_1 - \alpha_2</math>

Anwenden des [[Tangens und Kotangens#Additionstheoreme|Additionstheorems]] für den [[Tangens und Kotangens|Tangens]] ergibt

: <math>\tan \theta = \tan(\alpha_1 - \alpha_2) = \frac{\tan \alpha_1 - \tan \alpha_2}{1 + \tan \alpha_1 \tan \alpha_2}</math>

Wegen <math>\tan \alpha_1 = \tfrac{a_1}{b_1}</math> und <math>\tan \alpha_2 = \tfrac{a_2}{b_2}</math> folgt daraus

: <math>\frac{\tan \alpha_1 - \tan \alpha_2}{1 + \tan \alpha_1 \tan \alpha_2} = \frac{\frac{a_1}{b_1} - \frac{a_2}{b_2}}{1 + \frac{a_1a_2}{b_1b_2}} = \frac{a_1b_2 - a_2b_1}{a_1a_2 + b_1b_2}</math>

Insgesamt ergibt sich

: <math>\tan \theta = \frac{a_1b_2 - a_2b_1}{a_1a_2 + b_1b_2}</math>

Anwenden der [[Umkehrfunktion]] des Tangens ([[Arkustangens und Arkuskotangens|Arkustangens]]) auf beiden Seiten der [[Gleichung]] ergibt

: <math>\theta = \arctan \frac{a_1b_2 - a_2b_1}{a_1a_2 + b_1b_2}</math>

Die Geraden sind genau dann [[Orthogonalität|orthogonal]] zueinander, wenn der [[Nenner]] gleich 0 ist, also <math>a_1a_2 + b_1b_2 = 0</math>. Für diese Spezialfälle, nämlich für <math>\theta = 90^\circ</math> und <math>\theta = -90^\circ</math>, sind die genannten [[Gleichung]]en nicht definiert. Die [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>\tan \theta</math> ([[Tangens und Kotangens|Tangens]]) hat [[Polstelle]]n bei <math>\theta = 90^\circ</math> und <math>\theta = -90^\circ</math>.<ref>emathzone.com: [https://www.emathzone.com/tutorials/geometry/angle-of-intersection-of-two-lines.html Angle of Intersection of Two Lines]</ref>

== Abstand in der Ebene ==
=== Abstand zwischen Punkt und Gerade ===
Der Abstand zwischen einem [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] <math> (x_0, y_0)</math> und einer Geraden <math> ax + by + c = 0</math> beträgt

: <math> \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}</math>.

Der Punkt auf der Geraden, der <math> (x_0, y_0)</math> am nächsten liegt, hat die [[Koordinatensystem|Koordinaten]]

: <math>\left(x = \frac{b(bx_0 - ay_0) - ac}{a^2 + b^2}, y = \frac{a(-bx_0 + ay_0) - bc}{a^2 + b^2}\right)</math>

Wenn die Gerade durch die Punkte <math> (x_1, y_1)</math> und <math> (x_2, y_2)</math> verläuft, ist

: <math> a = y_2 - y_1</math>
: <math> b = x_1 - x_2</math>
: <math> c = x_2y_1 - x_1y_2</math>

Diese Werte können in die [[Formel]]n eingesetzt werden.<ref>Wolfram MathWorld: [https://mathworld.wolfram.com/Point-LineDistance2-Dimensional.html Point-Line Distance--2-Dimensional]</ref>

== Abstand im dreidimensionalen Raum ==
=== Abstand zwischen Punkt und Gerade ===
Der [[Abstand]] zwischen dem [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] <math> \vec p_0 = (x_0, y_0, z_0)</math> und der Geraden, die durch die Punkte <math> \vec p_1 = (x_1, y_1, z_1)</math> und <math> \vec p_2 = (x_2, y_2, z_2)</math> verläuft, beträgt:<ref>Wolfram MathWorld: [https://mathworld.wolfram.com/Point-LineDistance3-Dimensional.html Point-Line Distance--3-Dimensional]</ref>

: <math> \frac{\left|(\vec p_2 - \vec p_1) \times (\vec p_1 - \vec p_0)\right|}{\left|\vec p_2 - \vec p_1\right|} = \frac{\left|(\vec p_0 - \vec p_1) \times (\vec p_0 - \vec p_2)\right|}{\left|\vec p_2 - \vec p_1 \right|}</math>

=== Abstand zwischen zwei Geraden ===
Zwei Geraden, wobei die eine durch die Punkte <math> \vec p_1 = (x_1, y_1, z_1)</math> und <math> \vec p_2 = (x_2, y_2, z_2)</math> und die andere durch die Punkte <math> \vec p_3 = (x_3, y_3, z_3)</math> und <math> \vec p_4 = (x_4, y_4, z_4)</math> verläuft, haben folgenden [[Abstand]]:<ref>Wolfram MathWorld: [https://mathworld.wolfram.com/Line-LineDistance.html Line-Line Distance]</ref>

: <math> \frac{\left|(\vec p_3 - \vec p_1) \cdot ((\vec p_2 - \vec p_1) \times (\vec p_4 - \vec p_3))\right|}{\left|(\vec p_2 - \vec p_1) \times (\vec p_4 - \vec p_3)\right|}</math>

== Die Gerade in Technik und Vermessungskunde ==
In technischen Fachgebieten ist die Gerade das wichtigste Element für [[Konstruieren (Technik)|Konstruktionen]], zur [[Trassierung]], zur [[Ortsbestimmung]] und zur Einmessung von [[Koordinaten]]:
* in Form zweier Schenkel bei der [[Winkelmessung]],
* zur Messung von [[Richtungsmessung|Richtungen]] (genordet oder relativ)
* für die [[Entfernungsmessung]]
* für [[Alignment (Geodäsie)|Alignements]] und zur Absteckung von Linien.

Bei Messungen wird sie durch die [[Zielachse]] eines [[Messfernrohr]]s oder einen [[Laser]] repräsentiert, im Bauwesen etwa durch ein [[Schnurgerüst]].

== Siehe auch ==
* [[Geradengleichung]]
* [[Koordinatenform]]
* [[Achsenabschnittsform]]
* [[Parameterform]]
* [[Zweipunkteform]]
* [[Halbgerade]]

== Weblinks ==
{{Commonscat|Lines|Gerade}}
{{Wiktionary}}
* {{MathWorld |id=Line |title=Line}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4156780-8}}

[[Kategorie:Affiner Raum]]
[[Kategorie:Euklidische Geometrie]]

Gerade - Versionsgeschichte

imported>Mathze: /* Analytische Geometrie */