imported>Stefan Neumeier: Rumpeldeutsch und Rumpelerklärungen (stark) ausgebessert. "Nachfolgendes" Beispiel existiert so nicht. Artikel muss noch ausgebaut werden.

2025-11-28T20:38:09Z

Rumpeldeutsch und Rumpelerklärungen (stark) ausgebessert. "Nachfolgendes" Beispiel existiert so nicht. Artikel muss noch ausgebaut werden.

Neue Seite

Die '''geränderte Hesse-Matrix''' (engl. ''bordered Hessian'') dient zur Klassifikation von stationären Punkten bei mehrdimensionalen Extremwertproblemen mit Nebenbedingungen. Sie ist mit der „normalen“ [[Hesse-Matrix]] verwandt. Im Gegensatz zur Hesse-Matrix, welche auf positive oder negative [[Definitheit]] untersucht wird, ist bei der geränderten Hesse-Matrix die Vorzeichenfolge der [[Determinante (Mathematik)|Determinante]] von gewissen [[Hauptminor|Hauptminoren]] entscheidend.

Genauer: Liegen bei einem Extremwertproblem <math>m</math> Nebenbedingungen vor, so betrachtet man die Folge der Vorzeichen derjenigen führenden Hauptminoren von <math>k</math>-ter Ordnung mit <math>k > 2 m </math>.

Untersucht man beispielsweise eine Funktion nach einer Variablen mit einer Nebenbedingung, muss man wegen <math>k > 2 \cdot 1 = 2</math> die Vorzeichen bei den führenden Hauptminoren erst ab 3. Ordnung betrachten (siehe auch nachfolgendes Beispiel).

Sei <math>U\subset\mathbb{R}^n</math> offen. Die Funktion <math>f:U\rightarrow\mathbb{R}</math> sei zweimal stetig differenzierbar und sie habe in <math>a\in U</math> ein lokales Extremum unter der Nebenbedingung <math>F=0</math>, wobei <math>F=(F_1,\ldots,\,F_m):U\rightarrow\mathbb{R}^m</math> mit <math>m<n</math>. Sei nun

:<math>
L(\lambda_1,\ldots,\,\lambda_m,\,x):=f(x)-\sum_{i=1}^m\lambda_iF_i(x)
</math>
die Lagrange-Funktion für <math>x\in U</math> mit <math>m</math> Hilfsgrößen <math>\lambda_1,\ldots,\lambda_m</math>, die auch Lagrange-Multiplikatoren oder Lagrange-Parameter genannt werden. Die geränderte Hessesche Matrix ist dann die <math>(n+m)\times(n+m)</math>-Matrix
:<math>
\begin{align}
\operatorname{\overline{H}}(\lambda_1,\ldots,\lambda_m,\,a)&:=\left(\begin{array}{cccccc}
0 & \ldots & 0 & -\frac{\partial F_1}{\partial x_1} & \ldots & -\frac{\partial F_1}{\partial x_n} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & \ldots & 0 & -\frac{\partial F_m}{\partial x_1} & \ldots & -\frac{\partial F_m}{\partial x_n} \\
-\frac{\partial F_1}{\partial x_1} & \ldots & -\frac{\partial F_m}{\partial x_1} & \frac{\partial^2 L}{\partial x_1^2} & \ldots & \frac{\partial^2 L}{\partial x_1\partial x_n} \\
\vdots & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
-\frac{\partial F_1}{\partial x_n} & \ldots & -\frac{\partial F_m}{\partial x_n} & \frac{\partial^2 L}{\partial x_n\partial x_1} & \ldots & \frac{\partial^2 L}{\partial x_n^2}
\end{array}\right)(\lambda_1,\ldots,\lambda_m,\,a).
\end{align}
</math>
Die auffallenden Nullen oben links sind die zweiten Ableitungen von <math>L</math> nach den Hilfsgrößen <math>\lambda_1,\ldots,\lambda_m</math>; diese zweiten Ableitungen verschwinden aber nach Konstruktion.

== Form (2-dimensionaler Fall) ==

Für eine zweidimensionale Funktion mit einer Nebenbedingung hat die geränderte Hesse-Matrix folgende Gestalt.

Sei <math> L(x_1,x_2) = f(x_1,x_2) + \lambda g(x_1,x_2)</math> die [[Lagrange-Multiplikator|Lagrangefunktion]], wobei <math> f:\mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R, (x_1,x_2)\mapsto f(x_1,x_2)</math> eine beliebige zweidimensionale Funktion und <math> g(x_1,x_2) = 0\,</math> die Nebenbedingung ist, unter welcher optimiert werden soll.

:<math>
\operatorname{\bar{H}}(x)=
\begin{pmatrix}
0&g_{x1}&g_{x2}\\
g_{x1}&L_{x1x1}&L_{x1x2}\\
g_{x2}&L_{x2x1}&L_{x2x2}\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0&\frac{\partial g}{\partial x_1}&\frac{\partial g}{\partial x_2}\\[1.5ex]
\frac{\partial g}{\partial x_1}&\frac{\partial^2 L}{\partial x_1^2}&\frac{\partial^2 L}{\partial x_1\partial x_2}\\[1.5ex]
\frac{\partial g}{\partial x_2}&\frac{\partial^2 L}{\partial x_2\partial x_1}&\frac{\partial^2 L}{\partial x_2^2}\\
\end{pmatrix}
</math>

Die <math>0</math> auf der Position oben links in der Matrix kommt durch <math>\operatorname{\bar{H}}_{11}=\frac{\partial^2L}{\partial\lambda^2}</math> zustande.

Eine stationäre Stelle <math>x_0</math> von <math>f</math> ist dann unter der Nebenbedingung <math>g</math>
* '''lokales Maximum''', wenn <math> \det \bar{H}(x_0)>0 </math>
* '''lokales Minimum''', wenn <math> \det \bar{H}(x_0)<0 </math>
* '''unentscheidbar''', wenn <math> \det \bar{H}(x_0)=0 </math>

== Weblinks ==
* ''[http://statmath.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node144.html Geränderte Hesse-Matrix.]'' Wirtschaftsuniversität Wien.
* Robert Koschig: ''[https://massmatics.de/de/files/2012/09/Lagrangeoptimierung-v1.0.pdf Das Optimierungsverfahren mit Lagrange-Multiplikatoren.]''

[[Kategorie:Analysis]]

[[en:Hessian matrix#Bordered Hessian]]

Geränderte Hesse-Matrix - Versionsgeschichte

imported>Stefan Neumeier: Rumpeldeutsch und Rumpelerklärungen (stark) ausgebessert. "Nachfolgendes" Beispiel existiert so nicht. Artikel muss noch ausgebaut werden.