imported>LukeTriton: Kleinkram

2025-09-20T08:00:37Z

Kleinkram

Neue Seite

[[Datei:Interpolationsmethoden.png|mini|459x459px|Übersicht verschiedener [[Interpolation (Mathematik)|Interpolationsmethoden]] für dieselben Datenpunkte einer Geländeoberfläche]]Die '''Geostatistik''' oder '''räumliche Statistik''' ist ein Teilgebiet der [[Statistik]], welches unter Einbezug der [[Wahrscheinlichkeitsrechnung]] ortsabhängige Daten ([[Geodaten]]) auswertet und modelliert.<ref name=":0">{{Internetquelle |url=https://www.spektrum.de/lexikon/kartographie-geomatik/geostatistik/1835 |titel=Geostatistik |werk=Lexikon der Kartographie und Geomatik |hrsg=Spektrum |sprache=de |abruf=2021-10-12}}</ref> Die Hauptanwendung der Geostatistik liegt somit in der [[Stochastik|stochastischen]] [[Datenvalidierung|Validierung]] von Messdaten und der Schätzung ([[Approximation]]) über diese hinaus.
Die grundlegende Annahme der Geostatistik ist, dass die untersuchten Variablenwerte von der räumliche Lage der Datenpunkte stochastisch abhängen.<ref name=":1">{{Internetquelle |url=https://www.spektrum.de/lexikon/geographie/geostatistik/2986 |titel=Geostatistik |werk=Lexikon der Geographie |hrsg=Spektrum |sprache=de |abruf=2022-03-13}}</ref> Im einfachsten Fall bedeutet das, dass benachbarte Daten sich ähneln und somit Punkte über die Distanz zueinander [[Korrelation|korrelieren]]. So können z. B. [[Relief (Geologie)|Relief]]- oder Temperaturkarten erstellt werden, ohne dass jeder Punkt vermessen werden muss, da in der Regel zwischen Temperaturen oder Höhenlagen ein [[Mittelwert|Mittel]] auftritt.

Aufgrund dieser Ortsabhängigkeit der Daten lassen sich übliche statistische Verfahren nicht durchführen, da diese eine [[Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen|stochastische Unabhängigkeit]] voraussetzen.<ref name=":1" />

== Geschichte ==
Die Ursprünge der Geostatistik gehen auf die [[Lagerstättenkunde]] in den 1950er Jahren zurück, als [[Danie G. Krige]] die ersten Konzepte entwickelte, um mit statistischen Verfahren und Schätzmethoden die Anzahl aufwendiger [[Bohrung (Geologie)|Probebohrungen]] zu minimieren die nötig sind um abbauwürdige Gebiet zu kartieren. Als Begründer der Geostatistik selbst gilt [[Georges Matheron]], der 1971 die als "Theorie der regionalisierten Variablen" bekannten mathematisch-theoretischen Grundlagen für die Disziplin veröffentlichte.<ref name=":0" />

== Hintergrund ==
Geostatistische Methoden basieren auf statistischen Modellen, die [[räumliche Autokorrelation]] (statistische Beziehungen zwischen den gemessenen Punkten) enthalten. Diese Methoden können auf Grundlage der angenommenen Werte weitere vorhergesagte Werten erzeugen und die Genauigkeit dieser Vorhersagen messen.<ref>{{Internetquelle |url=https://desktop.arcgis.com/de/arcmap/10.3/guide-books/extensions/geostatistical-analyst/understanding-geostatistical-analysis.htm |titel=Geostatistische Analyse |werk=ArcMap |abruf=2022-03-15}}</ref>

Eine Reihe einfacherer Interpolationsverfahren/-algorithmen, wie beispielsweise die [[inverse Distanzwichtung]], waren schon vor der Entwicklung der Geostatistik bekannt,<ref>{{Literatur |Autor=Edward H. Isaaks |Titel=Applied geostatistics |Verlag=Oxford University Press |Ort=New York |Datum=1989 |ISBN=0-19-505012-6}}</ref> allerdings gehen die Methoden der Geostatistik über das Interpolationsproblem hinaus, indem sie das untersuchte Phänomen an unbekannten Orten als eine Reihe korrelierter Zufallsvariablen betrachten.

Sei <math>Z(x)</math> der Wert der zu untersuchenden Variablen an einer bestimmten Stelle <math>x</math>. Dieser Wert ist unbekannt (z. B. [[Temperatur]], [[Niederschlag]], [[Fazies|geologische Fazies]] usw.). Obwohl am Ort <math>x</math> ein Wert vorhanden ist, der gemessen werden könnte, betrachtet die Geostatistik diesen Wert als zufällig, da er nicht oder noch nicht gemessen wurde. Die Zufälligkeit von <math>Z(x)</math> ist jedoch nicht vollständig, sondern definiert durch eine [[kumulative Verteilungsfunktion]] (CDF), die von bestimmten Informationen abhängt, die über den Wert <math>Z(x)</math> bekannt sind:
:<math>F(\mathit{z}, \mathbf{x}) = \operatorname{Prob} \lbrace Z(\mathbf{x}) \leqslant \mathit{z} \mid \text{Information} \rbrace . </math>

Wenn der Wert von Z an Orten in der Nähe von x bekannt ist, kann man typischerweise die CDF von <math>Z(x)</math> durch diese Nachbarschaft einschränken: Wenn eine hohe räumliche Kontinuität angenommen wird, muss <math>Z(x)</math> an der Stelle <math>x</math> ähnliche Werte besitzen wie an benachbarten Datenpunkten. Umgekehrt kann <math>Z(x)</math> ohne räumliche Kontinuität jeden Wert annehmen.

Indem man ein einzelnes räumliches Modell auf einen gesamten Bereich anwendet, geht man davon aus, dass <math>F</math> ein [[Stationärer stochastischer Prozess|stationärer]] Prozess ist. Das bedeutet, dass die gleichen statistischen Eigenschaften auf die gesamte Domäne anwendbar sind. Mehrere geostatistische Methoden bieten Möglichkeiten, diese Stationaritätsannahme zu lockern.

In diesem Rahmen lassen sich zwei Modellierungsziele unterscheiden:

# Schätzung des Werts für <math>Z(x)</math>, typischerweise durch den Erwartungswert, den Median oder den Modus der CDF <math>f(z,x)</math>. Dies wird üblicherweise als Schätzproblem bezeichnet.
# Stichproben aus der gesamten Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion <math>f(z,x)</math> durch tatsächliche Berücksichtigung jedes möglichen Ergebnisses davon an jedem Ort. Dies erfolgt im Allgemeinen durch Erstellen mehrerer alternativer Abbildungen von <math>Z</math>, die als Realisierungen bezeichnet werden. Stellen Sie sich eine Domäne vor, die in <math>N</math> Gitterknoten (oder Pixel) diskretisiert ist. Jede Realisierung ist ein Muster der vollständigen N-dimensionalen gemeinsamen Verteilungsfunktion
:: <math>F(\mathbf{z}, \mathbf{x}) = \operatorname{Prob} \lbrace Z(\mathbf{x}_1) \leqslant z_1, Z(\mathbf{x}_2) \leqslant z_2, ..., Z(\mathbf{x}_N) \leqslant z_N \rbrace .</math>
::
:: Bei diesem Ansatz wird das Vorhandensein mehrerer Lösungen für das Interpolationsproblem anerkannt. Jede Realisierung wird als mögliches Szenario dessen betrachtet, was die reale Variable sein könnte. Alle zugehörigen Abläufe berücksichtigen dann ein Ensemble von Realisierungen und folglich ein Ensemble von Vorhersagen, die eine probabilistische Vorhersage ermöglichen. Daher wird die Geostatistik häufig verwendet, um räumliche Modelle zu generieren oder zu aktualisieren, wenn [[Inverses Problem|inverse Probleme]] gelöst werden müssen.<ref>Hansen, T.M., Journel, A.G., Tarantola, A. and Mosegaard, K. (2006). "Linear inverse Gaussian theory and geostatistics", ''Geophysics'' 71</ref><ref>Kitanidis, P.K. and Vomvoris, E.G. (1983). "A geostatistical approach to the inverse problem in groundwater modeling (steady state) and one-dimensional simulations", ''Water Resources Research'' 19(3):677-690</ref>

== Analyse ==
Die klassische geostatistische Analyse wird in 3 Bereiche unterteilt, die ''Datenbeschreibung'', ''Interpretation'' und ''Schätzung.''<ref name=":0" />

=== Datenbeschreibung ===
[[Datei:Schematic variogram.svg|mini|Schematisierung eines Semi-Variogrammes. Die Punkte stellen die gemessenen Datenpunkte (observed) und die Kurve die angewendete Modellfunktion dar (empirical). Range steht für die gesuchte Reichweite, Sill für den bei maximaler Reichweite erreichten Plateauwert, Nugget für den beschriebenen Nuggeteffekt.]]
Bei der ''Datenbeschreibung'' werden mithilfe von [[Deskriptive Statistik|deskriptiver Statistik]] und [[Semivariogramm|Variogrammen]] erste Erkenntnisse der zeitlichen, räumlichen und multivariaten Struktur ermittelt.

Bei der deskriptiven Statistik werden die wesentlichen Kennwerten des Datensatzes, wie die Extrem- und Mittelwerte, der Variationskoeffizient oder die Streuung und Verteilung der Daten, beschrieben. Als beschreibende Funktionen können [[Histogramm]]e oder [[Verteilungsfunktion|kumulative Verteilungsfunktionen]] aufgestellt werden.

Die Variogramme werden als [[Semivariogramm|empirische Semivariogramme]] umgesetzt, aus welchen ermittelt werden kann bis zu welcher maximalen Entfernung ([[Reichweite (Geostatistik)|Reichweite]] <math>a</math>) und in welchem Maße Messwerte von benachbarten oder weiter entfernten Messwerten abhängen. Für alle Entfernungen (als x-Werte), die jeweils zwei Messorte des Datensatzes zueinander haben, werden die Differenzen der jeweiligen Messwerte (als y-Werte) aufgetragen: Die wachsende Unähnlichkeit mit wachsender Entfernung spiegelt sich in der Zunahme der y-Werte mit steigenden x-Werten bis zu einem bestimmten Grenzwert wider. Diese Abhängigkeit wird mit einer Modellfunktion, zum Beispiel einer quadratischen Funktion, ausgedrückt.

==== Modellfunktion ====
[[Datei:Kinds of modellfunction.png|mini|Klassische Typen verwendbarer Modellfunktionen]]
Die Modellfunktion ist eine angelegte Funktion die den Verlauf der Datenpunkte im Variogram bestmöglich nachzeichnen soll. Dabei ist der Verlauf des Variogrammes für die aufgestellte Funktion auf kleine Distanzen (innerhalb der Reichweite) relevanter als auf große. Hierbei finden hauptsächlich 4 klassische Modellfunktionen Anwendung:

* sphärisches Modell: steigt linear an und geht ab Reichweite <math>a</math> in den Sill (Plateauwert) über.
* exponentielles Modell: zeigt einen exponentiellen Anstieg und erreicht bei der Reichweite (~<math>3a</math>) asymptotisch den Sill.
* Gauß’sches Modell: zeigt einen parabolischen Anstieg und geht bei der Reichweite (~<math>2a</math>) in den Sill über.
* lineares Modell: diese Funktion erreicht keinen Sill, sie steigt stetig an.
Die Modellfunktion, die aus der Analyse der Messwerte gewonnen wurde, ist die Grundlage für die bei der ''Schätzung'' erfolgende Interpolation einer Verteilung von Schätzwerten im Raum.

==== Nuggeteffekt ====
Der Nuggeteffekt ist ein durch die Goldexploration geprägter Begriff, der eine bereits in sehr geringem Abstand bestehende hohe unregelmäßige Verteilung; eine hohe Varianz zwischen eng benachbarten Stichprobenwerten (Nuggetvarianz) bezeichnet. Er wird normalerweise als isotrope Komponente angesehen, obwohl Gegenbeispiele in der Praxis ebenfalls bekannt sind.<ref>{{Internetquelle |url=https://www.spektrum.de/lexikon/kartographie-geomatik/nuggeteffekt/3655 |titel=Nuggeteffekt |werk=Lexikon der Kartographie und Geomatik |hrsg=Spektrum |sprache=de |abruf=2022-03-15}}</ref>

=== Interpretation ===
Die ''Interpretation'' wird unter der Berücksichtigung von lokalen Zusatzinformationen und früheren oder ähnlichen Datenerfassung durchgeführt und dient als Schritt, in dem der Datensatz auf den Untersuchungsgegenstand angewandt wird.

Sie dient zu großen Teilen der geowissenschaftlichen [[Plausibilitätsprüfung]] und der Wahl einer stimmigen Schätzmethode sowie aussagekräftigen Darstellung der Ergebnisse.

=== Schätzung ===
Bei der ''Schätzung'' werden aus den erhobenen Stichprobenwerten und gewonnenen Informationen Werte approximiert, die sowohl innerhalb ([[Interpolation (Mathematik)|Interpolation]]) als auch außerhalb ([[Extrapolation]]) des Untersuchungsgebietes liegen können.[[Datei:Kriginginterpolation.jpg|mini|Farbliche Darstellung von Ertragswerten eines Ackers nach einer [[Kriging]]-Interpolation]]
Der [[Schätzwert]] für eine physikalische Größe (wie die Oberflächentemperatur) an einem Schätzort ist aufgrund der räumlichen Korrelation stärker von den [[Messwert]]en benachbarter als von solchen entfernter Messorte abhängig. Für die Abschätzung sind diese benachbarten Messwerte daher stärker zu berücksichtigen. Dabei unterscheidet man zwei Methoden, die ''nichtstatistischen'' und die ''statistischen'' Interpolationsverfahren, wobei letztere auf einem Geostatistischen Modell (häufig einem speziellen [[Zufallsfeld]]) beruhen.

Als Interpolationsmethode hat sich das [[Kriging-Verfahren]] gegenüber anderen Methoden wie der [[Lineare Interpolation|Linearen Interpolation]], [[Polygonmethode]] und [[Inverse Distanzwichtung|Inversen Distanzwichtung]] etabliert. Beim Kriging erhalten die Messwerte je nach Nähe zum gesuchten Schätzwert in Abhängigkeit vom modellierten Semivariogramm unterschiedliche [[Gewichtungsfaktor]]en, mit denen sie in die Berechnung des Schätzwerts eingehen (Gegenbeispiel: arithmetischer Mittelwert als [[Schätzfunktion|Schätzer]]: alle Messwerte erhalten ohne Unterschied dasselbe Gewicht).

Voraussetzung für die Interpolation ist, dass im Untersuchungsgebiet die Messwertverteilung homogen ist. In der Regel wird dies in der Praxis auf die [[Stationärer stochastischer Prozess|stochastische Stationarität]] 2. Ordnung abgeschwächt, also dass der Erwartungswert einer Zufallsfunktion unabhängig von ihrem Ort und nur eine Funktion des Abstandsvektors ist.<ref>{{Internetquelle |url=https://www.spektrum.de/lexikon/kartographie-geomatik/stationaritaet/4671 |titel=Stationarität |werk=Lexikon der Kartographie und Geomatik |hrsg=Spektrum |sprache=de |abruf=2022-01-30}}</ref>

== Anwendungsbereich ==
Die Geostatistik ist ein elementarer Bestandteil der [[Lagerstättenkunde]] und des [[Bergbau]]s, da beispielsweise über Volumen-/Blockschätzung die Gesamtvorkommen einer Lagerstätte oder über Kokriging die Abbauwürdigkeit von [[Erz]]en (Reinheit) bewertet werden kann. Über Flächenschätzungen können digitale [[Geländemodell]]e und Karten erstellt, die Ausbreitung von Stoffkonzentrationen in Böden und im [[Grundwasser]], sowie [[Nährstoff]]verhältnisse, [[Schwermetalle|Schwermetall]]- oder Schadstoffkonzentrationen abgeschätzt oder die räumliche Verteilung von [[Niederschlag|Niederschlägen]], [[Lufttemperatur]]en und [[Wind]]feldern modelliert werden. Daher findet die Geostatistik untergeordnet auch in anderen [[Geowissenschaften]] wie [[Klimatologie]], [[Hydrologie]], [[Bodenkunde]], [[Hydrogeologie]] sowie in der [[Geographie]]<ref name=":0" /> und ebenso in der Archäologie<ref>{{Literatur |Autor=Georg Roth |Titel=GEBEN UND NEHMEN. Eine wirtschaftshistorische Studie zum neolithischen Hornsteinbergbau von Abensberg-Arnhofen, Kr. Kelheim (Niederbayern). BAND I: Bergbau |Verlag=Universität Köln |Datum=2008 |Seiten=308-333 |Sprache=de |Online=https://kups.ub.uni-koeln.de/4176/1/ROTH_Arnhofen_2008_Bd1_druck.pdf}}</ref> anwendung.

== Standardliteratur ==
* H. Wackernagel: ''Multivariate Geostatistics''. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 1995, ISBN 3-540-60127-9.
* J. P. Chiles, P. Delfiner: ''Geostatistics: Modelling Spatial Uncertainty''. Wiley, New York 1999, ISBN 0-471-08315-1.
* R. Webster, M. Oliver: ''Geostatistics for Environmental Scientists''. Wiley, Chichester 2004, ISBN 0-471-96553-7.
* N. Cressie: ''Statistics for Spatial Data.'' World Scientific, Singapore 2007.

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4020279-3}}

[[Kategorie:Geostatistik| ]]
[[Kategorie:Wissenschaftliches Fachgebiet]]

Geostatistik - Versionsgeschichte

imported>LukeTriton: Kleinkram