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2026-02-17T06:02:05Z

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Ein '''geordnetes Paar''', auch '''2-Tupel''' oder '''Dupel''' genannt, ist in der [[Mathematik]] eine wichtige Art und Weise, zwei [[Mathematisches Objekt|mathematische Objekte]] zu einer Einheit zusammenzufassen. Die beiden Objekte müssen dabei nicht notwendigerweise voneinander verschieden sein und ihre Reihenfolge spielt eine Rolle (im Gegensatz zu einem [[Ungeordnetes Paar|ungeordneten Paar]]). Geordnete Paare stehen im Zentrum der mathematischen Begriffswelt und sind die Basisbausteine vieler komplexerer mathematischer Objekte.

== Notation ==
Ein geordnetes Paar ist eine Zusammenfassung zweier mathematischer Objekte <math>a</math> und <math>b</math> zu einer Einheit. Das geordnete Paar von <math>a</math> und <math>b</math> wird meist mit Hilfe [[Runde Klammer|runder Klammern]] durch

:<math>(a,b)</math>

notiert. Dabei heißt <math>a</math> die linke, erste oder vordere Komponente des Paares und <math>b</math> die rechte, zweite oder hintere Komponente des Paares. Gelegentlich werden zur Notation auch andere Klammertypen, wie [[eckige Klammer]]n, und andere Trennzeichen, wie [[Semikolon]] oder [[senkrechter Strich]], verwendet. Wesentlich bei der Paarbildung ist die Reihenfolge der Elemente, das heißt, <math>(a,b)</math> und <math>(b,a)</math> sollen verschiedene Paare darstellen, falls <math>a</math> und <math>b</math> verschieden sind (im Gegensatz zu einem ungeordneten Paar <math>\{a,b\}</math>, das identisch ist mit dem ungeordneten Paar <math>\{b,a\}</math>).

== Gleichheit geordneter Paare ==
Der Begriff des geordneten Paares ist durch [[Giuseppe Peano|Peanos]] Paar[[axiom]] charakterisiert:

: ''Zwei geordnete Paare gelten genau dann als gleich, wenn sowohl ihre ersten als auch ihre zweiten Komponenten gleich sind.''<ref>Giuseppe Peano: ''Logique Mathématique''. 1897, Formel 71. In: ''Opere scelte.'' II 224, oben verbalisiert.</ref>

Als Formel lässt sich das Paaraxiom folgendermaßen ausdrücken:

: <math>(a,b) = (c,d) \iff a=c ~\text{und}~ b=d</math>.

== Darstellung geordneter Paare ==
In der Literatur finden sich unter anderen für das geordnete Paar <math>(a,b)</math> folgende Darstellungen als Mengen beziehungsweise Klassen:

=== Paardarstellungen für Mengen und Urelemente ===
* <math>(a,b)_\mathrm{K} := \{\{a\},\{a,b\}\}</math>, gängigste Darstellung nach [[Kuratowski|Kazimierz Kuratowski]] (1921).<ref>Kazimierz Kuratowski: ''Sur la notion de l‘ordre dans la Théorie des Ensembles.'' In: ''Fundamenta Mathematica.'' II (1921), S. 171.</ref> Eine Variante gibt die Definition <math>(a,b)_\text{reverse}:=\{\{b\},\{a,b\}\}</math>
: – in einer [[Typentheorie]] nach [[Bertrand Russell#Russellsche Antinomie und Typentheorie|Bertrand Russell]] möglich bei gleichem Typ von a und b.<ref>Bei Verschiedenheit könnte das Objekt mit der niedrigeren Typstufe durch iterierte Mengenbildung <math>x \mapsto \{x, \dots \}</math> auf die Stufe des anderen angehoben werden. Dabei muss <math>x</math> durch eine geeignete Modifizierung der Darstellung erreicht werden, dass stets transparent ist, welches die Ausgangsstufe war. Wegen des Paarungsaxioms muss stets erkennbar bleiben, ob jede der Koordinaten ein <math>x</math> oder <math>\{x\}</math> ist. Daher kann man nicht einfach die Stufe einer der Koordinaten durch iterierte Einermengenbildung in der Form <math>x \mapsto \{\cdots\{x\}\cdots\}</math> anheben.</ref>
: – nicht möglich, wenn a oder b eine echte Klasse ist.
* <math>(a,b)_\text{short} := \{a,\{a,b\}\}</math>, so genannte ''kurze Darstellung''
: – nicht erlaubt in einer Typentheorie nach Bertrand Russell.
* <math>(a,b)_\text{EM} := \{\{\O,\{a\}\},\{b\}\}</math>, zum [[Tupel|Tupel-Begriff]] generalisierbare Darstellung<ref>[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Tuple ''tuple''.] In: Encyclopaedia of Mathematics</ref>
* <math>(a,b)_\text{W} := \{\{\O,\{a\}\},\{\{b\}\}\}</math>, nach [[Norbert Wiener]] (1914)<ref name="Heijenoort">Jean van Heijenoort: ''From Frege to Gödel.'' Harvard University Press, Cambridge / London 2002, ISBN 0-674-32449-8, S. 224ff.</ref>
: – in einer Typentheorie nach Bertrand Russell möglich bei gleichem Typ von a und b, wenn als Leermenge die der nächsthöheren Typstufe gewählt wird.<ref>Akihiro Kanamori: {{Webarchiv|url=https://pdfs.semanticscholar.org/79f4/eb47076249937c2057d53226c6f853298826.pdf |wayback=20180201075321 |text=''The Empty Set, The Singleton, And The Ordered Pair.'' }} In: ''The Bulletin of Symbolic Logic.'' Vol. 9, No. 3, September 2003, S. 290.</ref>
* <math>(a,b)_\text{H} := \{\{a,\boldsymbol{1}\},\{b,\boldsymbol{2}\}\}</math>, wobei <math>\boldsymbol{1}</math> und <math>\boldsymbol{2}</math> voneinander verschiedene Objekte sind, beide auch verschieden von <math>a</math> und <math>b</math>, nach [[Felix Hausdorff]] (1914)<ref>Felix Hausdorff: ''Grundzüge der Mengenlehre.'' Veit & Comp., Leipzig 1914, S. 32–33.</ref>

=== Klassenpaare nach Schmidt ===
<math>(a,b) := \{\{\{x\}\} \,\boldsymbol\mid\, x \in a\} \;\boldsymbol\cup\; \{\{\empty,\{x\}\}\, \boldsymbol\mid\, x \in b\}</math>, nach [[Jürgen Schmidt (Mathematiker)|Jürgen Schmidt]] (1966)<ref>Jürgen Schmidt: ''Mengenlehre. Band 1: Grundbegriffe''. B I Hochschultaschenbücher, S. 95 f.</ref> in Anlehnung an [[Willard Van Orman Quine|Quine]]. Eine an die Darstellung von Wiener angelehnte Variante gibt die Definition <math>(a,b):=\{\{\empty,\{x\}\}\, \boldsymbol\mid\, x \in a\} \;\boldsymbol\cup\; \{\{\{x\}\} \,\boldsymbol\mid\, x \in b\}</math>
: – <math>a,b</math> können hier auch [[Klasse (Mengenlehre)#Echte Klassen|echte Klassen]] sein, aber keine 'echten' [[Urelement]]e (d. h. von ∅ verschiedene Urelemente).

Der Vergleich der Darstellung von Wiener mit der Variante nach Schmidt zeigt, wie aus einer Paardarstellung <math>(a,b)</math> für Mengen und ('echte') Urelemente eine Paardarstellung <math>(a, b)_\text{Schmidt}</math> für Mengen und echte Klassen erzeugt werden kann:
:<math>(a, b)_\text{Schmidt} := \bigcup_{x \in a} \bigcup_{y \in b} (x, y)</math>
Falls a und b Mengen (keine echten Klassen) sind, lässt sich der obige Ausdruck auch wie folgt darstellen:
:<math>(a, b)_\text{Schmidt} = \bigcup \{(x,y)| x \in a \land y \in b\} = \bigcup \;(a \times b)</math> <ref>Eine allgemeingültige Paardarstellung kann ausgehend vom Schmidtschen Verfahren wie folgt gebildet werden: Die für Mengen gültige Definition
:<math>a^+ := a \cup \{a\}</math><br />(Peter Aczel, Michael Rathjen: Notes on [[:en:Constructive set theory|Constructive Set Theory]], [https://www1.maths.leeds.ac.uk/~rathjen/book.pdf PDF] Book draft vom 19. August 2010, S. 32, Definition 4.2.1 Teil 4; älter [https://events.math.unipd.it/3wftop/pdf/AczelRathjen.pdf Notes on Constructive Set Theory], in: Report No. 40, 2000/2001, Institut Mittag-Leffler der Royal Swedish Academy of Sciences, {{ISSN|1103-467X}}, S. 3-1, Definition Teil 4; ebenso M. Randall Holmes: {{Webarchiv|url=http://phil.gu.se/logic/books/Holmes:Elementary_Set_Theory_with_a_Universal_Set.pdf |wayback=20180219131146 |text=Elementary Set Theory with a Universal Set |archiv-bot=2025-03-25 19:25:35 InternetArchiveBot }}, Cahiers du Centre de logique, Vol. 10, S. 79. Andere Notationen sind [[Natürliche Zahl#Von Neumanns Modell der natürlichen Zahlen|<math>a'</math>]], [[:en:Natural number#Von Neumann construction|<math>S(a)</math>]], siehe auch [[Unendlichkeitsaxiom#Formulierung|Unendlichkeitsaxiom]], [[induktive Menge]])
wird auf natürliche Weise fortgesetzt für echte [[Urelement]]e (ungleich der Leermenge)
:<math>a^+ := \{a\}</math>
und für eigentliche [[Klasse (Mengenlehre)|Klassen]]
:<math>a^+ := a</math>.
Eine für alle diese drei Fälle gültige Paardarstellung ist dann
:<math>(a,b)_\text{all} := (a^+, b^+)_\text{Schmidt}</math>.
Im Fall echter Urelemente wird die der Schmidtschen zugrunde liegende ursprüngliche Paardarstellung (etwa nach Kuratowski) reproduziert:
:<math>(a,b)_\text{all} = (\{a\}, \{b\})_\text{Schmidt} = \bigcup_{x \in \{a\}} \bigcup_{x \in \{b\}} (x,y) = (a,b)</math>;
im Fall eigentlicher Klassen per Definition die Schmidtsche selbst:
:<math>(a,b)_\text{all} = (a,b)_\text{Schmidt}</math>;
für Mengen <math>a,b</math> wird vorausgesetzt, dass <math>a^+ = b^+ \Leftrightarrow a = b</math> gilt, was für viele Mengentheorien ([[Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre#ZFU|ZFU]], ZFCU, Quine-Atome, Peter Aczels Hyperset Theory, …) erfüllt ist.</ref>
<small>Das geschilderte Verfahren lässt sich auch einseitig nur links oder nur rechts anwenden. Dabei könnte genauso gut auch eine andere Paardarstellung wie die von Kuratowski zugrunde gelegt werden.</small>

=== Paardarstellung nach Quine–Rosser ===
Bei der Paardarstellung nach Kuratowski liegen die Koordinaten der Paare in der Enthaltenseinsrelation zwei Stufen unter den Paaren (<math>a, b \in^2 (a,b)</math>), bei Wiener sind es gar drei Stufen (<math>a, b \in^3 (a,b)</math>). Mit dem Schmidtschen Verfahren wird dieser Abstand lediglich um 1 reduziert.

[[J. Barkley Rosser|Rosser]] hat 1953 eine Paardarstellung nach Quine verwendet,<ref>[[J. Barkley Rosser]], 1953. ''Logic for Mathematicians''. McGraw–Hill.</ref> welche eine [[Natürliche Zahl#Von Neumanns Modell der natürlichen Zahlen|mengentheoretische Darstellung]] (oder auch [[Peano-Axiome|axiomatische Definition]]) der natürlichen Zahlen <math>\N</math> voraussetzt. Dafür befinden sich die Paare auf derselben Stufe wie ihre Koordinaten. Dazu benötigen wir zunächst folgende Hilfsdefinition:<ref>Man beachte, dass hier nur von Mengen (ggf. Klassen) die Rede ist, nicht von 'echten' Urelementen. Wenn nötig treten bei Quine an ihre Stelle die ''[[Quine-Atome]]'', [[Fundierungsaxiom#Mengenlehren ohne Fundierungsaxiom|zirkelhafte Mengen]], die x = {x} erfüllen. Dagegen taugt diese Paardarstellung auch für echte Klassen.</ref>
:<math>\sigma(x) := \left\{\begin{matrix}
x, & \text{für }x \not\in \N \\
x+1, & \text{für }x \in \N.
\end{matrix}\right.</math>
<math>\sigma</math> inkrementiert das Argument (um 1), wenn es eine natürliche Zahl ist, und belässt es ansonsten wie es ist – die Zahl 0 tritt nicht als Funktionswert von <math>\sigma</math> auf. Weiter setzen wir:
:<math>\varphi(x) := \sigma[x] = \{\sigma(\alpha)|\alpha \in x\} = (x \setminus \N) \cup \{n+1 | n \in (x \cap \N) \}.</math>
Dabei ist <math>x \setminus \N</math> die Menge der Elemente von <math>x</math> die nicht in <math>\N</math> liegen. <math>\varphi(x)</math> bezeichnet das Bild einer Menge <math>x</math> unter der Abbildung <math>\sigma</math>, und wird manchmal auch mit <math>\sigma''x</math> bezeichnet. Die Anwendung dieser Funktion auf eine Menge inkrementiert alle in ihr enthaltenen natürlichen Zahlen. Insbesondere enthält <math>\varphi(x)</math> niemels die Zahl 0, für beliebige Mengen <math>x,y</math> gilt also
:<math>\varphi(x) \not= \{0\} \cup \varphi(y).</math>
Weiter wird definiert
:<math>\psi(x) := \sigma[x] \cup \{0\} = \varphi(x) \cup \{0\}</math>.
Damit enthält <math>\psi(x)</math> stets die Zahl 0 als Element.

Schließlich definieren wir das geordnete Paare als die folgende [[disjunkt]]e Vereinigung:
:<math>(A, B)_{QR} := \varphi[A] \cup \psi[B] = \{\varphi(a)| a \in A\} \cup \{\varphi(b) \cup \{0\} | b \in B \}.</math>
(in anderer Notation auch <math>\varphi''A \cup \psi''B</math>).

Wenn man alle Elemente des so definierten Paares extrahiert, die ''nicht'' die 0 enthalten, und <math>\varphi</math> umkehrt, erhält man ''A''. In derselben Weise kann ''B'' aus den Elementen des Paares, die ihrerseits die 0 enthalten, zurückgewonnen werden.<ref>M. Randall Holmes: ''[http://math.boisestate.edu/~best/best18/Talks/holmes_best18.pdf On Ordered Pairs].'' auf: Boise State, 29. März 2009, S. 10. Der Autor benutzt die Bezeichnungen <math>\sigma_1</math> für <math>\varphi</math> und <math>\sigma_2</math> für <math>\psi</math>.</ref>

Die Definition setzt die [[Abzählbare Menge|abzählbar]] [[unendliche Menge]] der natürlichen Zahlen voraus. Das ist in [[Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre|ZF]] und [[New Foundations|NF]] der Fall, nicht aber in [[New Foundations|NFU]]. [[J. Barkley Rosser]] konnte zeigen, dass die Existenz solcher geordneter Paare auf derselben Stufe wie ihre Koordinaten das [[Unendlichkeitsaxiom]] voraussetzt. Für eine ausführliche Diskussion geordneter Paare im Rahmen von Quine-Mengentheorien siehe Holmes (1998).<ref>M. Randall Holmes: ''[http://math.boisestate.edu/~holmes/holmes/head.pdf Elementary Set Theory with a Universal Set]''. Academia-Bruylant, 1998. The publisher has graciously consented to permit diffusion of this monograph via the web.</ref>

== Verwendung geordneter Paare ==
Geordnete Paare sind die elementaren Bausteine vieler [[Mathematische Struktur|mathematischer Strukturen]]. Beispielsweise werden
* in der Mengenlehre [[Kartesisches Produkt|kartesische Produkte]], [[Relation (Mathematik)|Relationen]] und [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] als Mengen geordneter Paare definiert;
* in der Analysis [[komplexe Zahl]]en als geordnete Paare mit [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] als Komponenten, reelle Zahlen als Mengen ([[Äquivalenzrelation#Äquivalenzklassen|Äquivalenzklassen]]) unendlicher Folgen ([[Cauchy-Folge]]n [[Rationale Zahl|rationaler Zahlen]]), rationale Zahlen als Äquivalenzklassen geordneter Paare, deren Komponenten [[ganze Zahl]]en sind, ganze Zahlen als Äquivalenzklassen geordneter Paare, deren Komponenten [[natürliche Zahl]]en sind, definiert;
* in der Algebra die [[Algebraische Struktur|algebraischen Strukturen]], zum Beispiel [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]], [[Ring (Algebra)|Ringe]], [[Körper (Algebra)|Körper]] im Wesentlichen als Funktionen ([[binäre Verknüpfung]]en) definiert.

== Literatur ==
* [[Felix Hausdorff]]: ''Gesammelte Werke''. Band 2: ''[[Grundzüge der Mengenlehre]].'' Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-42224-2.
* Herbert B. Enderton: ''Elements of Set Theory.'' Academic Press, New York 1977, ISBN 0-12-238440-7.
* [[Paul R. Halmos]]: ''Naive Mengenlehre.'' 5. Auflage. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1994, ISBN 3-525-40527-8.
* [[Heinz-Dieter Ebbinghaus]]: ''Einführung in die Mengenlehre.'' 4. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg / Berlin 2003, ISBN 3-8274-1411-3.
* Oliver Deiser: ''Einführung in die Mengenlehre.'' 2., verbesserte und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2004, ISBN 3-540-20401-6.

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Mathe für Nicht-Freaks: Tupel und geordnetes Paar|Mathe für Nicht-Freaks: Geordnetes Paar}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Mengenlehre]]

Geordnetes Paar - Versionsgeschichte

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