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2018-05-22T11:32:47Z

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Eine '''geordnete abelsche Gruppe''' ist eine [[mathematische Struktur]]. Es handelt sich um eine [[abelsche Gruppe]], auf der zusätzlich eine mit der Gruppenstruktur verträgliche [[Ordnungsrelation]] gegeben ist, die man üblicherweise mit <math>\le</math> bezeichnet (man liest kleiner-gleich). Dadurch ist es möglich, die Elemente einer Gruppe ''der Größe nach'' zu vergleichen.

Viele Begriffsbildungen aus der Theorie der [[Geordneter Vektorraum|geordneten Vektorräume]] lassen sich auf abelsche Gruppen übertragen, indem man die [[Skalarmultiplikation]] durch die <math>\Z</math>-[[Modul (Mathematik)|Modul]]-Struktur ersetzt, allerdings entfallen geometrische Betrachtungen wie Konvexitätsargumente.

Jede geordnete abelsche Gruppe ist [[torsionsfrei]]. Umgekehrt lässt sich eine abelsche Gruppe genau dann mit einer Ordnung versehen, sodass man eine geordnete abelsche Gruppe erhält, wenn die Gruppe torsionsfrei ist.<ref>[[Nicolas Bourbaki]]: ''Éléments de Mathématique. Algèbre.'' Chapitres 1 à 3. Springer, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-33849-9, Kapitel 2, S. 172.</ref>

Geordnete abelsche Gruppen sind ein Spezialfall des allgemeiner angelegten Begriffs der [[Angeordnete Gruppe|angeordneten Gruppe]].

== Definition ==
Eine '''geordnete abelsche Gruppe''' ist ein [[Tupel|Tripel]] <math>(G,+,\le)</math> bestehend aus einer abelschen Gruppe <math>(G,+)</math> und einer [[Relation (Mathematik)|Relation]] <math>\le</math>, so dass folgendes gilt:
# Für alle <math>x\in G</math> gilt <math>x\le x</math>, das heißt <math>\le</math> ist [[reflexive Relation|reflexiv]].
# Aus <math>x\le y</math> und <math>y\le z</math> folgt <math>x\le z</math> für alle <math>x,y,z\in G</math>, das heißt <math>\le</math> ist [[Transitive Relation|transitiv]].
# Aus <math>x\le y</math> folgt <math>x+z\le y+z</math> für alle <math>x,y,z\in G</math>, das heißt <math>\le</math> ist mit der Gruppenstruktur verträglich.<ref>Graham Jameson: ''Ordered Linear Spaces'' (= ''Lecture Notes in Mathematics.'' Bd. 141, {{ISSN|0075-8434}}). Springer, Berlin u. a. 1970, 1.1.</ref>

=== Positive Menge ===
Die Menge <math>G^+:=\{x\in G;\, x\ge 0\}</math> heißt die ''positive Menge'' und ist eine [[Unterhalbgruppe|Unter]]-[[Halbgruppe]], die das [[Neutrales Element|neutrale Element]] 0 enthält.
Dabei steht <math>x\ge 0</math> natürlich für <math>0\le x</math>.

Ist umgekehrt in einer abelschen Gruppe <math>(G,+)</math> eine Unterhalbgruppe <math>U</math>, die das neutrale Element enthält, gegeben und definiert man <math>x\le y</math> durch <math>y-x \in U</math>, so ist <math>(G,+,\le)</math> eine geordnete abelsche Gruppe, für die <math>G^+=U</math> gilt. Demnach kann man eine geordnete abelsche Gruppe auch als abelsche Gruppe, in der eine Unterhalbgruppe ausgezeichnet ist, definieren. Viele Eigenschaften geordneter abelscher Gruppen lassen sich sowohl mittels der Ordnungsrelation als auch mittels Eigenschaften der Unterhalbgruppe <math>G^+</math> beschreiben.

Ist <math>x\in G^+</math> von endlicher Ordnung <math>n</math>, so ist auch <math>-x = (n-1)\cdot x\in G^+</math>. Wenn alle Elemente der Gruppe endliche Ordnung haben, so ist daher <math>G^+</math> eine Untergruppe und die Ordnung nichts weiter als eine [[Äquivalenzrelation]]. Substantielle Anwendungen der Ordnungstheorie wird man daher nur für Gruppen mit Elementen unendlicher Ordnung erwarten, insbesondere sind die in der Theorie auftretenden Gruppen unendlich.

=== Positive Abbildungen ===
Seien <math>(G,+,\le)</math> und <math>(H,+,\le)</math> zwei geordnete abelsche Gruppen, Verknüpfung und Ordnungsrelation sind hier mit denselben Symbolen bezeichnet.

Eine [[Funktion (Mathematik)|Abbildung]] <math>f\colon G\to H</math> heißt ''positiv'' oder ''monoton'', falls aus <math>x \le y</math> stets <math>f(x) \le f(y)</math> folgt für alle <math>x,y\in G</math>.

Ein [[Gruppenhomomorphismus]] <math>f\colon G\to H</math> ist genau dann positiv, wenn <math>f(G^+)\subset H^+</math>.

In der [[Kategorientheorie|Kategorie]] der geordneten abelschen Gruppen sind die [[Morphismus|Morphismen]] die positiven Gruppenhomomorphismen.

== Weitere Begriffsbildungen ==
Sei <math>(G,+,\le)</math> eine geordnete abelsche Gruppe.

=== Antisymmetrische Ordnung ===
Die Ordnung auf <math>G</math> heißt ''[[Antisymmetrische Relation|antisymmetrisch]]'', falls aus <math>x\le y</math> und <math>y\le x</math> stets <math>x=y</math> folgt. Die Ordnung ist genau dann antisymmetrisch, wenn <math>G^+\cap (-G^+) = \{0\}</math>.

Manche Autoren nehmen die Antisymmetrie mit in die Definition auf und sprechen bei fehlender Antisymmetrie von einer Präordnung bzw. von einer prägeordneten Gruppe, so zum Beispiel in <ref>Kenneth R. Goodearl: ''Partially Ordered Abelian Groups with Interpolation'' (= ''Mathematical Surveys and Monographs.'' Bd. 20). American Mathematical Society, Providence RI 2010, ISBN 0-8218-1520-2, chapter 1, Basic Notions.</ref>. Eine antisymmetrische Ordnung wird auch ''strikte Ordnung'' genannt.

=== Gerichtete Ordnung ===
Die Ordnung auf <math>G</math> heißt gerichtet, falls es zu je zwei Elementen <math>x,y\in G</math> stets ein <math>z\in G</math> gibt mit <math>x\le z</math> und <math>y\le z</math>. Die Ordnung ist genau dann gerichtet, wenn <math>G=G^+ - G^+</math>.

=== Ordnungseinheiten ===
Ein Element <math>e\in G</math> heißt eine Ordnungseinheit, falls es zu jedem <math>x\in G</math> ein <math>n\in \N</math> gibt mit <math>-n\cdot e \le x \le n\cdot e</math>.

Im Beispiel <math>(\Z,+,\le)</math> mit der natürlichen Ordnung ist jedes Element aus <math>\N\setminus \{0\}</math> eine Ordnungseinheit. Der [[Folgenraum]] <math>c_0</math>, als geordnete abelsche Gruppe aufgefasst, hat keine Ordnungseinheiten.

=== Skalierte, geordnete abelsche Gruppen ===
Eine Skala in <math>G</math> ist eine Teilmenge <math>S\subset G^+</math> mit folgenden Eigenschaften<ref>Kenneth R. Davidson: ''C*-Algebras by Example'' (= ''Fields Institute Monographs.'' Bd. 6). American Mathematical Society, Providence RI 1996, ISBN 0-8218-0599-1, IV.3 Dimension Groups.</ref>:
* Aus <math>0\le x\le s\in S</math> folgt <math>x\in S</math>
* <math>S</math> ist gerichtet, das heißt zu je zwei Elementen <math>s_1,s_2\in S</math> gibt es ein <math>s\in S</math> mit <math>s_1\le s</math> und <math>s_2\le s</math>.
* <math>S</math> ist erzeugend, das heißt jedes <math>x\in G^+</math> ist endliche Summe von Elementen aus <math>S</math>.

Das Paar <math>(G,S)</math> heißt dann skalierte, geordnete abelsche Gruppe. Oft wird eine solche Skala durch eine Ordnungseinheit <math>e</math> definiert, es ist dann <math>S=\{x\in G;\, 0\le x \le e\}</math> und man schreibt <math>(G,e)</math> an Stelle von <math>(G,S)</math>. In der Kategorie der skalierten, geordneten abelschen Gruppen betrachtet man als Morphismen zwischen <math>(G,S_G)</math> und <math>(H,S_H)</math> diejenigen positiven Gruppenhomomorphismen <math>f\colon G\to H</math>, für die <math>f(S_G) \subset S_H</math> gilt.

=== Archimedische Ordnung ===
In Analogie zum [[Archimedisches Axiom|archimedischen Axiom]] nennt man die Ordnung auf <math>G</math>
* ''archimedisch'', falls aus <math>n\cdot x \le y</math> für alle <math>n\in \N</math> stets <math>x\le 0</math> folgt.
* ''fast archimedisch'', falls aus <math>-y \le n\cdot x \le y</math> für alle <math>n\in \N</math> stets <math>x = 0</math> folgt.

Ist die Ordnung antisymmetrisch, so sind archimedische Ordnungen fast archimedisch.

=== Unperforierte Ordnung ===
Folgt aus <math>n\cdot x \ge 0</math> für ein <math>n\in \N, n>0</math> stets <math>x\ge 0</math>, so heißt die Ordnung unperforiert.

Unperforierte und antisymmetrische Gruppen müssen [[torsionsfrei]] sein, denn aus <math>n\cdot x = 0</math> für ein <math>n\in \N, n>0</math> folgt wegen der Unperforiertheit <math>x\ge 0</math> und <math>-x\ge 0</math>, also <math>x = 0</math> wegen der Antisymmetrie.

Archimedische, gerichtete Gruppen sind unperforiert.<ref>Kenneth R. Goodearl: ''Partially Ordered Abelian Groups with Interpolation'' (= ''Mathematical Surveys and Monographs.'' Bd. 20). American Mathematical Society, Providence RI 2010, ISBN 0-8218-1520-2, Satz 1.24.</ref>

=== Rieszsche Interpolationseigenschaft ===
Wie auch in der Theorie der geordneten Vektorräume betrachtet man weitere Eigenschaften der Ordnung, etwa die nach [[Frigyes Riesz]] benannte ''Rieszsche Interpolationseigenschaft'' das heißt<ref>Kenneth R. Goodearl: ''Partially Ordered Abelian Groups with Interpolation'' (= ''Mathematical Surveys and Monographs.'' Bd. 20). American Mathematical Society, Providence RI 2010, ISBN 0-8218-1520-2, chapter 2, Interpolation.</ref>:
* Sind <math>A,B\subset G</math> endliche Teilmengen mit <math>a\le b</math> für alle <math>a\in A, b\in B</math>, so gibt es ein <math>x\in G</math> mit <math>a\le x \le b</math> für alle <math>a\in A, b\in B</math>. (Es genügt, zweielementige Mengen <math>A,B\subset G</math> zu betrachten.)

Eine geordnete abelsche Gruppe <math>(G,+,\le)</math> mit antisymmetrischer Ordnung heißt [[Verband (Mathematik)|Verband]] oder genauer ''verbandsgeordnete Gruppe'', wenn es zu je zwei Elementen <math>x,y\in G</math> ein [[Supremum]] gibt. Dies ist ein Element <math>z\in G</math> mit <math>x\le z</math> und <math>y\le z</math>, das kleinste Element mit dieser Eigenschaft ist, das heißt für jedes <math>w\in G</math> mit <math>x\le w</math> und <math>y\le w</math> folgt <math>z\le w</math>. Man zeigt, dass <math>z</math> eindeutig durch <math>x</math> und <math>y</math> bestimmt ist. Man spricht daher von ''dem'' Supremum von <math>x</math> und <math>y</math> und schreibt dafür <math>x \vee y</math>. Ganz analog existiert dann auch zu je zwei Elementen <math>x</math> und <math>y</math> das [[Infimum]] <math>x \wedge y = -((-x)\vee (-y))</math>.

Offenbar haben verbandsgeordnete Gruppen die Rieszsche Interpolationseigenschaft, die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. Es stellt sich heraus, dass verbandsgeordnete Gruppen stets [[distributiver Verband|distributive Verbände]] sind.<ref>Graham Jameson: ''Ordered Linear Spaces'' (= ''Lecture Notes in Mathematics.'' Bd. 141, {{ISSN|0075-8434}}). Springer, Berlin u. a. 1970, Satz 2.2.7.</ref>

== Beispiele ==

* Das bekannteste Beispiel einer geordneten abelschen Gruppe ist die Gruppe <math>(\Z,+,\le)</math> der ganzen Zahlen mit der üblichen Ordnungsrelation. Diese Ordnung ist strikt und es ist <math>\Z^+ = \N_0</math>. Die Gruppenhomomorphismen auf <math>\Z</math> sind genau die Abbildungen <math>f_n:\Z\rightarrow \Z, x\mapsto nx</math>, wobei <math>n\in \Z</math>. Die positiven Gruppenhomomorphismen sind genau die Abbildungen <math>f_n</math>, wobei <math>n\in \N_0</math>.
*Analog zum ersten Beispiel sind auch <math>(\Q,+,\le)</math> und <math>(\R,+,\le)</math> Beispiele geordneter abelscher Gruppen.
* Auf <math>(\Z^2,+)</math> definiere <math>(x_1,x_2)\le (y_1,y_2)</math> genau dann, wenn <math>x_1 \le y_1</math> und <math>x_2 \le y_2</math>. Dann ist <math>(\Z^2,+,\le)</math> eine geordnete abelsche Gruppe mit <math>(\Z^2)^+ = (\N_0)^2</math>.
* Auf <math>(\Z^2,+)</math> definiere <math>(x_1,x_2)\preceq (y_1,y_2)</math> genau dann, wenn <math>x_1 < y_1</math> oder <math>x_1 = y_1</math> und <math>x_2 \le y_2</math>; das ist die sogenannte [[lexikographische Ordnung]]. Auch <math>(\Z^2,+,\preceq)</math> ist eine geordnete abelsche Gruppe, die positive Menge ist <math>\{0\}\times \N_0 \cup (\N\setminus\{0\})\times \Z</math>.
* Betrachtet man zu einer abelschen Gruppe die Unterhalbgruppe <math>\{0\}</math>, so ist die zugehörige Ordnungsrelation die Gleichheit.
* Ist <math>H</math> eine Halbgruppe und <math>G={\mathcal G}(H)</math> die zugehörige [[Grothendieck-Gruppe]], so definiert das Bild von <math>H</math> in <math>G</math> eine Halbgruppe und somit eine Ordnung auf <math>G</math>. Die in der [[Algebraische K-Theorie|K-Theorie]] betrachtete <math>K_0</math>-Gruppe eines Ringes ist eine solche Grothendieck-Gruppe und daher in natürlicher Weise eine geordnete abelsche Gruppe.
* Jeder [[Geordneter Vektorraum|geordnete Vektorraum]] ist eine geordnete abelsche Gruppe, wenn man die [[skalare Multiplikation]] vergisst und den [[Vektorraum]] nur als abelsche Gruppe betrachtet.

== Anwendungen ==

* Die [[Abzählbarkeit|abzählbaren]], unperforierten geordneten abelschen Gruppen mit der Rieszschen Interpolationseigenschaft sind genau diejenigen Gruppen, die als <math>K_0</math>-Gruppe einer [[AF-C*-Algebra]] auftreten.
* In der [[Bewertungstheorie]] definiert man zu einem Bewertungsring <math>A</math> mit [[Quotientenkörper]] <math>K</math> die [[Faktorgruppe]] <math>K^*/A^*</math> der [[Einheitengruppe]]n mit der Ordnung <math>[x]\le [y]</math> genau dann, wenn <math>yx^{-1}\in A</math>. Die positive Halbgruppe ist durch die Restklassen der Elemente aus <math>A</math> gegeben.

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Gruppe (Mathematik)]]
[[Kategorie:Ordnungstheorie]]

Geordnete abelsche Gruppe - Versionsgeschichte

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