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[[Datei:01-Mittlere Proportionale.svg|rahmenlos|rechts|hochkant= 1.7]]

Das '''geometrische Mittel''' oder die '''mittlere Proportionale''' ist derjenige [[Mittelwert]], den man mithilfe der <math>n</math>-ten Wurzel aus dem Produkt der betrachteten <math>n</math> positiven Zahlen erhält. Das geometrische Mittel ist stets kleiner oder gleich dem [[Arithmetisches Mittel|arithmetischen Mittel]]. Verwendung findet es u. a. in der [[Statistik]], der [[Finanzen|Finanzmathematik]] und auch in geometrischen Konstruktionen (siehe Abschnitt [[Geometrisches Mittel#Anwendungsbeispiele|''Anwendungsbeispiele'']]).

Das geometrische Mittel der zwei Zahlen 1 und 2 zum Beispiel beträgt <math> \sqrt[2] {1 \cdot 2} \approx 1{,}41</math> (arithmetisches Mittel = 1,5;  die größere Zahl, hier: 2, wird beim geometrischen Mittel geringer bewertet).

== Definition ==
Das geometrische Mittel der <math>n</math> ([[Reelle Zahl|reellen]]) positiven Zahlen <math>x_1,x_2,\dotsc,x_n</math> ist gegeben durch die <math>n</math>-te [[Wurzel (Mathematik)|Wurzel]] des [[Produkt (Mathematik)|Produkts]] der <math>n</math> Zahlen:<ref>Guido Walz [Red.]: ''Lexikon der Mathematik. 2. Band: Eig bis Inn''. 2-te Auflage, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg / Berlin 2017, ISBN 978-3-662-53503-5, S. 277</ref><ref>{{Literatur |Autor=Ilja Nikolajewitsch Bronstein, Konstantin Adolfowitsch Semendjajew |Titel=Taschenbuch der Mathematik |Auflage=5. |Verlag=Verlag Harri Deutsch |Datum=2001 |ISBN=3-8171-2005-2 |Seiten=20}}</ref>

:<math>\bar{x}_\mathrm{geom} =\left( \prod_{i=1}^n{x_i}\right)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \dotsm x_n} </math>

Analog zum [[Gewichtetes arithmetisches Mittel|gewichteten arithmetischen Mittel]] definiert man ein ''gewichtetes geometrisches Mittel'' mit Gewichten <math>w_i>0</math>:

:<math>\bar{x}_\mathrm{geom} = \left(\prod_{i=1}^n x_i^{w_i}\right)^{\frac{1}{w}} = \sqrt[w]{\prod_{i=1}^n x_i^{w_i}} </math>, <math>\textstyle w:=\sum_{i=1}^{n}w_i</math> <ref>{{Literatur |Autor=Alan Anderson |Titel=Business Statistics for Dummies |Hrsg= |Sammelwerk= |Band= |Nummer= |Auflage= |Verlag=John Wiley & Sons |Ort= |Datum=2014 |ISBN=978-1-118-78449-5 |Seiten=46}}</ref>

== Eigenschaften ==
Im Gegensatz zum [[Arithmetisches Mittel|arithmetischen Mittel]] ist das geometrische Mittel nur für positive Zahlen <math>x_i</math> definiert.

Die [[Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel]] besagt, dass
:<math> \bar{x}_\mathrm{geom} \leq \bar{x}_\mathrm{arithm} </math>,
also dass das geometrische Mittel nie größer als das arithmetische Mittel ist.

Der [[Logarithmus]] des geometrischen Mittels ist das arithmetische Mittel der Logarithmen, wobei die Basis <math>a</math> des Logarithmus beliebig gewählt werden darf:
:<math> \log_a \bar{x}_\mathrm{geom} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \log_a x_i,</math>
woraus sich eine praktikable Rechenmethode für große <math>n</math> ergibt.

Das [[Arithmetisch-geometrisches Mittel|arithmetisch-geometrische Mittel]] ist eine Zahl, die zwischen dem arithmetischen und geometrischen Mittel liegt.

Außerdem gilt für <math>n=2</math> und <math>w_1=w_2=1</math>
:<math>x_\mathrm{geom}=\sqrt{x_\mathrm{arithm}\cdot x_\mathrm{harm}}</math>
mit dem arithmetischen und dem [[Harmonisches Mittel|harmonischen Mittel]].

== Geometrische Interpretationen ==
<div style="float:right;">[[Datei:Geometrisches Mittel als Kreissehne.svg|mini|210px|Planfigur]]</div><div style="float:right;">[[Datei:01 Geometrisches Mittel 3 Zahlen.svg|mini|353px|Quader und Würfel]]</div>
* Gemäß der obigen Darstellung (Einleitungsbild) entsteht durch den [[Thaleskreis]] ein [[rechtwinkliges Dreieck]] ''ACD.'' Mithilfe des [[Höhensatz]]es können wir dann <math>l_g</math> berechnen zu <math>l_g = \sqrt{l_1 \cdot l_2}</math>, was genau der Formel für das geometrische Mittel entspricht.<ref>{{Internetquelle|autor=Eckard Specht|url=http://hydra.nat.uni-magdeburg.de/math4u/var/sa14.html|titel=A.14 Das arithmetische Mittel|hrsg=Universität Magdeburg |abruf=2020-04-25}}</ref><ref name=Euklid> [[Euklid]]: [[Stoicheia]] (Euklids Elemente) [http://opera-platonis.de/euklid/Buch6.pdf#page=10&zoom=auto,-13,569 ''VI.13. Zu zwei Strecken die Strecke finden, die sich zu ihnen verhält wie das mittlere Glied in fortlaufend gleicher Proportion.''] Abgerufen am 20. November 2018</ref>

* Das geometrische Mittel zweier Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> liefert die Seitenlänge eines [[Quadrat (Geometrie)|Quadrates]], das den gleichen [[Flächeninhalt]] hat wie das [[Rechteck]] mit den Seitenlängen <math>a</math> und <math>b</math>. Diese Tatsache wird durch die geometrische [[Quadratur des Rechtecks]] veranschaulicht.

* Genauso entspricht das geometrische Mittel bei drei Zahlen der Seitenlänge eines Würfels, der volumengleich ist zu dem [[Quader]] mit den drei Seitenlängen (siehe Bild: Quader und Würfel), und entsprechend im <math>n</math>-dimensionalen bei <math>n</math> Zahlen den Seitenlängen von [[Hyperwürfel]]n.

* Auch mithilfe von Linien auf bzw. an einem [[Kreis]] lässt sich das geometrische Mittel erkennen:
:Gegeben sei ein Kreis mit den [[Sehne (Geometrie)|Sehnen]] <math>AB</math> und <math>AD</math>, der [[Tangente]] <math>t</math> in <math>A</math> und der zu <math>t</math> senkrechten Strecke <math>BC</math>, wobei <math>B</math> Punkt des Kreises und <math>C</math> Punkt der Tangente ist. <math>AB</math> habe die Länge <math>c</math>, <math>BC</math> die Länge <math>a</math> und <math>d=|AD|</math> sei der [[Durchmesser]]. Dann ist <math>c=\sqrt{ad}</math> und damit <math>c</math> das geometrische Mittel von <math>a</math> und <math>d</math> (siehe Bild: Planfigur).

:''Beweis:''
:Da die Dreiecke <math>ABC</math> und <math>ADB</math> in einem [[Rechter Winkel|rechten Winkel]] und einem [[Wechselwinkel]] an geschnittenen [[Parallelität (Geometrie)|Parallelen]] übereinstimmen, sind sie [[Ähnlichkeitssätze|ähnlich]] zueinander. Also gilt <math>\frac{a}{c}=\frac{c}{d}</math> und nach Umformung <math>c^2=ad</math>. Hieraus folgt <math>c=\sqrt{ad}</math>, [[Quod erat demonstrandum|was zu beweisen war]].<ref>Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: ''Perlen der Mathematik - 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen'', [[Springer Spektrum]], Springer-Verlag GmbH [[Berlin]] 2015, ISBN 978-3-662-45460-2, Seite 57</ref>

== Anwendungsbeispiele ==
*Für die Herstellung eines Würfels, der exakt das doppelte Volumen eines anderen Würfels haben soll – einer sogenannten [[Würfelverdoppelung#Ermittlung der zwei mittleren Proportionalen mithilfe eines mechanischen Werkzeugs|Würfelverdoppelung]] – bedarf es des geometrischen Mittels, sprich der zwei mittleren Proportionalen zweier Größen, z. B. bestimmt mithilfe eines mechanischen Werkzeugs.
* Das geometrische Mittel zweier Werte <math>a, b</math> ist <math>\sqrt{ab}</math>, z. B. von <math>a=3</math> und <math>b=300</math>: <math>\sqrt{3 \cdot 300} = 30</math>.
* Von einer 0,1 [[Stoffmengenkonzentration|molaren]] Lösung und einer 10 molaren Lösung werden Eigenschaften bestimmt, die sich konzentrationsabhängig einem linearen Zusammenhang folgend verändern. Um eine Lösung zu erhalten, die durchschnittliche Eigenschaften besitzt, muss das geometrische Mittel gebildet werden, das in diesem Fall = 1 ist. Der arithmetische Mittelwert hingegen würde eine 5,05 molare Lösung beschreiben, die vorwiegend die Eigenschaften der 10 molaren Lösung aufweist, sich also gar nicht durchschnittlich verhält.
* Dem [[Goldener Schnitt|Goldenen Schnitt]] liegt das geometrische Mittel zugrunde.
* Sowohl in der Näherungskonstruktion der [[Quadratur des Kreises#Konstruktionen von Srinivasa Ramanujan|Quadratur des Kreises nach Srinivasa Ramanujan (1914)]] als auch in der Konstruktion des [[Siebzehneck#Konstruktion nach T. P. Stowell|Siebzehnecks]] aus dem Jahr 1806 findet das geometrische Mittel Anwendung.
* Ein Guthaben <math>G</math> wird im ersten Jahr mit zwei Prozent, im zweiten Jahr mit sieben und im dritten Jahr mit fünf Prozent verzinst. Welcher über die drei Jahre konstante [[Zinssatz]] <math>p</math> hätte zum Schluss das gleiche Kapital ergeben?

Das Guthaben am Ende des dritten Jahres beträgt
:<math>G_\mathrm{Ende}=\left(1+\frac{2}{100}\right)\left(1+\frac{7}{100}\right)\left(1+\frac{5}{100}\right)\cdot G</math>
oder mit [[Zinsfaktor]]en geschrieben
:<math>G_\mathrm{Ende} = 1{,}02 \cdot 1{,}07 \cdot 1{,}05 \cdot G</math>
Mit konstantem Zinssatz <math>p</math> und zugehörigen Zinsfaktor <math>1+p</math> ergibt sich am Ende ein Guthaben von
:<math>G_\mathrm{konst} = (1 + p)^3\cdot G</math>
Mit <math>G_\mathrm{konst} = G_\mathrm{Ende}</math> ergibt sich
:<math>(1+p)^3 G = 1{,}02 \cdot 1{,}07 \cdot 1{,}05 \cdot G</math>
und damit berechnet sich der durchschnittliche Zinsfaktor <math>1+p</math> zu
:<math>1+p=\sqrt[3]{1{,}02 \cdot 1{,}07 \cdot 1{,}05}\approx 1{,}04646</math>
Der durchschnittliche Zinssatz beträgt also ca. <math>4{,}646\,\%</math>. Allgemein ist der durchschnittliche Zinsfaktor also das geometrische Mittel der Zinsfaktoren der einzelnen Jahre. Wegen der [[Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel]] ist der durchschnittliche Zinssatz kleiner oder bestenfalls gleich dem arithmetischen Mittel der Zinssätze, welches in diesem Beispiel <math>\tfrac{14}{3}\,\%\approx 4{,}667\,\%</math> beträgt.
Der mittlere Zins-''Faktor'' errechnet sich als geometrisches Mittel; der mittlere Zins-''Satz'' lässt sich als ''f-Mittel'' darstellen (siehe [[Hölder-Mittel#f-Mittel|f-Mittel]]).

== Statistik ==
In der [[Statistik]] können Mittelwerte von [[Absolute Häufigkeit|absoluten Häufigkeiten]] oder [[Relative Häufigkeit|relativen Häufigkeiten]] mithilfe des gewichteten geometrischen Mittels berechnet werden.

Bei Verwendung von ''relativen Häufigkeiten'' werden diese als Gewichte verwendet. Es gilt dann: <math>\sum_{i=1}^n w_i = 1</math>, woraus folgt
: <math>\bar{x}_{\mathrm{geom}} = \prod_{i=1}^n x_i^{w_i}</math>.<ref name=":0">{{Internetquelle |autor= |url=https://www.mathebibel.de/geometrisches-mittel |titel=Geometrisches Mittel |werk=Mathebibel.de |hrsg= |datum= |abruf=2019-08-17 |sprache=}}</ref>
Wenn ''absolute Häufigkeiten'' als Gewichte verwendet werden, erhält man den Mittelwert
: <math>\bar{x}_{\mathrm{geom}} = \sqrt[w]{\prod_{i=1}^n x_i^{w_i}},\; w = \sum_{i=1}^n w_i</math>.<ref name=":0" />

== Hölder-Mittel ==
=== Ohne Gewichtung ===
Das geometrische Mittel ergibt sich als Spezialfall des [[Hölder-Mittel]]s für <math>p \to 0</math>.<ref>{{Internetquelle |autor=Feng Qi |url=https://rgmia.org/papers/v2n5/98pa293.pdf |titel=Generalized abstract mean values |werk= |hrsg= |datum= |seiten=1 |abruf=2019-08-17 |sprache=en}}</ref>

Die Definition des (ungewichteten) Hölder-Mittels für <math>p \to 0</math> lautet: <math>\lim_{p \to 0}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_i^p}\right)^{\frac{1}{p}}</math>.

Das können wir umformen zu
: <math>\exp{ \left(\lim_{p \to 0}\frac{ \ln{\left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_i^p} \right]}}{p} \right)}</math>.
Mit Hilfe der [[Regel von de L’Hospital]] und Anwendung der [[Logarithmengesetze]] vereinfacht sich der Exponent zu <math>\ln{\left[\sqrt[n]{\prod_{i=1}^nx_i}\right]}</math>.

Wir setzen in den ursprünglichen Term ein und erhalten die Definition des ''geometrischen Mittelwertes''

:<math>\exp \left( \ln\left[\sqrt[n]{\prod_{i=1}^nx_i}\right] \right)\rightarrow \bar{x}_\mathrm{geom} = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^nx_i} </math>.

=== Mit Gewichtung ===
Man kann durch Grenzwertbildung des gewichteten Hölder-Mittels ebenfalls das gewichtete geometrische Mittel erhalten
: <math>
\bar{x} = \sqrt[w]{\prod_{i=1}^n x_i^{w_i}} </math>.<ref>{{Internetquelle |autor=Feng Qi |url=https://rgmia.org/papers/v2n5/98pa293.pdf |titel=Generalized abstract mean values |werk= |hrsg= |datum= |seiten=3 |abruf=2019-08-17 |sprache=en}}</ref>
Dafür muss man beachten, dass man beliebige Gewichte normieren kann und (um die Regel von de L’Hospital anwenden zu können) <math>\frac{w_i}{\sum_{i=1}^n w_i}</math> statt <math>w_i</math> einsetzen muss.

Mit <math>w_i = \frac{1}{n}</math> ergibt sich wiederum das ungewichtete geometrische Mittel.

== Siehe auch ==
*[[Arithmetisches Mittel]]
*[[Harmonisches Mittel]]
*[[Hölder-Mittel]], Verallgemeinerung des geometrischen Mittelwerts
*[[Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel]]

== Weblinks ==
* {{MathWorld|GeometricMean|Geometric Mean}}
* [https://www.sengpielaudio.com/Rechner-geommittel.htm Berechnen des geometrischen Mittels zweier Zahlen im Vergleich zum arithmetischen Mittel]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Mittelwert]]

Geometrisches Mittel - Versionsgeschichte

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