2003:C0:4F0B:1D86:7DE3:B0B8:AFCB:4FC2: Es ist eine Unsitte der heutigen deutschen Sprache, fast alle Nebensätze mit dem Wort "wo" anzuhängen. "wo" ist eine adverbiale Bestimmung des Ortes und kein richtiges Bindewort für einen Nebensatz.

2025-05-12T14:31:11Z

Es ist eine Unsitte der heutigen deutschen Sprache, fast alle Nebensätze mit dem Wort "wo" anzuhängen. "wo" ist eine adverbiale Bestimmung des Ortes und kein richtiges Bindewort für einen Nebensatz.

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[[Datei:01 Geometrischer Ort.svg|rahmenlos|hochkant=1.5|rechts]]
In der [[Geometrie|Elementargeometrie]] bezeichnet '''geometrischer Ort''' (Plural: ''geometrische Örter'') eine [[Menge (Mathematik)|Menge]] von [[Punkt (Geometrie)|Punkten]], die eine bestimmte, gegebene Eigenschaft haben. In der [[Ebene Geometrie|ebenen Geometrie]] ist dies in der Regel eine [[Kurve (Mathematik)|Kurve]], wofür man auch das Wort '''Ortskurve''' oder '''Ortslinie''' verwendet. In der [[Navigation]] spricht man hingegen von [[Standlinie]]n.

Ortslinien sind grundlegend für geometrische [[Konstruktion mit Zirkel und Lineal|Konstruktionen]] seit [[Euklid]]s [[Euklids Elemente|''Elementen'']]: Ein Punkt wird dadurch bestimmt, dass zwei Ortslinien angegeben werden, deren Schnittpunkt er bildet. Im klassischen Fall, in dem nur [[Zirkel]] und [[Lineal]] zugelassen sind, sind das zwei [[Gerade]]n, zwei [[Kreis (Geometrie)|Kreise]] oder eine Gerade und ein Kreis.

== Beispiele ==

=== Die klassischen Ortslinien in der ebenen Geometrie ===

* Die Ortslinie aller Punkte, die von einem gegebenen Punkt <math>M</math> einen festen Abstand <math>r</math> haben, ist der [[Kreis (Geometrie)|Kreis]] um <math>M</math> mit dem Radius <math>r</math>.
* Die Ortslinie aller Punkte, die von einer gegebenen Geraden <math>g</math> einen festen Abstand <math>d</math> haben, ist das Paar von [[Parallelität (Geometrie)|Parallelen]] zu <math>g</math> im Abstand <math>d</math>.
* Die Ortslinie aller Punkte, die von zwei gegebenen Punkten <math>A</math> und <math>B</math> den gleichen Abstand haben, ist die [[Mittelsenkrechte]] über der Strecke <math>\overline{AB}</math>.
* Die Ortslinie aller Punkte, die von zwei gegebenen sich schneidenden Geraden <math>g</math> und <math>h</math> den gleichen Abstand haben, ist das Paar von [[Winkelhalbierende]]n zu <math>g</math> und <math>h</math>.
* Die Ortslinie aller Punkte, die von zwei gegebenen parallelen Geraden <math>g</math> und <math>h</math> den gleichen Abstand haben, ist die [[Mittelparallele]] zu <math>g</math> und <math>h</math>.
* Die Ortslinie aller Punkte, die von einem gegebenen Punkt aus in einer bestimmten Richtung liegen, ist die Gerade durch diesen Punkt mit der gegebenen Richtung (z. B. [[Peilung]]).

=== Geometrische Örter, die keine Ortslinien sind ===

* Der geometrische Ort aller Punkte, deren Abstand von einem gegebenen Punkt <math>M</math> kleiner ist als eine feste Zahl <math>r</math>, ist die [[Offene Menge|offene]] Kreisscheibe um <math>M</math> mit dem Radius <math>r</math>.
* Der geometrische Ort aller Punkte, deren Abstand von einem gegebenen Punkt <math>A</math> nicht größer ist als der Abstand von einem anderen gegebenen Punkt <math>B</math>, ist die [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossene]] [[Halbebene]], die von der Mittelsenkrechten über der Strecke <math> \overline{AB}</math> begrenzt wird und in der <math>A</math> liegt.
* usw.
* Der geometrische Ort aller Punkte, die von den drei Ecken eines Dreiecks gleich weit entfernt sind, ist der [[Umkreismittelpunkt]].
* Der geometrische Ort aller Punkte, die von den drei Seiten eines Dreiecks gleich weit entfernt sind, ist der [[Inkreismittelpunkt]].

=== Räumliche Geometrie ===

* Der geometrische Ort aller Punkte, die von einem gegebenen Punkt <math>M</math> einen festen Abstand <math>r</math> haben, ist die [[Kugel]]fläche um <math>M</math> mit dem Radius <math>r</math>. Praktische Beispiele sind etwa [[Schrägdistanz]]en und die Ortung mit [[GPS]]-Satelliten.
* Der geometrische Ort aller Punkte, die von einem gegebenen Punkt <math>M</math> und einer gegebenen Ebene <math>E</math> den gleichen Abstand haben, bildet ein [[Paraboloid]] um <math>M</math>.
* usw.

=== Weitere Beispiele aus der ebenen Geometrie ===

* Die Ortslinie aller Scheitel von [[Rechter Winkel|rechten Winkeln]], deren Schenkel durch zwei gegebene Punkte <math>A</math> und <math>B</math> gehen, ist der [[Thaleskreis]] über der Strecke <math>\overline{AB}</math>.
* Die Ortslinie aller Punkte, von denen aus zwei gegebene Punkte <math>A</math> und <math>B</math> unter einem bestimmten Winkel <math>\varphi</math> gesehen werden, ist das [[Fasskreisbogen]]paar über <math>\overline{AB}</math> mit dem [[Kreiswinkel|Peripheriewinkel]] (Umfangswinkel) <math>\varphi</math>.
* Die Ortslinie aller Punkte, für die die Summe ihrer Abstände von zwei gegebenen Punkten <math>F_1</math> und <math>F_2</math> den festen Wert <math>2a</math> hat, ist die [[Ellipse]] mit den Brennpunkten <math>F_1</math> und <math>F_2</math> und der großen Halbachse <math>a</math>.
* Die Ortslinie aller Punkte, für die die Differenz ihrer Abstände von zwei gegebenen Punkten <math>F_1</math> und <math>F_2</math> den festen Wert <math>2a</math> hat, ist die [[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbel]] mit den Brennpunkten <math>F_1</math> und <math>F_2</math> und der reellen Halbachse <math>a</math>.
* Die Ortslinie aller Punkte, die zu einer gegebenen Geraden <math>g</math> und einem gegebenen Punkt <math>F</math> den gleichen Abstand haben, ist die [[Parabel (Mathematik)|Parabel]] mit dem Brennpunkt <math>F</math> und der Leitlinie (Leitgeraden) <math>g</math>.
* Der geometrische Ort aller Punkte, für die der Quotient ihrer Abstände von zwei gegebenen Punkten einen bestimmten Wert <math>\lambda \ne 1</math> hat, ist der [[Kreis des Apollonios]].

== Anwendungsbeispiel ==

[[Datei:Tangente mit thaleskreis.svg|rechts]]
Um die [[Tangente]] an einen gegebenen Kreis <math>k</math> (mit Mittelpunkt <math>M</math>) zu zeichnen, die durch einen außerhalb des Kreises vorgegebenen Punkt <math>P</math> geht, reicht es nicht aus, mit dem Lineal eine Linie zu ermitteln, die durch <math>P</math> geht und <math>k</math> möglichst gut „streift“. Vielmehr ist zunächst der auf dem Kreis gelegene Berührpunkt zu ermitteln. Dieser ergibt sich als Schnittpunkt zweier Ortslinien:
* Erste Ortslinie ist hier der bereits gegebene Kreis.
* Zweite Ortslinie ist in diesem Fall der Thaleskreis über der Strecke <math>\overline{PM}</math>.
Es ergeben sich zwei Schnittpunkte, folglich zwei Tangenten.

== Siehe auch ==

* [[Sternort|Sternörter]]
* [[Hodograph]]
* [[Ortskurve (Kurvendiskussion)]]

[[Kategorie:Euklidische Geometrie]]

Geometrischer Ort - Versionsgeschichte

2003:C0:4F0B:1D86:7DE3:B0B8:AFCB:4FC2: Es ist eine Unsitte der heutigen deutschen Sprache, fast alle Nebensätze mit dem Wort "wo" anzuhängen. "wo" ist eine adverbiale Bestimmung des Ortes und kein richtiges Bindewort für einen Nebensatz.