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Ursachen der Geoidundulationen: lateral (seitlich) macht hier m.E. keinen Sinn, wenn anschließend auf Hebung verwiesen wird.

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[[Datei:Geoid-Lot-Äquipotential.png|mini|hochkant=1.8|Erdschwerefeld: Lotlinie durch Oberflächenpunkt P, Äquipotentialflächen Vi und das Geoid (Potential V = Vo) als Fortsetzung des mittleren Meeresniveaus.]]
Das '''Geoid''' ist die [[Äquipotentialfläche]], die den mittleren [[Meeresspiegel]] der [[Weltmeer]]e abbilden soll. Die Form dieses theoretischen Körpers ist außerhalb der [[Landfläche|Landmassen]] direkt sichtbar. Das Geoid dient zur Definition von Höhen sowie zur Vermessung und Beschreibung der [[Erdfigur]].<ref>[[Axel Bojanowski]]: [https://www.welt.de/print-wams/article113820/Die-Erde-ist-eine-Kartoffel.html ''Die Erde ist eine Kartoffel''], [[Die Welt]] vom 1. August 2004.</ref>

Das Geoid ist ein physikalisches Modell der Erdfigur, das 1828 von [[Carl Friedrich Gauß]] beschrieben wurde – im Gegensatz zum geometrischen Modell des [[Erdellipsoid]]s. Die Bezeichnung Geoid geht auf [[Johann Benedict Listing]] zurück, der es 1871 als Fläche gleichen Schwerepotentials beschrieb: „Das Geoid ist die Äquipotentialfläche des Schwerefelds der Erde auf dem Niveau des mittleren Meeresspiegels, also aller Punkte, die dasselbe Geopotential besitzen, zusammengesetzt aus dem Gravitationspotential sowie dem Zentrifugalpotential an dem betreffenden Ort.“

Die natürliche [[Lotrichtung]] und die Äquipotentialfläche stehen wegen des gleichen [[Schwerepotential]]s in allen Punkten [[Orthogonal|senkrecht]] zueinander und alle Punkte haben die gleiche [[orthometrische Höhe]].

Im Gegensatz zum Schwerepotential ist die [[Schwerebeschleunigung|Fallbeschleunigung]] ''g'' auf dem Geoid nicht konstant. Sie sinkt aufgrund der [[Zentrifugalbeschleunigung]] von den Polen zum Äquator von 9,83 auf 9,78 m/s².<ref>Erwin Voellmy: ''Mathematische Tafeln und Formeln.'' 17. Auflage. Orell Füssli, Zürich 1973, ISBN 3-280-00682-1, S. 159</ref> Zudem variiert sie lokal aufgrund der [[Geodätisches Erdmodell|inhomogenen]] Masseverteilung im Erdkörper.

== Erdfigur und Geoid ==
Der Meeresspiegel ist – abgesehen von Strömungen und Gezeiten – eine sogenannte [[Niveaufläche]]. Zwar gibt es unendlich viele solcher [[Äquipotentialfläche]]n, die wie Zwiebelschalen um den [[Erdmittelpunkt]] verlaufen. Der Meeresspiegel hat jedoch die Besonderheit, dass er erdumspannend durch [[Pegel (Wasserstandsmessung)|Pegelbeobachtung]] zu beobachten ist und sich daher als weltweite [[Bezugsfläche]] für Höhenmessungen und Schweremessungen eignet. Zu diesem Zweck haben einige europäische Länder schon vor etwa 200 Jahren Pegel an verschiedenen Küstenorten eingerichtet und vermessen, beispielsweise den [[Amsterdamer Pegel]] oder die Pegelstationen in [[Meter über Adria|Triest]], [[Pegel Genua|Genua]], [[Pegel Marseille|Marseille]] und [[Kronstädter Pegel|St. Petersburg]]. Ihre durch Höhen[[Netz (Geodäsie)|netze]] mögliche Verbindung über Land hätte sich zur Bestimmung des kontinentalen Geoids geeignet, was aber aus politischen Gründen erst mit den [[Europanetz]]en des 20. Jahrhunderts erfolgte.

Die regionale Bestimmung der Geoidfläche erfolgte anfangs durch [[astrogeodätisch]]e Bestimmung der Lotrichtung auf einzelnen [[Vermessungspunkt]]en und ab den 1930er-Jahren durch profil- oder [[Messraster|rasterartig]] angelegte Schweremessungen mit [[Gravimeter]]n. Von den Ämtern der Landesvermessung wurden die [[Astrogeoid]]e und die gravimetrische Geoidbestimmung seit etwa 1970 durch starke Verdichtung der [[Lotabweichung]]s- bzw. Schwerenetze merklich verbessert, während die ''globale Genauigkeit'' durch jahrelange [[Satellitenaltimetrie]] der Meeresoberfläche gesteigert wurde.

Es dominieren die automatisierten Verfahren der [[Satellitengeodäsie]] die Bestimmung des Erdschwerefeldes. Sie zeigen das Geoid als eine unregelmäßige Fläche mit vielen Beulen und Dellen, die aber nur etwa 0,001 Prozent des [[Erdradius]] ausmachen. Diese wellenartigen Geoidformen werden durch [[Schwereanomalie]]n der Gebirge und ungleichmäßige [[Massenverteilung]] im Erdinnern verursacht.

Wegen seiner unregelmäßigen Form ist das Geoid mathematisch sehr schwer zu beschreiben, wogegen die praktische [[Landesvermessung]], die [[Kartografie]] und die [[GPS]]-Ortsbestimmung eine einfacher definierte Erdfigur benötigen. Solche Bezugsflächen für Berechnungen und Kartenabbildungen sind meist [[Rotationsellipsoid]]e, die das Geoid auf etwa 50 m genau [[approximieren]]. Diese streng mathematischen Flächen können aber nicht direkt durch Messen [[Physikalische Größe|physikalischer Größen]] bestimmt werden.

Deshalb muss für die praktische Handhabung die Abweichung zwischen der physikalischen Erdfigur (Geoid) und ihrem mathematischen, für Berechnungen geeigneten Pendant (Rotationsellipsoid) durch systematische [[Messung]]en bestimmt werden. Die Abweichungen des Geoids von einem [[Referenzellipsoid]] (z. B. [[WGS84]], [[GRS 80]], [[Hayford-Ellipsoid|Internationales Ellipsoid 1924]]) werden als '''Geoidundulation''' bzw. '''Geoidhöhe''' bezeichnet und können bis 100 m ausmachen und variieren auf 1000 km um etwa ±30 m:

:Geoidundulation <math>N=h-H</math>, mit [[Ellipsoidische Höhe|ellipsoidischer]] (geometrischer) Höhe <math>h</math> und [[Orthometrische Höhe|orthometrischer]] (physikalischer) Höhe <math>H</math>

== Geoid-Näherungen mit Kugelfunktionen ==
[[Datei:Geoundnsrp.png|mini|upright=1.3|Birnenform als Näherung der Erdfigur im Vergleich zum elliptischen Querschnitt (schwarze Linie)]]
[[Datei:Geoundaequrp.png|mini|upright=1.3|Veranschaulichung der Schwerevariation entlang des Äquators, bezogen auf eine kreisförmige Referenzfläche (schwarz)]]
In nullter [[Approximation|Näherung]] ist das Geoid unter Vernachlässigung des Potentials der Zentrifugalkraft ''U''z eine Äquipotentialfläche im Gravitationsfeld eines Massepunktes: ''U''(''r'') = ''G''·''M''/''r'' + ''U''z (''G'': [[Gravitationskonstante]], ''M'': Masse der Erde, ''r'': Abstand vom Mittelpunkt der Erde). Für viele Rechnungen in [[Himmelsmechanik]] und [[Raumfahrt]] liefert diese Vereinfachung brauchbare Ergebnisse. Das Geoid ist eine Kugel mit einem Parameter ''R'' ≈ 6373 km für den Radius.

Abweichungen von der Kugelform lassen sich durch [[Legendre-Polynom]]e ''Pn''(cos(''θ'')) beschreiben (''θ'': Breitenwinkel, ''R'': mittlerer Erdradius, ''Jn'': Entwicklungskoeffizienten):
:<math>U(r, \theta) = \frac{G M}{r} \sum_{n = 0, 1, \dots} \left(\left(\frac{R}{r}\right)^n J_n \cdot P_n \left(\cos(\theta)\right)\right) + U_\mathrm{z}</math>
mit den Koeffizienten:
:''J''0 = 1; Kugelnäherung
:''J''1 = 0; kein Dipolmoment, Nord- und Südhalbkugel gleich schwer
:''J''2 = 1082,6·10−6; genäherte Erdfigur als Rotationsellipsoid mit gleich großen Äquator-Halbachsen ''a'' = ''b'' ≈ 6378 km und ''c'' ≈ 6357 km als Polarachse. J2 berücksichtigt die sogenannte [[Massefunktion]] zweiter Ordnung, die von der [[Erdabplattung]] herrührt
:''J''3 = 2,51·10−6; Aufsetzen einer birnenähnlichen Struktur auf das Ellipsoid (siehe Zeichnung)
:''J''4 = 1,60·10−6

Die Massefunktionen J3 und J4 bewirken geometrische Abweichungen vom mittleren Erdellipsoid, die weniger als 20 m betragen. Die starke Überhöhung in der Zeichnung rechts veranschaulicht, warum die Erde manchmal als „birnenförmig“ beschrieben wird.

Eine verbesserte Näherung führt weitere Kugelfunktions-Koeffizienten ein, die einige Abhängigkeiten des Geoids von der [[Geografische Länge|geografischen Länge]] berücksichtigen. Die Schemazeichnung rechts macht deutlich, dass Schwereabweichungen im Längengrad vorliegen, die einem Höhenunterschied von 170 m entsprechen. Sie sind die Ursache dafür, dass es für [[Geostationärer Satellit|geostationäre Satelliten]] nur zwei stabile und zwei labile Bahnpositionen gibt.

== Geoidbestimmung ==
[[Datei:Gravity anomalies on Earth.jpg|mini|hochkant=2.15|Gemessene Abweichungen des Schwerefelds der Erde vom Rotationsellipsoid]]
[[Datei:Modell.Potsdamer.Kartoffel.jpg|mini|hochkant=1.25|Dreidimensionales Modell der „Potsdamer Kartoffel“ (2017) mit einer 15.000-fach überhöhten Höhendarstellung, [[Deutsches GeoForschungsZentrum]]]]

{{Hauptartikel|Geoidbestimmung}}

Die bisher genaueste Bestimmung des gesamten Geoids erfolgte durch das Projekt [[GRACE]]. Es besteht aus zwei [[Satellit (Raumfahrt)|Satelliten]] die mit etwa 200 km Abstand in gleicher Höhe die Erde umkreisen. Der Abstand der beiden Satelliten wird ständig mit hoher Genauigkeit vermessen. Aus der Änderung dieses Abstands schließt man dann auf die Form des Geoids.

Die Geoidbestimmung kann außerdem mit Methoden der [[Astrogeodäsie]] oder gravimetrisch erfolgen; beide liefern die ''Detailformen'' des Geoids genauer als die Satelliten, sind aber aufwendiger. Die Bestimmung des [[Astrogeoid]]s (Messung der [[Lotabweichung]]) wurde schon vor 100 Jahren erprobt und ist das genaueste Verfahren, erfordert aber ein [[Vermessungsnetz]] und klare Nächte zur Sternbeobachtung. Das dafür optimale Instrument der Astrogeodäsie ist die [[Zenitkamera]]: mit ihrer Hilfe kann durch [[CCD-Sensor|CCD]]-Aufnahmen des zenitalen Sternfeldes die [[Lotrichtung]] in einem Messpunkt hochgenau und teilweise automatisiert bestimmt werden. Diese Lotrichtungen beziehen sich auf das [[Schwerefeld]] und damit auf das Geoid. Um aus Lotabweichungen die Neigung des Geoids gegenüber dem [[Referenzellipsoid]] zu bestimmen, ist die Kenntnis der ellipsoidischen Koordinaten des Messpunktes erforderlich. Diese können aus der [[Landesvermessung]] oder mit [[Globales Navigationssatellitensystem|GNSS]]-Navigationssatelliten bestimmt werden.

Bei der [[Gravimetrie]] wird das Geoid durch rasterförmige Messung der [[Erdbeschleunigung]] bestimmt. Für eine globale Geoidbestimmung durch hinreichend dichte Verteilung der Messpunkte ist das Verfahren allerdings zu aufwändig. Zur Geoid-Interpolation ''zwischen'' den Messpunkten ist im Gebirge – ebenso wie beim Astrogeoid – ein [[digitales Geländemodell]] vorteilhaft.

Im Juni 2011 veröffentlichte das [[Deutsches GeoForschungsZentrum|Deutsche GeoForschungsZentrum (GFZ)]] in Potsdam das als ''Potsdamer Kartoffel'' bekanntgewordene Schweremodell ''EIGEN-6C''.<ref>[https://www.gfz-potsdam.de/presse/meldungen/detailansicht/die-jahreszeitliche-kartoffel/ Die jahreszeitliche Kartoffel] gfz-potsdam.de</ref><ref>[http://derstandard.at/1308679991989/Gravitationskarte-Jahreszeitliche-Schwankungen-der-planetaren-Kartoffel-messbar Jahreszeitliche Schwankungen der planetaren "Kartoffel" messbar] derstandard.at</ref><ref>[https://www.welt.de/print-wams/article113820/Die-Erde-ist-eine-Kartoffel.html Die Erde ist eine Kartoffel] welt.de</ref> Dieses globale Modell wurde aus den kombinierten Daten verschiedener Satelliten-Messungen von [[LAGEOS]], [[Gravity Recovery and Climate Experiment|GRACE]], [[Gravity field and steady-state ocean circulation explorer|GOCE]] und anderen Messmethoden erstellt und hat eine räumliche Auflösung von ca. 12 km.

== Ursachen der Geoidundulationen ==
[[Dichte]]anomalien im [[Erdmantel]] aufgrund von [[Mantelkonvektion]] und mit ihnen verbundenen [[Gelände|Topografie]]variationen sind die Ursache für den Hauptteil der beobachteten Geoid-Undulationen.

Die Ursachen für die lang[[Welle|welligen]] Geoidschwankungen (Geoidundulationen) liegen in großräumigen Dichtevariationen im Erdmantel und zu geringerem Maße auch in der [[Erdkruste]]. Eine [[Anomalie|anomal]] höhere [[Gesteinsdichte]] erzeugt eine zusätzliche [[Gravitationsbeschleunigung]] und beult somit das Geoid aus, geringere Dichten führen zu „Dellen“ im Geoid. Aber auch die Topografie selbst stellt eine variable [[Masse (Physik)|Massen]]variation dar (→ [[Hebung (Geologie)|Hebung]]) und führt zu Undulationen. Die Ursache für Dichtevariationen im Erdmantel liegt in der Mantelkonvektion: Heiße Mantelregionen sind weniger dicht und steigen auf (→ [[Plume (Geologie)]]); kalte, dichte Regionen sinken ab.

Man würde nun also über aufsteigenden [[Mantelkonvektion|Konvektionsströmen]] „Dellen“ im Geoid erwarten, über abtauchenden Konvektionsströmen (z. B. über [[Subduktionszone]]n) „Beulen“, was für den West[[Pazifischer Ozean|pazifik]] im Großen und Ganzen tatsächlich mit den [[Beobachtung#Beobachtung in Naturwissenschaft und Technik|Beobachtungen]] übereinstimmt. Die Sache wird jedoch dadurch komplizierter, dass aufsteigende Konvektionsströme die [[Erdoberfläche]] selbst anheben können (Bsp.: [[Island]], [[Hawaii]]). Die so erzeugte Topografie bezeichnet man als „''[[Dynamik (Physik)|dynamische]]'' Topografie“. Hierdurch wird die eigentliche negative Geoid-Undulation abgeschwächt und teils sogar in den positiven Bereich umgekehrt (wofür Island ein Beispiel zu sein scheint). Des Weiteren hängt der Effekt der dynamischen Topografie auch von der [[Viskosität]] des Erdmantels ab und ist schwierig zu [[Quantifizierung|quantifizieren]].

Es wird auf [[Erkenntnis#Der Erkenntnisbegriff der Wissenschaftstheorie|Erkenntnisse]] insbesondere aus der [[Seismologie]] zurückgegriffen, um Dichten im Mantel abzuschätzen und das Geoid sowie die dynamische Topographie zu berechnen. Aus dem Vergleich mit dem beobachteten Geoid lassen sich so Rückschlüsse auf die Mantelviskosität ziehen.

== Moderne Geoidlösungen ==
Bis etwa 1970 konnten genaue [[Geoidbestimmung]]en fast ausschließlich auf dem [[Landfläche|Festland]] durchgeführt werden, weshalb sie bisweilen ''[[Regionales Geoid]]'' genannt werden:
# als [[Astrogeoid]] auf Basis von [[Lotabweichung]]en, gewonnen aus einer Kombination astronomischer und [[geodätisch]]er Methoden,
# andererseits als [[gravimetrisches Geoid]] mittels rasterförmigen [[Schweremessung]]en, wie sie für geodätische [[Präzisionsnivellement]]s und in der [[Geophysik]] erforderlich sind,
# oder (seit den 1970er Jahren) vereinzelt als kombiniert „astro-gravimetrisches Geoid“.

Bei Methode (1) betrugen die Abstände der Messpunkte je nach angestrebter Genauigkeit (5 cm bis 50 cm) zwischen etwa 10 km und 50 km, bei (2, 3) etwa 3 bis 15 km. Seit etwa 1995 strebt man das sogenannte ''[[Zentimeter-Geoid]]'' an und hat in einigen Ländern Mitteleuropas bereits 2 bis 3 cm Genauigkeit erreicht.

Mit zunehmenden Erfolgen der [[Satellitengeodäsie]] trugen Modelle des [[Schwerefeld#Geopotential|Geopotentials]] (Schwerefeld im [[Außenraum]] der Erde) zur Geoidbestimmung bei. Aus den von Geoid und [[Erdinneres|Erdinnerem]] verursachten [[Bahnstörung]]en wurden hochgradige Potentialentwicklungen mit [[Kugelflächenfunktion]]en berechnet, die anfänglich etwa 20 [[Geografische Breite|Breiten]]- und [[Geografische Länge|Längengrad]] Auflösung hatten (etwa 1000 km × 1000 km), aber nun bereits bis herab zu 0,5° (rund 50 km) reichen.

Die ersten Kugelfunktionsentwicklungen hatten globale Genauigkeiten von etwa 10 m, die sich auf weit unter 1 m verbessert haben (das sind etwa 0,00001 % des [[Erdradius]]). Im Gegensatz zu obengenannten Methoden können sie zwar keine Details auflösen, wohl jedoch ein regionales Geoid nach außen hin stützen und den Zusammenschluss zu kontinentalen Lösungen ermöglichen. Als neueste Methode dient das [[Satellite-to-Satellite-Tracking]] (STS).

== Literatur ==
* [[Christoph Reigber]], Peter Schwintzer: ''Das Schwerefeld der Erde.'' In: ''Physik in unserer Zeit.'' 34(5), 2003, {{ISSN|0031-9252}}, S. 206–212.
* Erwin Groten: ''Geodesy and the Earth’s Gravity Field.'' Band I: ''Principles and Conventional methods.'' Bonn 1979.
* [[Karl Ledersteger]]: ''Astronomische und [[physikalische Geodäsie]]'' (= ''Handbuch der Vermessungskunde.'' Band 5). 10. Auflage, Metzler, Stuttgart 1969.
* [[Gottfried Gerstbach]]: ''How to get an European centimeter geoid (“astro-geological geoid”).'' In: ''Physics and Chemistry of the Earth.'' Volume 21/4. Elsevier, 1996, S. 343–346.
* Heiner Denker, [[Jürgen Müller (Geodät)|Jürgen Müller]] et al.: ''A new Combined Height Reference Surface for Germany ([[GCG05]]).'' EUREF-Conference, Riga 2006, ([http://www.euref.eu/symposia/2006Riga/P-01.pdf Poster]; PDF; 414 kB).
* [[Hans Sünkel]], I. Marson (Hrsg.): ''Gravity and Geoid: Joint Symposium of the International Gravity Commission and the International Geoid Commission.'' Tagungsband September 1995 Graz (Österreich). Springer 1996.
* Intergovernmental Committee On Surveying & Mapping: ''Geocentric Datum of Australia.'' Technical Manual, Version 2.2. ([http://www.icsm.gov.au/icsm/gda/gdatm/gdav2.2.pdf PDF-Datei], Stand: 2005).
* [[Wolfgang Torge]]: ''Geodäsie.'' 2. Auflage, Walter de Gruyter, Berlin [u. a.] 2003, ISBN 3-11-017545-2.

* Lieselotte Zenner: ''Analyse und Vergleich verschiedener Schwerefeldlösungen.'' In: ''Zeitschrift für Geodäsie, Geoinformation und Landmanagement.'' 132. Jahrgang, Heft 3. Wißner, Augsburg 2007.

== Weblinks ==
{{Commonscat}}
* Norbert Kühtreiber: {{Webarchiv |url=http://olimpia.topo.auth.gr:80/GG2002/SESSION2/Kuehtreiber.pdf |wayback=20100821113841 |text=High Precision Geoid Determination of Austria Using Heterogeneous Data}} (Theorie; PDF; 1,6 MB)
* Stefan A. Voser: [https://mapref.org/savpub/Voser1996-GeometrischeAnforder.html Geometrische Anforderungen beim Datenaustausch]
* Umrechnung zwischen WGS84 Referenz-Ellipsoid und EGM96 Geoid
** [https://geographiclib.sourceforge.io/cgi-bin/GeoidEval Online-Rechner von Charles Karney]
** [https://earth-info.nga.mil/index.php?dir=wgs84&action=egm96-geoid-calc Online-Rechner der U.S. National Geospatial-Intelligence Agency]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4156687-7}}

[[Kategorie:Geodäsie]]
[[Kategorie:Geophysik]]

Geoid - Versionsgeschichte

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