imported>Peter Buch: /* Lokale und globale Definition */ Die lokale Eigenschaft muss ''überall'' gelten; das ist eine starke Forderung und keine „Einschränkung“.

2025-12-30T19:45:57Z

Lokale und globale Definition: Die lokale Eigenschaft muss ''überall'' gelten; das ist eine starke Forderung und keine „Einschränkung“.

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[[Datei:geodesiques.png|mini|Geodätische (rot) in einem [[zweidimensional]]en, gekrümmten Raum, der in einen dreidimensionalen Raum eingebettet ist. (Modellierung der Gravitation über die Geodäten in der Relativitätstheorie)]]

Eine '''Geodäte''' ''(Pl. Geodäten)'', auch '''Geodätische''', '''geodätische Linie''' oder '''geodätischer Weg''' genannt, ist die lokal kürzeste Verbindungskurve zweier [[Punkt (Geometrie)|Punkte]]. Geodäten sind Lösungen einer [[Gewöhnliche Differentialgleichung|gewöhnlichen Differentialgleichung]] zweiter Ordnung, der '''Geodätengleichung'''.

== Lokale und globale Definition ==
Im [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] sind Geodäten stets [[Gerade]]n. Relevant ist der Begriff „Geodäte“ erst in gekrümmten Räumen ([[Mannigfaltigkeit]]en), wie zum Beispiel auf einer [[Kugeloberfläche]] oder anderen [[Reguläre Fläche|gekrümmten Flächen]] oder auch in der gekrümmten [[Raumzeit]] der [[Allgemeine Relativitätstheorie|allgemeinen Relativitätstheorie]]. Man findet die geodätischen Linien mit Hilfe der [[Variationsrechnung]].

Die Bezeichnung ''[[Umgebung (Mathematik)|lokal]]'' in der Definition bedeutet, dass sämtliche Abschnitte einer Geodäte jeweils die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten sind, sofern diese Punkte nahe genug beieinander liegen; die gesamte Geodäte muss aber nicht den ''global'' kürzesten Weg zwischen ihren Endpunkten darstellen. Jenseits des [[Schnittort]]es können mehrere Geodäten unterschiedlicher Länge zum selben Punkt führen, was die globale Minimierung der Länge verhindert. Beispielsweise ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei nicht-[[antipodal]]en Punkten auf einer Kugel stets Teil eines eindeutigen [[Großkreis]]es, aber die beiden Teile, in die dieser Großkreis durch diese zwei Punkte unterteilt wird, sind beide Geodäten, obwohl nur einer der beiden die global kürzeste Verbindung darstellt.

== Beispiele für Geodäten verschiedener Räume ==
[[Datei:2019-07-Helix.jpg|mini|Ein um einen Zylinder gewickelter Faden in Form einer [[Schraublinie (Darstellende Geometrie)|Schraublinie]] ist eine Geodäte, denn Segmente von ihr sind kürzeste Verbindungen von Punkten]]
* Im <math>\R^n</math> mit [[Euklidischer Raum|euklidischer Metrik]] sind genau die [[Strecke (Geometrie)|geraden Strecken]] die Geodätischen.
* Eine Geodätische auf der [[Sphäre (Mathematik)|Sphäre]] ist stets Teil eines [[Großkreis]]es; daran orientieren sich heutzutage transkontinentale Flug- und Schifffahrtsrouten (siehe ''[[Orthodrome]]'' vs. ''[[Loxodrome]]''). Alle geodätischen Linien (bzw. Großkreise) auf einer Kugel sind in sich geschlossen – das heißt, wenn man ihnen folgt, erreicht man irgendwann wieder den Ausgangspunkt. Auf [[Ellipsoid]]-Flächen dagegen gilt dies lediglich entlang der [[Meridian (Geographie)|Meridiane]] und des [[Äquator]]s (welche auf dem Ellipsoid einfache Spezialfälle der geodätischen Linie sind).
* Im Sonderfall [[Abwickelbare Fläche|abwickelbarer Flächen]] (z. B. [[Kegel (Geometrie)|Kegel]] oder [[Zylinder (Geometrie)|Zylinder]]) sind die Geodäten diejenigen Kurven, die bei der Abwicklung in die Ebene zu Geraden werden. Beim Zylinder sind das [[Schraublinie (Darstellende Geometrie)|Schraublinien]]/[[Helix|Helizes]] und horizontale Zylinderschnitte (Kreissegmente).

== Klassische Differentialgeometrie ==
In der klassischen [[Differentialgeometrie]] ist eine Geodätische ein [[Weg (Mathematik)|Weg]] <math>\gamma \colon I \to S</math> auf einer [[Reguläre Fläche|Fläche]] <math>S \subset \R^3</math>, bei dem überall die [[Frenetsche Formeln|Hauptnormale]] mit der [[Flächennormale]] zusammenfällt. Diese Bedingung ist genau dann erfüllt, wenn in jedem Punkt die [[geodätische Krümmung]] gleich 0 ist.

== Riemannsche Geometrie {{Anker|Geodätengleichung}} ==
In der [[Riemannsche Geometrie|riemannschen Geometrie]] ist eine Geodätische durch eine gewöhnliche [[Differentialgleichung]] charakterisiert. Sei <math>M</math> eine [[riemannsche Mannigfaltigkeit]]. Eine Kurve <math>\gamma \colon I \to M</math> heißt Geodäte, wenn sie die ''geodätische Differentialgleichung'' (''Geodätengleichung'')
:<math>\nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma=0</math>
erfüllt. Dabei bezeichnet <math>\nabla</math> den [[Levi-Civita-Zusammenhang]]. Diese Gleichung bedeutet, dass das Geschwindigkeitsvektorfeld der Kurve längs der Kurve konstant ist. Dieser Definition liegt die Überlegung zu Grunde, dass die Geodätischen des <math>\R^n</math> genau die geraden Linien sind und deren zweite Ableitung konstant null ist.

Ist <math>(U,x)</math> eine Karte der Mannigfaltigkeit, so erhält man mit Hilfe der [[Christoffelsymbole]] <math>\Gamma^m_{kl}</math> die lokale Darstellung
:<math>\ddot x^m+\Gamma^m_{kl}\dot x^k\dot x^l=0</math>
der geodätischen Differentialgleichung. Hier wird die [[Einsteinsche Summenkonvention]] verwendet. Die <math>x^m</math> sind die Koordinatenfunktionen der Kurve <math>\gamma</math>: Der Kurvenpunkt <math>\gamma(t)</math> hat die Koordinaten <math>(x^1(t), \dots, x^n(t))</math>.

Aus der Theorie über gewöhnliche Differentialgleichungen lässt sich beweisen, dass es eine eindeutige Lösung der geodätischen Differentialgleichung mit den [[Anfangsbedingung]]en <math>\gamma(t_0) = p</math> und <math>\dot \gamma(t_0) = V \in T_pM</math> gibt. Und mit Hilfe der [[Erste Variation|ersten Variation]] von <math>\gamma</math> lässt sich zeigen, dass die bezüglich des [[Riemannsche Mannigfaltigkeit#Riemannsche Mannigfaltigkeiten als metrische Räume|riemannschen Abstands]] <math>d(.,.)</math> kürzesten Kurven die geodätische Differentialgleichung erfüllen. Umgekehrt kann man zeigen, dass jede Geodätische zumindest lokal eine kürzeste Verbindung ist. Das heißt, auf einer Geodätischen gibt es einen Punkt, ab der die Geodätische nicht mehr die kürzeste Verbindung ist. Ist die zugrundeliegende Mannigfaltigkeit nicht [[Kompakter Raum|kompakt]], so kann der Punkt auch unendlich sein. Fixiert man einen Punkt und betrachtet alle Geodätischen mit Einheitsgeschwindigkeit, die von diesem Punkt ausgehen, so heißt die Vereinigung aller Schnittpunkte der [[Schnittort]]. Eine Geodätische mit Einheitsgeschwindigkeit ist eine Geodätische <math>\gamma</math>, für die <math>\|\dot \gamma\| = 1</math> gilt.

Im Allgemeinen muss eine Geodäte nur auf einem Zeitintervall <math>(-\epsilon,\epsilon)</math> für ein passendes <math>\epsilon>0</math> definiert sein. Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit heißt ''geodätisch vollständig'', wenn für jeden Punkt <math>p \in M</math> und jeden Tangentialvektor <math>v \in T_pM</math> die Geodäte <math>\gamma</math> mit <math>\gamma(0) = p</math> und <math>\dot\gamma(0) = v</math> auf ganz <math>\R</math> definiert ist. Der [[Satz von Hopf-Rinow]] gibt verschiedene äquivalente Charakterisierungen geodätisch vollständiger Riemannscher Mannigfaltigkeiten.

Im Allgemeinen ist eine Geodäte (im oben definierten Sinn der Riemannschen Geometrie) nur lokal, aber nicht global minimierend. Das heißt, <math>\gamma</math> muss nicht unbedingt die kürzeste Verbindung zwischen <math>\gamma(0)</math> und <math>\gamma(t)</math> für alle <math>t</math> sein, es gibt aber ein <math>\delta>0</math>, so dass <math>\gamma</math> für alle <math>t\in\left[-\delta,\delta\right]</math> die kürzeste Verbindung zwischen <math>\gamma(0)</math> und <math>\gamma(t)</math> ist.

Eine Geodäte heißt '''minimierende Geodäte''', wenn <math>\gamma</math> für alle <math>t</math> die kürzeste Verbindung zwischen <math>\gamma(0)</math> und <math>\gamma(t)</math> ist. Eine '''geschlossene Geodäte''' ist eine Geodäte, die eine [[geschlossene Kurve]] ist. Eine geschlossene Geodäte kann höchstens bis zur Hälfte ihrer Länge eine minimierende Geodäte sein.

== Metrische Räume ==
{{Hauptartikel|Geodätischer metrischer Raum}}

Sei <math>(X,d)</math> ein [[metrischer Raum]]. Für eine Kurve, das heißt eine stetige Abbildung <math>\gamma \colon\left[a,b\right]\rightarrow X</math>, definiert man ihre Länge durch
:<math>L(\gamma) = \sup_{a=t_0 < t_1 < \cdots < t_n = b} \sum_{i = 0}^{n - 1} d(\gamma(t_i), \gamma(t_{i+1}))</math>.
Aus der [[Dreiecksungleichung]] folgt die Ungleichung <math>L(\gamma)\ge d(\gamma(a),\gamma(b))</math>.

Als ''minimierende Geodäte'' in <math>(X,d)</math> bezeichnet man eine Kurve <math>\gamma\colon \left[a,b\right]\rightarrow X</math> mit <math>L(\gamma) = d(\gamma(a),\gamma(b))</math>, das heißt eine Kurve, deren Länge den Abstand ihrer Endpunkte realisiert. (Geodäten im Sinne der Riemannschen Geometrie müssen nicht immer minimierende Geodäten sein, sie sind es aber „lokal“.)

Ein metrischer Raum <math>(X,d)</math> heißt ''geodätischer metrischer Raum'' oder ''Längenraum'', wenn sich je zwei Punkte durch eine minimierende Geodäte verbinden lassen. [[Vollständiger Raum|Vollständige]] Riemannsche Mannigfaltigkeiten sind Längenräume. Der <math>\R^2\setminus\left\{(0,0)\right\}</math> mit der euklidischen Metrik ist ein Beispiel für einen metrischen Raum, der kein Längenraum ist.

== Literatur ==
* Manfredo Perdigão do Carmo: ''Riemannian geometry.'' Birkhäuser, Boston u. a. 1992, ISBN 0-8176-3490-8.

== Weblinks ==
* [https://wiki.sagemath.org/interact/geometry#Geodesics_on_a_parametric_surface Geodäten auf parametrisierten Flächen — sage interact] – Interaktives [[SageMath]]-worksheet, das Geodäten auf parametrisierten Flächen berechnet und visualisiert.
* {{YouTube |id=NfqrCdAjiks |title=Die Schönheit der Geodäten |abruf=2021-03-08 |d= 2019-10-05}}

{{Normdaten|TYP=s|GND=4156669-5}}

{{SORTIERUNG:Geodate}}
[[Kategorie:Elementare Differentialgeometrie]]
[[Kategorie:Riemannsche Geometrie]]
[[Kategorie:Geodäsie]]
[[Kategorie:Mathematische Geographie]]

Geodäte - Versionsgeschichte

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