imported>Saehrimnir: BKL Fix

2025-02-11T11:26:31Z

BKL Fix

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Das '''Geobrett''' (oder '''Nagelbrett''') ist ein verbreitetes [[Arbeitsmittel]] im Geometrieunterricht der [[Grundschule|Primar-]] und [[Sekundarstufe]].

[[Datei:Quadrate auf dem Geobrett Schrägsicht.jpg|mini|Selbstgefertigtes (5×5)-Geobrett mit drei als Quadrate gespannten, verschiedenfarbigen Gummibändern]]

Auf einem meist quadratischen Brettchen werden Nägel so eingeschlagen, dass ein quadratisches Gitter entsteht. Die Zahl der Nägel beträgt mindestens 9 (3×3-Gitter), in der Regel aber 16 (4×4-Gitter) oder 25 (5×5-Gitter) und ist nach oben nur durch eine praktikable Größe des Brettes beschränkt. Auf diesen Brettchen können mit verschiedenfarbigen Gummibändern geometrische Figuren gespannt und hinsichtlich ihrer Eigenschaften untersucht werden.

Das Geobrett wurde zu Beginn der 1950er Jahre von dem ägyptischstämmigen Mathematiker und Pädagogen [[Caleb Gattegno]] (1911–1988) erfunden.<ref>Caleb Gattegno: ''The Gattegno Geoboards.'' In: Bulletin of the Association for Teaching Aids in Mathematics 3 (1954).</ref>

== Anwendungen ==

Im Mathematikunterricht findet das Geobrett hauptsächlich Anwendung bei der Untersuchung von ebenen [[Geometrische Figur|geometrischen Figuren]], bei deren [[Planimetrie|Flächenberechnung]] sowie bei den geometrischen [[Liste von Transformationen in der Mathematik|Transformationen]] der Ebene ([[Parallelverschiebung|Verschiebung]], [[Drehung]], [[Spiegelung (Geometrie)|Spiegelung]], [[Zentrische Streckung|Streckung]] und deren Hintereinanderausführung).

=== Untersuchung von Linien ===

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|- class="hintergrundfarbe6"
!Anzahl
!(2×2)-Gitter
!(3×3)-Gitter
!(4×4)-Gitter
!(5×5)-Gitter
|-
|style="text-align:left"|[[Strecke (Geometrie)|Strecken]] ([[OEIS]], [http://oeis.org/A083374 A083374])
|6
|36
|120
|300
|-
|style="text-align:left"|[[Gerade]]n (OEIS, [http://oeis.org/A018808 A018808])
|6 (100 %)
|20 (55,6 %)
|62 (51,7 %)
|140 (46,7 %)
|}

Die Anzahl der Strecken auf einem (n×n)-Gitter ergibt sich mittels [[Binomialkoeffizient]] zu

:<math>\# s(n) = \binom{n^2}{2} = \frac{n^2(n^2-1)}{2}</math>.

Eine explizite Formel für die Berechnung der Anzahl der Geraden auf einem (n×n)-Gitter ist nicht bekannt; es gibt aber [[Rekursion|rekursive]] Formeln.<ref>Seppo Mustonen: [http://www.survo.fi/papers/PointsInGrid.pdf ''On lines and their intersection points in a rectangular grid of points''] (PDF; 681 kB), S. 11–15 (Appendix 1: Rekursive formulas).</ref><ref>Vgl. [[OEIS]], [http://oeis.org/A018808 A018808].</ref>

Die folgende Formel verwendet den [[größter gemeinsamer Teiler|größten gemeinsamen Teiler]] zur Berechnung der Werte

:<math>\# g(n) = 2 \left( f(n,1) - f(n,2) \right)</math> mit

:<math>f(n,k) = \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=0}^{n-1} (n-i)(n-j)</math>, falls <math>\mbox{ggT}(i,j)=k</math>.

Eine andere Rekursionsformel berechnet die Werte mittels der [[Eulersche φ-Funktion|Eulerschen φ-Funktion]] zu

:<math>\# g(n) = 2 g_1(n)-g(n-1)+r_1(n)</math>,

:wobei <math>g_1(n) = 2 g(n-1)-g_1(n-1)+r_2(n)</math>

:mit <math>g(0) = g_1(0) = 0</math>;

:<math>r_1(n) = r_1(n-1)+4 \left( \varphi(n-1) - e(n) \right)</math> und <math>r_1(0) = 0</math>,

:<math>e(n) = \begin{cases} \varphi(\frac{n-1}{2}), & \mbox{falls }n\mbox{ gerade} \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}</math>

:und <math>r_2(n) = \begin{cases} (n-1) \cdot \varphi(n-1), & \mbox{falls }n \mbox{ gerade} \\ \frac{n-1}{2} \cdot \varphi(n-1), & \mbox{falls } n \equiv 1 \mod 4 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}</math>.

=== Untersuchung von Figuren ===

Im Vordergrund stehen hier vor allem
* die Untersuchung von [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrieeigenschaften]] geometrischer Figuren,
* die Lage und Anzahl von inneren und äußeren sowie Gitterpunkten auf den Seiten von [[Polygon|Vielecken]], außerdem
* die Bestimmung der möglichen Art oder Anzahl einfacher geometrischer Figuren.

Ergebnisse für die Anzahl verschiedener Dreiecke bzw. Vierecke auf einem (n×n)-Gitter (für 2 ≤ n ≤ 5):

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|- class="hintergrundfarbe6"
!Anzahl
!(2×2)-Gitter
!(3×3)-Gitter
!(4×4)-Gitter
!(5×5)-Gitter
|-
|style="text-align:left"|[[Dreieck]]e ([[OEIS]], [http://oeis.org/A045996 A045996])
|4
|76
|516
|2148
|-
|style="text-align:left"|[[Spitzwinkliges Dreieck|Spitzwinklige Dreiecke]] (OEIS, [http://oeis.org/A190019 A190019])
|0 (0 %)
|8 (10,5 %)
|80 (15,5 %)
|404 (18,8 %)
|-
|style="text-align:left"|[[Rechtwinkliges Dreieck|Rechtwinklige Dreiecke]] (OEIS, [http://oeis.org/A077435 A077435])
|4 (100 %)
|44 (57,9 %)
|200 (38,8 %)
|596 (27,7 %)
|-
|style="text-align:left"|[[Stumpfwinkliges Dreieck|Stumpfwinklige Dreiecke]] (OEIS, [http://oeis.org/A190020 A190020])
|0 (0 %)
|24 (31,6 %)
|236 (45,7 %)
|1148 (53,4 %)
|-
|style="text-align:left"|Unregelmäßige Dreiecke (OEIS, [http://oeis.org/A190312 A190312])
|0 (0 %)
|40 (52,6 %)
|368 (71,3 %)
|1704 (79,3 %)
|-
|style="text-align:left"|[[Gleichschenkliges Dreieck|Gleichschenklige Dreiecke]] (OEIS, [http://oeis.org/A186434 A186434])
|4 (100 %)
|36 (47,4 %)
|148 (28,7 %)
|444 (20,7 %)
|-
|style="text-align:left"|Spitzwinklig gleichschenklige Dreiecke (OEIS, [http://oeis.org/A190317 A190317])
|0 (0 %)
|8 (10,5 %)
|48 (9,3 %)
|164 (7,6 %)
|-
|style="text-align:left"|Rechtwinklig gleichschenklige Dreiecke (OEIS, [http://oeis.org/A187452 A187452])
|4 (100 %)
|28 (36,8 %)
|96 (18,6 %)
|244 (11,4 %)
|-
|style="text-align:left"|Stumpfwinklig gleichschenklige Dreiecke (OEIS, [http://oeis.org/A190318 A190318])
|0 (0 %)
|0 (0 %)
|4 (0,8 %)
|36 (1,7 %)
|-
|style="text-align:left"|Verschiedene (nichtkongruente) Dreiecke (OEIS, [http://oeis.org/A028419 A028419])
|1
|8
|29
|79
|-
|style="text-align:left"|Verschiedene spitzwinklige Dreiecke (OEIS, [http://oeis.org/A190021 A190021])
|0 (0 %)
|2 (25 %)
|8 (27,6 %)
|23 (29,1 %)
|-
|style="text-align:left"|Verschiedene rechtwinklige Dreiecke (OEIS, [http://oeis.org/A189979 A189979])
|1 (100 %)
|4 (50 %)
|9 (31,0 %)
|17 (21,5 %)
|-
|style="text-align:left"|Verschiedene stumpfwinklige Dreiecke (OEIS, [http://oeis.org/A190022 A190022])
|0 (0 %)
|2 (25 %)
|12 (41,4 %)
|39 (49,4 %)
|-
|style="text-align:left"|Verschiedene unregelmäßige Dreiecke (OEIS, [http://oeis.org/A190313 A190313])
|0 (0 %)
|3 (37,5 %)
|18 (62,1 %)
|57 (72,2 %)
|-
|style="text-align:left"|Verschiedene gleichschenklige Dreiecke (OEIS, [http://oeis.org/A189978 A189978])
|1 (100 %)
|5 (62,5 %)
|11 (37,9 %)
|22 (27,8 %)
|-
|style="text-align:left"|Verschiedene spitzwinklig gleichschenklige Dreiecke (OEIS, [http://oeis.org/A190309 A190309])
|0 (0 %)
|2 (25 %)
|5 (17,2 %)
|11 (13,9 %)
|-
|style="text-align:left"|Verschiedene rechtwinklig gleichschenklige Dreiecke (OEIS, [http://oeis.org/A108279 A108279])
|1 (100 %)
|3 (37,5 %)
|5 (17,2 %)
|8 (10,1 %)
|-
|style="text-align:left"|Verschiedene stumpfwinklig gleichschenklige Dreiecke (OEIS, [http://oeis.org/A190310 A190310])
|0 (0 %)
|0 (0 %)
|1 (3,4 %)
|3 (3,8 %)
|}

Die Anzahl der Dreiecke auf einem (n×n)-Gitter berechnet sich gemäß der Formel<ref>Vgl. [[OEIS]], [http://oeis.org/A045996 A045996], [http://oeis.org/A000938 A000938], dazu auch [http://oeis.org/A178208 A178208], [http://oeis.org/A008911 A008911].</ref>
:<math>\begin{array}{lcl}
\#\triangle(n) & = & \binom{n^2}{3} + n \binom{n+1}{3} - 2\sum_{i=2}^n \sum_{k=2}^n(n-i+1)(n-k+1) \operatorname{ggT}(i-1,k-1) \\
& = & \frac{1}{6} (n-1)^2 n^2 (n+1)^2 - 2\sum_{i=1}^{n-1} \sum_{k=1}^{n-1} (n-i)(n-k) \operatorname{ggT}(i,k)
\end{array}</math>

Die Dreiecke lassen sich zum einen nach Winkelgrößen in die [[disjunkt]]en Klassen der spitz-, recht- bzw. stumpfwinkligen Dreiecke einteilen, zum anderen nach Seitenlängen in die disjunkten Klassen der unregelmäßigen (ungleichseitigen) Dreiecke und gleichschenkligen Dreiecke – zu letzteren zählen auch die gleichseitigen Dreiecke, die auf dem Geobrett aber nicht vorkommen können.

Offensichtlich ist daher

:<math>
\# \triangle = \# \triangle_{\mathrm{spitzwinklig}} + \# \triangle_{\mathrm{rechtwinklig}} + \# \triangle_{\mathrm{stumpfwinklig}}
</math>

:<math>
\# \triangle = \# \triangle_{\mathrm{ungleichseitig}} + \# \triangle_{\mathrm{gleichschenklig}}
</math>

:<math>
\# \triangle_{\mathrm{gleichschenklig}} = \# \triangle_{\mathrm{spitzwinklig gleichschenklig}} + \# \triangle_{\mathrm{rechtwinklig gleichschenklig}} + \# \triangle_{\mathrm{stumpfwinklig gleichschenklig}}
</math>

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|- class="hintergrundfarbe6"
!Anzahl
!(2×2)-Gitter
!(3×3)-Gitter
!(4×4)-Gitter
!(5×5)-Gitter
|-
|style="text-align:left"|[[Vollständiges Viereck|Vollständige Vierecke]] ([[OEIS]], [http://oeis.org/A175383 A175383])
|1
|78
|1278
|9498
|-
|style="text-align:left"|[[Viereck]]e (OEIS, [http://oeis.org/A189414 A189414])
|1
|94
|1758
|13698
|-
|style="text-align:left"|Konkave Vierecke (OEIS, [http://oeis.org/A189412 A189412])
|0 (0 %)
|24 (25,5 %)
|720 (41,0 %)
|6300 (46,0 %)
|-
|style="text-align:left"|[[Drachenviereck|Pfeilvierecke]] (OEIS, [http://oeis.org/A173502 A173502])
|0 (0 %)
|8 (8,5 %)
|64 (3,6 %)
|292 (2,1 %)
|-
|style="text-align:left"|Konvexe Vierecke (OEIS, [http://oeis.org/A189413 A189413])
|1 (100 %)
|70 (74,5 %)
|1038 (59,0 %)
|7398 (54,0 %)
|-
|style="text-align:left"|[[Trapez (Geometrie)|Trapeze]] (OEIS, [http://oeis.org/A189415 A189415])
|1 (100 %)
|50 (53,2 %)
|490 (27,9 %)
|2618 (19,1 %)
|-
|style="text-align:left"|[[Parallelogramm]]e (OEIS, [http://oeis.org/A189416 A189416])
|1 (100 %)
|22 (23,4 %)
|158 (9,0 %)
|674 (4,9 %)
|-
|style="text-align:left"|[[Drachenviereck|Drachen]] (OEIS, [http://oeis.org/A189417 A189417])
|1 (100 %)
|10 (10,6 %)
|58 (3,3 %)
|222 (1,6 %)
|-
|style="text-align:left"|[[Raute]]n (OEIS, [http://oeis.org/A189418 A189418])
|1 (100 %)
|6 (6,4 %)
|22 (1,3 %)
|66 (0,5 %)
|-
|style="text-align:left"|[[Rechteck]]e (OEIS, [http://oeis.org/A085582 A085582])
|1 (100 %)
|10 (10,6 %)
|44 (2,5 %)
|130 (0,9 %)
|-
|style="text-align:left"|[[Quadrat (Geometrie)|Quadrate]] (OEIS, [http://oeis.org/A002415 A002415])
|1 (100 %)
|6 (6,4 %)
|20 (1,1 %)
|50 (0,4 %)
|-
|style="text-align:left"|Verschiedene konvexe Vierecke (OEIS, [http://oeis.org/A181944 A181944])
|1
|12
|89
|407
|-
|style="text-align:left"|Verschiedene Trapeze (OEIS, [http://oeis.org/A181945 A181945])
|1
|9
|43
|141
|-
|style="text-align:left"|Verschiedene Parallelogramme
|1
|6
|21
|55
|-
|style="text-align:left"|Verschiedene Drachen (OEIS, [http://oeis.org/A181946 A181946])
|1
|4
|11
|25
|-
|style="text-align:left"|Verschiedene Rauten (OEIS, [http://oeis.org/A181947 A181947])
|1
|3
|6
|11
|-
|style="text-align:left"|Verschiedene Rechtecke
|1
|4
|9
|16
|-
|style="text-align:left"|Verschiedene Quadrate (OEIS, [http://oeis.org/A108279 A108279])
|1
|3
|5
|8
|}

Die Vierecke lassen sich aufgrund ihrer Form in die disjunkten Klassen der konkaven und konvexen Vierecke einteilen. Beide können aufgrund von Symmetrieeigenschaften weiter unterteilt werden, wobei sich die Teilklassen im Falle der konvexen Vierecke überschneiden.

Offensichtlich ist daher

:<math>
\# \square = \# \square_{\mathrm{konkav}} + \# \square_{\mathrm{konvex}}
</math>

Außerdem gelten folgende Beziehungen zwischen den konvexen bzw. konkaven Vierecken:
* Quadrate = Rechtecke ∩ Rauten
* Quadrate ⊂ Rechtecke ⊂ Parallelogramme ⊂ Trapeze ⊂ konvexe Vierecke ⊂ Vierecke
* Quadrate ⊂ Rauten ⊂ Parallelogramme ⊂ Trapeze ⊂ konvexe Vierecke ⊂ Vierecke
* Quadrate ⊂ Rauten ⊂ Drachen ⊂ konvexe Vierecke ⊂ Vierecke
* Pfeilvierecke ⊂ konkave Vierecke ⊂ Vierecke
Damit lassen sich die Anzahlen der Vierecksarten, welche nur die untergeordnete Beziehung erfüllen (etwa Rechtecke, die nicht gleichzeitig Quadrate sind) mittels Differenzbildung leicht ermitteln.

=== Flächenberechnung ===

Zur Berechnung des Flächeninhalts von Gittervielecken dient der [[Satz von Pick]] (1899):<ref>Georg Alexander Pick: ''Geometrisches zur Zahlenlehre.'' (Bearbeitung eines in der deutschen mathematischen Gesellschaft zu Prag gehaltenen Vortrags.) In: Sitzungsberichte des deutschen naturwissenschaftlich-medicinischen Vereines für Böhmen „Lotos“ in Prag 19 (1899), S. 311–319.</ref>
Ein Gittervieleck mit <math>r</math> Gitterpunkten auf dem Rand und <math>i</math> inneren Gitterpunkten hat einen [[Flächeninhalt]] von <math>A=\tfrac{1}{2}r+i-1</math> Gitterquadraten.

== Literatur und Aufgabensammlungen ==

* Caleb Gategno: [http://issuu.com/eswi/docs/1027_geoboard_geometry ''Geoboard geometry.''] New York: Educational Solutions Worldwide Inc., 1971. ISBN 978-0-87825-020-2.
* Karl-Heinz Keller: ''Am Geo-Brett Geometrie entdecken. Ein Grundkurs in Geometrie.'' Offenburg: Mildenberger, 2002. ISBN 978-3-619-02520-6.
* Judith und Ulrich Lüttringhaus: ''Das große Geobrett. Bd. 1: Geometrische Konstruktionen.'' Augsburg: Brigg, 2009. ISBN 3-87101-427-3.
* Hans-Günter Senftleben: ''Aufgabensammlung für das große Geobrett.'' Hamburg: Rittel, 2001. ISBN 3-936443-01-7
* Horst Steibl: ''Geobrett im Unterricht.'' Hildesheim; Berlin: Franzbecker, 2006. ISBN 3-88120-417-2.

== Weblinks ==

{{Commonscat|Geoboard|Geobrett}}
* Natalie Bär, Nicole Bröll und Birgit Kühn: [http://www.math.uni-frankfurt.de/~schreibe/WQ_Geobrett/Einleitung.html ''Geobrett. Ein WebQuest für Kinder ab der 1. Klasse.'']
* Bildungsserver Hessen. [http://lernarchiv.bildung.hessen.de/grundschule/Mathematik/Geometrie/flaechen/geobrett/index.html Unterrichtsmaterial.]
* [http://www.geobrett.net/ Das Geobrett.]
* [http://geobrett.com/index.html Das Geobrett.] (Montessori-Shop.)
* Margherita Barile: [http://mathworld.wolfram.com/Geoboard.html ''Geoboard.''] (MathWorld – A Wolfram Web Resource.)
* Alexander Bogomolny: [http://cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Geoboard.shtml ''Geoboard.''] (Virtuelles Geobrett.)
* Tom Scavo: [http://mathforum.org/trscavo/geoboards ''Geoboards in the classroom.''] (Unterrichtseinheit.)
* Utah State University. [http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_277_g_1_t_3.html National Library of Virtual Manipulatives.] (Virtuelles Geobrett.)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Didaktik der Mathematik]]
[[Kategorie:Schulmaterial]]

Geobrett - Versionsgeschichte

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