imported>Sokrates 399: Typografie.

2026-03-03T07:50:34Z

Typografie.

Neue Seite

Eine '''genetische Algebra''' hat die mathematische Struktur einer [[Algebra (Struktur)|Algebra]] und kann zur [[Mathematik|mathematischen]] Modellierung von Vererbungen in der [[Genetik]] verwendet werden.

== Motivation ==
Einige Sachverhalte in der [[Genetik]] können mit bestimmten [[Mathematische Struktur|mathematischen Strukturen]], sogenannten [[Algebra (Struktur)|Algebren]], beschrieben werden. Das folgende einfache Beispiel soll erläutern, warum diese Strukturen für die Modellierung von genetischen Sachverhalten geeignet erscheinen.

In einer (sehr einfachen) Population gebe es nur zwei verschiedene [[Gamet]]en <math>a_1</math> und <math>a_2</math>. <math>a_1</math> [[Kreuzung (Genetik)|gekreuzt]] mit <math>a_1</math> soll wieder Gameten vom Typ <math>a_1</math> ergeben, das Analoge gelte für <math>a_2</math>. Kreuzt man hingegen <math>a_1</math> mit <math>a_2</math>, so sollen daraus je zur Hälfte Gameten vom Typ <math>a_1</math> und vom Typ <math>a_2</math> entstehen. Das kann man formal auch als 'Multiplikation' und 'Addition' ausdrücken, die Kreuzung von <math>a_1</math> mit <math>a_2</math> zum Beispiel durch

:<math>a_1 . a_2 = {1 \over 2}a_1 + {1 \over 2}a_2</math>

Eine mathematische Struktur, in der man diese 'Multiplikation' und diese 'Addition' exakt definieren kann, ist die nicht-[[Assoziativgesetz|assoziative]] Algebra <math>G = \{\alpha_1 a_1 + \alpha_2 a_2|\alpha_1, \alpha_2 \in \mathbb{R}\}</math> mit

*<math>a_1 . a_1 = a_1</math>
*<math>a_2 . a_2 = a_2</math>
*<math>a_1 . a_2 = a_2 . a_1 = {1 \over 2}a_1 + {1 \over 2}a_2</math>

die ''Gametische Algebra der einfachen [[Mendelsche Regeln|Mendel’schen Vererbung]]'' genannt wird.

Diese Art der algebraischen Beschreibung ermöglicht eine einfachere Betrachtung verschiedener Fragen in der Genetik, wie z. B.:
*Welche Population ergibt sich bei der wiederholten Kreuzung einer Population mit sich selbst?
*Existieren Gleichgewichtszustände in einer Population, und wenn ja, welche?

Im Zusammenhang mit der Genetik treten spezielle nicht-assoziative Algebren auf, wie ''[[Baric-Algebra|Baric-Algebren]]'', ''Algebren mit genetischer Realisation'', ''[[Train-Algebra|Train-Algebren]]'' und ''genetische Algebren''. Diese Algebren gehören nicht zu den bekannteren nicht-assoziativen Algebren der [[Lie-Algebra|Lie-]] oder der [[Jordan-Algebra|Jordan-Algebren]].

== Definition ==
Eine kommutative, nicht-assoziative [[Algebra (Struktur)|Algebra]] ''A'' über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] ''K'' heißt '''genetische Algebra''', wenn eine Basis <math>u_1, u_2, \dots, u_n</math> existiert, so dass die Multiplikationskonstanten <math>\gamma_{ijk}</math>, definiert durch

<math>u_i u_j=\sum_{k=1}^{n} \gamma_{ijk} u_k \qquad i,j=1, \ldots ,n,</math>

folgende Eigenschaften haben:
:a) <math>\gamma_{111} = 1</math>
:b) <math>\gamma_{1jk} = 0</math> für <math>k < j</math>
:c) <math>\gamma_{ijk} = 0</math> für <math>i,j > 1</math> und <math>k \le \max\{i,j\}</math>
Die Basis <math>u_1, u_2, \dots, u_n</math> wird ''kanonische Basis'' genannt.

== Eigenschaften ==
* Jede genetische Algebra ist eine [[Baric-Algebra]].

== Weitere Definitionen ==
In einer nichtassoziativen Algebra ist das Produkt von mehr als zwei Elementen der Algebra durch ihre Reihenfolge nicht eindeutig bestimmt. Die im Folgenden definierten speziellen Produkte haben interessante genetische Interpretationen.

Sei A eine Algebra, <math> x \in A </math>, <math> n \in \mathbb{N} </math>

:<math>x^n</math> heißt '''n-te Rechts-Hauptpotenz''' von x, wobei gilt:
::<math>x^1 = x</math> und <math> x^n = x^{n-1} \cdot x</math>
:Analog definiert man '''Links-Hauptpotenzen''', im kommutativen Fall spricht man nur von '''Hauptpotenzen'''.

:<math> x^{[n]}</math> heißt '''n-te plenäre Potenz''' von x, wobei gilt:
::<math> x^{[1]} = x</math> und <math>x^{[n]}=x^{[n-1]} \cdot x^{[n-1]}</math>

Die genetische Interpretation der Hauptpotenzen ist dabei folgende: Kreuzt man eine Population, die durch <math> x \in A </math> repräsentiert wird, mit sich selbst, so erhält man eine Population, die durch <math> x \cdot x = x^2 </math> repräsentiert wird. Kreuzt man die so entstandene Population wiederum mit der ursprünglichen, so entsteht <math> x^2 \cdot x = x^3</math>. Die Folge der Populationen, die durch Wiederholung dieses Vorganges entsteht, wird also durch die Folge der Hauptpotenzen von x repräsentiert.

Wenn man hingegen eine Population wiederholt mit sich selbst kreuzt, so kann die auf diese Art entstehende Folge von Populationen durch die zugehörige Folge von plenären Potenzen beschreiben.

== Literatur ==

* Harald Geppert und [[Siegfried Koller]]: ''Erbmathematik''. Quelle und Meyer, Leipzig 1938
* [[Otfried Mittmann]]: ''Erbbiologische Fragen in mathematischer Behandlung''. De Gruyter, Berlin 1940
* [[Erna Weber]]: ''Mathematische Grundlagen der Genetik''. [[Gustav Fischer Verlag|Gustav Fischer]], Jena 1967
* Rudolf Lidl und Günter Pilz: ''Angewandte abstrakte Algebra II''. Bibliographisches Institut, Mannheim Wien Zürich 1982, ISBN 3-411-01621-3.
* Angelika Wörz-Busekros: ''Algebras in Genetics''. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1980, ISBN 3-540-09978-6.
* H. Gonshor: ''Contributions to genetic algebras''. Proc. Edinb. Math. Soc. (2), 17(1971), 289–298.

[[Kategorie:Theoretische Biologie]]
[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Genetik]]

Genetische Algebra - Versionsgeschichte

imported>Sokrates 399: Typografie.